2024年高考數(shù)學(xué)命題熱點全覆蓋專題14概率問題易錯點文VIP

PAGEPAGE1專題14概率問題易錯點一．【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解互斥事務(wù)，相互獨立事務(wù)和條件概率的意義及其運算公式．2．理解獨立重復(fù)試驗的模型，會計算事務(wù)在n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生k次的概率．二．【學(xué)問要點】1．互斥事務(wù)與對立事務(wù)(1)互斥事務(wù)：若A∩B為不行能事務(wù)(A∩B＝?)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥，其含義是：事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生．(2)對立事務(wù)：若A∩B為不行能事務(wù)，而A∪B為必定事務(wù)，那么事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，其含義是：事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：．(2)互斥事務(wù)的概率加法公式：①P(A∪B)＝＝(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪An)＝或P(A1＋A2＋…＋An)＝．(A1，A2，…，An互斥)．③對立事務(wù)的概率：＝．3．條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個事務(wù)A和B，在已知事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為．(2)條件概率具有的性質(zhì)：①；②假如B和C是兩個互斥事務(wù)，則4．相互獨立事務(wù)(1)對于事務(wù)A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱．(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝，P(AB)＝．(3)若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立．5．獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)兩個相互獨立事務(wù)A，B同時發(fā)生的概率為P(A·B)＝P(A)·P(B)，此公式可推廣到n個相互獨立事務(wù)，則P(A1·A2·…·An)＝P(A1)·P(A2)·…·P(An)．

∴隨機(jī)事務(wù)A的概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值．∴①正確．

∵基本領(lǐng)件的特點是隨意兩個基本領(lǐng)件是互斥的，∴一次試驗中，不同的基本領(lǐng)件不行能同時發(fā)生．∴②正確．

∵必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，隨機(jī)事務(wù)的概率大于0，小于1，∴隨意事務(wù)A發(fā)生的概率P（A）滿意0≤P（A）≤1，∴③錯誤．

