河南省新鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁河南省2024—2025年度高二期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊占30%，選擇性必修第二冊占35%，選擇性必修第三冊第六、七章占35%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線與互相垂直，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分類討論直線斜率，再利用即可.【詳解】由題意可知直線的斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，不滿足；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，由，得，即，解得．故選：B2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)代入即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又，則．當(dāng)時(shí)，，又，所以，解得：．故選：D3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.250 B.500 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求得答案.【詳解】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，，令，解得，所以的系數(shù)為．故選：C4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為30，且，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算求出，進(jìn)而得出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，又，解得，故．故選：D.5.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)得出切線斜率，再應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】，所求切線方程為．故選：A.6.已知直線與函數(shù)，的圖象分別交于點(diǎn)、，當(dāng)取得最小值時(shí)，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值及其對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，令函數(shù)，則．由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即的最小值為，此時(shí)．故選：A.7.記棱長為2的正方體的內(nèi)切球?yàn)榍蚴乔騉的一條直徑，P為該正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律求解.【詳解】由題意可得，球O的半徑為1．．當(dāng)P為正方體頂點(diǎn)時(shí)等號成立，故選：B8.將一根長為3的鐵絲截成9段，使其組成一個(gè)正三棱柱的框架（鐵絲長等于正三棱柱所有棱的長度之和），則該正三棱柱的體積最大為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出正三棱柱的體積，再求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得出最大值即可.【詳解】設(shè)正三棱柱的底面邊長為x，側(cè)棱長為y，則，即．正三棱柱的體積．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，V取得最大值，最大值為．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列，且，求得，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解.【詳解】解得：所以，A，B，D正確，，C錯(cuò)誤．故選：ABD10.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.若為奇函數(shù)，則B.的圖象關(guān)于直線對稱C.若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為D.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求定義域，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求出；B選項(xiàng)，計(jì)算出，B正確；C選項(xiàng)，，解不等式求出單調(diào)遞增區(qū)間；D選項(xiàng)，求導(dǎo)，得到，其中，解不等式求出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】A選項(xiàng)，定義域?yàn)椋羝婧瘮?shù)，則，解得，A錯(cuò)誤．B選項(xiàng)，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，B正確．C選項(xiàng)，若，則．令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，C正確．D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故．令，即，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確．故選：BCD11.已知表示中最小的數(shù)，表示中最大的數(shù).若數(shù)列，都只有項(xiàng)，且都是由數(shù)字，，，，，，，隨機(jī)排列而成的（每個(gè)數(shù)字都出現(xiàn)，但不重復(fù)出現(xiàn)），記，，則（）A.X的值可能為，，， B.的值可能為，，，C.的概率為 D.的概率為【答案】ACD【解析】【分析】先確定滿足條件的的個(gè)數(shù)，再結(jié)合定義確定的可能取值，確定取各值的方法數(shù)，由此可得取各值的概率，再求的值及取各值的概率，結(jié)合概率加法和乘法公式求結(jié)論.【詳解】將1，2，3，4，5，6，7，8平均分成組，有種分法.X的值可能為，，，，A正確；不妨設(shè)，若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時(shí).若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時(shí).若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時(shí).若，，，中的最大值為，則，，，中的最大值為，有種情況，此時(shí).，，，.，C正確；又的值可能為，，，，B錯(cuò)誤；不妨設(shè)若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時(shí).若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時(shí).若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時(shí).若，，，中的最小值為，則，，，中的最小值為，有種情況，此時(shí).，，，.