若事務(wù)A的概率趨近于0，則事務(wù)A是小概率事務(wù)，∴④錯誤

∴說法正確的有兩個，

故選：C．（二）事務(wù)的關(guān)系與運算例2．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，向上的一面出現(xiàn)隨意一個點數(shù)的概率都是，記事務(wù)A為“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事務(wù)B為“向上的點數(shù)不超過3”，則概率P(A∪B)＝()A．B．C．D．【答案】C【解析】依據(jù)P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），由此能求出結(jié)果．練習(xí)1．對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次放射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是()A．A?DB．B∩D＝?C．A∪C＝DD．A∪C＝B∪D【答案】D【解析】事務(wù)C“恰有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種狀況：一種是第一枚擊中其次枚沒中，其次種是第一枚沒中其次枚擊中。事務(wù)D“至少有一彈擊中”包含兩種狀況：一種是恰有一彈擊中，一種是兩彈都擊中。對于選項A，事務(wù)A包含在事務(wù)D中，故A正確。對于選項B，由于事務(wù)B,D不能同時發(fā)生，故B∩D＝?正確。對于選項C，由題意知正確。對于選項D，由于A∪C＝D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，不是必定事務(wù)；而B∪D為必定事務(wù)，所以A∪C≠B∪D.故D不正確。選D。練習(xí)2．下列說法正確的有()①概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值．②一次試驗中不同的基本領(lǐng)件不行能同時發(fā)生．③隨意事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)總滿意0<P(A)<1.④若事務(wù)A的概率為0，則事務(wù)A是不行能事務(wù)．A．0個B．1個C．2個D．3個【答案】C（三）互斥事務(wù)解題策略例3.依據(jù)黃河濟(jì)南段8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示：依據(jù)濟(jì)南的地質(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)難等級的頻率分布條形圖如圖(乙)所示．(I)以此頻率作為概率，試估計黃河濟(jì)南段在8月份發(fā)生I級災(zāi)難的概率；(Ⅱ)黃河濟(jì)南段某企業(yè)，在3月份，若沒受1、2級災(zāi)難影響，利潤為500萬元；若受1級災(zāi)難影響，則虧損100萬元；若受2級災(zāi)難影響則虧損1000萬元．現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案：試問，如僅從利潤考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.【答案】(I)，因此企業(yè)應(yīng)選方案二．【解析】（I）依據(jù)甲圖，記黃河8月份“水位小于40米”為事務(wù)，“水位在40米至50米之間”為事務(wù)，“水位大于50米”為事務(wù)，分別求出它們發(fā)生的概率，記該地8月份“水位小于40米且發(fā)生1級災(zāi)難”為事務(wù)，“水位在40米至50米之間且發(fā)生1級災(zāi)難”為事務(wù)，“水位大于50米且發(fā)生1級災(zāi)難”為事務(wù)，分別求出它們發(fā)生的概率，再利用求解.（II）以企業(yè)利潤為隨機(jī)變量，分別計算出三種方案的利潤，再選擇.選項B中，“至少1個白球”包括“1個白球2個紅球”、“2個白球和1個紅球”、“3個白球”三種狀況；“至少1個紅球”包括“1個紅球2個白球”、“2個紅球和1個白球”、“3個紅球”三種狀況．所以這兩個事務(wù)不互斥，所以B不正確．選項C中，“至少2個白球”包括“2個白球1個紅球”、“3個白球”兩種狀況；“至多1個白球”包括“1個白球和2個紅球”、“3個紅球”兩種狀況，所以這兩個事務(wù)為對立事務(wù)，故C不正確．選項D中，“恰好1個白球”和“恰好2個紅球”為同一事務(wù)，所以D不正確．故選A．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是分清互斥事務(wù)和對立事務(wù)的關(guān)系，由定義可得互斥事務(wù)不肯定對立，而對立事務(wù)肯定為互斥事務(wù)．解答類似問題時很簡單出現(xiàn)錯誤，解題時首先要弄清全部的試驗結(jié)果，然后再依據(jù)所求進(jìn)行求解、推斷．練習(xí)3．學(xué)校足球賽決賽安排在周三、周四、周五三天中的某一天進(jìn)行，假如這一天下雨則推遲至后一天，假如這三天都下雨則推遲至下一周，已知這三天下雨的概率均為，則這周能進(jìn)行決賽的概率為A．B．C．D．【答案】D【解析】本周能進(jìn)行決賽意味著能在周三或周四或周五進(jìn)行，分別求概率，求和即可得解.（四）.對立事務(wù)解題方法例4.在最強(qiáng)大腦的舞臺上，為了與國際X戰(zhàn)隊PK，假設(shè)某季Dr.魏要從三名擅長速算的選手A1,A2,A3，三名擅長數(shù)獨的選手B1,B2,B3，兩名擅長魔方的選手C1,C2中各選一名組成中國戰(zhàn)隊.假定兩名魔方選手中更擅長盲擰的選手C1已確定入選，而擅長速算與數(shù)獨的選手入選的可能性相等.(Ⅰ)求A1被選中的概率；(Ⅱ)求A1,B1不全被選中的概率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】(Ⅰ)利用古典概型概率公式求出A1被選中的概率；(Ⅱ)利用對立事務(wù)概率公式求出求A1,B1不全被選中的概率.(Ⅱ)用N表示“A1、B1不全被選中”這一事務(wù)，則其對立事務(wù)表示“A1、B1全被選中”，由于＝{(A1，B1，C1)}，∴，從而點睛：古典概型中基本領(lǐng)件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為困難的問題中的基本領(lǐng)件的探求.對于基本領(lǐng)件有“有序”與“無序”區(qū)分的題目，常采納樹狀圖法.(五).古典概型解題步驟例5.交通擁堵指數(shù)是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念，記交通擁堵指數(shù)為，早高峰時段，基本暢通；輕度擁堵；中度擁堵；嚴(yán)峻擁堵，從某市交通指揮中心隨機(jī)選取了二環(huán)以內(nèi)個交通路段，依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制直方圖如圖所示．（1）據(jù)此直方圖估算早高峰時段交通擁堵指數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）現(xiàn)從樣本路段里的嚴(yán)峻擁堵的路段中隨機(jī)抽取兩個路段進(jìn)行綜合整治，求選中路段中恰有一個路段的交通指數(shù)的概率．【答案】（1）中位數(shù)，平均數(shù)；（2）.【解析】(1)頻率直方圖中，依據(jù)直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)能估算早高峰時段交通擁堵指數(shù)的中位數(shù)；每個矩形的中點橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得平均值；(2)由題知嚴(yán)峻擁堵中交通指數(shù)的有4個，記為，交通指數(shù)的有2個,記為，從樣本路段里的嚴(yán)峻擁堵的路段中隨機(jī)抽取兩個路段進(jìn)行綜合整治，利用列舉法能求出恰有一個路段的交通指數(shù)的概率.(2)由題知嚴(yán)峻擁堵中交通指數(shù)的有4個，記為，交通指數(shù)的有2個,記為，從樣本路段里的嚴(yán)峻擁堵的路段中隨機(jī)抽取兩個路段進(jìn)行綜合整治，基本領(lǐng)件總數(shù)有15個，分別為：，，選中路段中選中路段中恰有一個路段的交通指數(shù)包含的基本領(lǐng)件有8個，分別為：，恰有一個路段的交通指數(shù)的概率.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.直方圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率；（3）每個矩形的中點橫坐標(biāo)與該矩形的縱坐標(biāo)、組距相乘后求和可得平均值；（4）直方圖左右兩邊面積相等處橫坐標(biāo)表示中位數(shù).練習(xí)1．如下的莖葉圖表示甲乙兩人在5次測評中的成果，已知甲的中位數(shù)是90，則從乙的5次測評成果中隨機(jī)抽取一次成果，其分?jǐn)?shù)高于甲的平均成果的概率為A．B．C．D．【答案】B練習(xí)2．齊王有上等,中等,下等馬各一匹；田忌也有上等,中等,下等馬各一匹.田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場競賽,若有優(yōu)勢的馬肯定獲勝,則齊王的馬獲勝的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場競賽,利用列舉法求出基本領(lǐng)件有9種，齊王的馬獲勝包含的基本領(lǐng)件有6種，利用古典概型概率公式可求出齊王的馬獲勝的概率.【詳解】設(shè)齊王上等、中等、下等馬分別為，田忌上等、中等、下等馬分別為，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場競賽,（六）.幾何概型題型例6．甲、乙兩名同學(xué)確定在今年的寒假每天上午9：00—10：00在圖書館見面，一起做寒假作業(yè)，他們每次到圖書館的時間都是隨機(jī)的。若甲先到圖書館而乙在10分鐘后還沒到，則甲離開圖書館；若乙先到圖書館而甲在15分鐘后還沒到，則乙離開圖書館。求他們兩人在起先的第一天就可以見面的概率?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)甲、乙到達(dá)的時間為和，將問題轉(zhuǎn)化為時間差問題，運用幾何概率求出結(jié)果則的全部可能結(jié)果是邊長為60的正方形，，而可能見面的時間用圖中的陰影部分表示，，于是他們見面的概率為：.練習(xí)1．如圖在圓中，，是圓相互垂直的兩條直徑，現(xiàn)分別以，，，為直徑作四個圓，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接小圓的各個交點，形成一個正方形，由半圓形與正方形的關(guān)系可求得陰影部分占總面積的比值?！驹斀狻咳缦聢D所示，連接相鄰兩個小圓的交點，得四邊形EFMN，易知四邊形EFMN為正方形練習(xí)2．從區(qū)間中任取一個值，則函數(shù)是增函數(shù)的概率為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由函數(shù)為增函數(shù)得到a的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式計算干脆得到答案.【詳解】∵函數(shù)為遞增函數(shù)，∴即解得1＜,又a從區(qū)間中任取一個值由概率公式可得故選：A.練習(xí)3．已知甲乙兩輛車去同一貨場裝貨物，貨場每次只能給一輛車裝貨物，所以若兩輛車同時到達(dá)，則須要有一車等待.已知甲、乙兩車裝貨物須要的時間都為20分鐘，倘如甲、乙兩車都在某1小時內(nèi)到達(dá)該貨場，則至少有一輛車須要等待裝貨物的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)現(xiàn)在時間是0，甲乙到場的時間分別是xy，那么就會有0≤x≤60，0≤y≤60，|x﹣y|假如小于20，就是等待事務(wù)，否則不用等待了．由此能求出至少有一輛車須要等待裝貨物的概率．【詳解】分別設(shè)雙手套為：，分別代表左手手套，分別代表右手手套；從箱子里的雙不同的手套中，隨機(jī)拿出只，全部的基本領(lǐng)件是：，共有個基本領(lǐng)件；事務(wù)包含：一共個基本領(lǐng)件，故事務(wù)的概率為，故選B。練習(xí)2．已知某運動員每次投籃命中的概率是40％．現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)：907966191925271431932458569683．據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為A．B．C．D．【答案】C（八）條件概率例8.為了探討學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象實力(指標(biāo)x)、推理實力(指標(biāo)y)、建模實力(指標(biāo)z的相關(guān)性，將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標(biāo)w=x+y+x的值評定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級；若則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級：若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：(1)在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建棋實力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率；(2)在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級足一級的學(xué)生人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列及其數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮浚?）；（2）見解析【解析】（1）由表格結(jié)合條件概率公式即可得到結(jié)果；（2）X的全部可能取值為0,1，2，3，求出相應(yīng)的概率值，帶入期望公式得到結(jié)果.【詳解】x2331222222y2232332312z3332232312w7895786846（1）由題可知:建模實力一級的學(xué)生是；建模實力二級的學(xué)生是；建模實力三級的學(xué)生是.練習(xí)2．吸煙有害健康，遠(yuǎn)離煙草，珍惜生命。據(jù)統(tǒng)計一小時內(nèi)吸煙5支誘發(fā)腦血管病的概率為0.02，一小時內(nèi)吸煙10支誘發(fā)腦血管病的概率為0.16.已知某公司職員在某一小時內(nèi)吸煙5支未誘發(fā)腦血管病，則他在這一小時內(nèi)還能繼吸煙5支不誘發(fā)腦血管病的概率為（）A．B．C．D．不確定【答案】A【解析】干脆利用條件概率公式計算出該事務(wù)的概率．【點睛】本題考查的是條件概率.條件概率一般有兩種求解方法：(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝,求P(B|A)．(2)基本領(lǐng)件法：借助古典概型概率公式，先求事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再求事務(wù)AB所包含的基本領(lǐng)件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝.練習(xí)3．甲、乙二人爭奪一場圍棋競賽的冠軍。若競賽為“三局兩勝”制，甲在每局競賽中獲勝的概率均為，且各局競賽結(jié)果相互獨立。則在甲獲得冠軍的狀況下，競賽進(jìn)行了局的概率為()A．B．C．D．【答案】B（九）獨立事務(wù)例9.甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋競賽，每局勝者得1分，負(fù)者得0分，約定一方比另一方多3分或滿9局時競賽結(jié)束，并規(guī)定：只有一方比另一方多三分才算贏，其它狀況算平局，假設(shè)在每局競賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局競賽結(jié)果相互獨立，已知前3局中，甲勝2局，乙勝1局.（1）求甲獲得這次競賽成功的概率；（2）設(shè)表示從第4局起先到競賽結(jié)束所進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求得分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）利用互斥事務(wù)的概率和公式及相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率乘法運算求出甲獲得這次競賽成功的概率；（2）求出隨機(jī)變量可取得值；利用互斥事務(wù)的概率和公式及相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率乘法公式求出隨機(jī)變量取每一個值的概率；列出分布列；利用隨機(jī)變量的期望公式求出隨機(jī)變量的期望【詳解】（1）設(shè)甲獲得這次競賽成功為事務(wù)A：；（2）X可能取值為：2,4,6，，，的分布列為246【點睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“推斷取值”，即推斷隨機(jī)變量的全部可能取值，以及取每個值所表示的意義；其次步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見