，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個(gè)，估計(jì)其中單果質(zhì)量超過的草莓有___________個(gè)．附：若，則．【答案】1587【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】由可知，故其中單果質(zhì)量超過的草莓約有個(gè)．故答案為：1587.13.將6名志愿者安排到5個(gè)小區(qū)參加以“健康生活”為主題的宣傳活動(dòng)，每名志愿者只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有___________種．【答案】1800【解析】【分析】先利用組合數(shù)的概念從名志愿者中選出人作為一組，再利用排列數(shù)的概念將分好的組全排列分配到個(gè)小區(qū)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出不同的安排方法總數(shù)．【詳解】先將2名志愿者看作一組，選法有種，再將5組志愿者分配到5個(gè)小區(qū)，分法有種，故不同的安排方法有種．故答案為：14.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線C右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為是面積為的直角三角形，則雙曲線C的實(shí)半軸長為___________．【答案】##【解析】【分析】通過已知點(diǎn)所在象限和，利用直線斜率求出三角函數(shù)值，再借助正弦定理得到線段比例關(guān)系，結(jié)合三角形面積求出線段長度，最后根據(jù)雙曲線定義求出的值．【詳解】由題可知，點(diǎn)P在第四象限，．設(shè)．由，求得．因?yàn)椋?，求得，即．由正弦定理可得．設(shè)，得．由，得，則，，又，解得．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．①求m的取值范圍；②若，求的值．【答案】（1）（2）①；②．【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和過點(diǎn)，代入計(jì)算得到答案；（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得，利用根的判別式求解即可；（3）由（2）結(jié)合，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以．橢圓C的離心率為，解得．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】聯(lián)立得．①，解得，所以m的取值范圍為．②因?yàn)?，所以，解得．?6.為了研究某中藥預(yù)防方對預(yù)防某種疾病的效果，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到如下結(jié)果：單位：人服用情況患病情況患病不患病服用中藥預(yù)防方100900不服用中藥預(yù)防方400600（1）從參與該實(shí)驗(yàn)的人中任選1人，A表示事件“選到的人服用中藥預(yù)防方”，B表示事件“選到的人不患病”．利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，求的值．（2）以頻率作為概率，若每天從參與該實(shí)驗(yàn)且服用了中藥預(yù)防方的人中隨機(jī)抽取1人，連續(xù)抽10天，每天抽取的結(jié)果相互獨(dú)立，記這10天抽到的人中不患病的人數(shù)為X，求X的期望．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）概率計(jì)算，依據(jù)條件概率公式來求解；（2）二項(xiàng)分布期望的計(jì)算，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式進(jìn)行計(jì)算．【小問1詳解】由題意可得，．．【小問2詳解】從參與該實(shí)驗(yàn)且服用了中藥預(yù)防方的人中隨機(jī)抽取1人，不患病的概率為．由已知得，則．17.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，．（1）證明：平面平面．（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證平面，由此可得平面平面；（2）作，垂足為E，連接，先證平面，然后以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示面面角的余弦值，即可求解，再利用錐體的體積公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；【小?詳解】作，垂足為E，連接，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，，解得（舍去），即，四棱錐的體積.18.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若，求a的取值范圍．【答案】（1）極小值為，無極大值．（2）答案見解析（3）．【解析】【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系求極值點(diǎn)，再求極值即可；(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(3)由題意，可得，即，構(gòu)造函數(shù)，上式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算求解即可得出結(jié)果．【小問1詳解】．令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．在處取得極小值，極小值為，無極大值．【小問2詳解】的定義域?yàn)椋?，則為常函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間．若，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．【小問3詳解】因?yàn)?，所以，即．令函?shù)，上式等價(jià)于．在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即．因?yàn)?，所以，所以．故a的取值范圍是．19.某商家為吸引顧客，準(zhǔn)備了兩份獎(jiǎng)品，凡是進(jìn)店消費(fèi)即可參與抽獎(jiǎng)，獎(jiǎng)品被抽完即抽獎(jiǎng)活動(dòng)終止．抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和質(zhì)地相同），取出紅球，則不獲獎(jiǎng)，取出白球，則獲獎(jiǎng)．剛開始盒子中有個(gè)白球和個(gè)紅球，參與抽獎(jiǎng)的顧客從盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)球，若不獲獎(jiǎng)，則將球放回，該顧客抽獎(jiǎng)結(jié)束，下一名顧客繼續(xù)抽獎(jiǎng)．若獲獎(jiǎng)，則將球放回后再往盒子中加個(gè)紅球，該顧客再繼續(xù)抽獎(jiǎng)．若第二次抽獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)，則將球放回，該顧客只獲得一份獎(jiǎng)品，抽獎(jiǎng)結(jié)束，下一名顧客繼續(xù)抽獎(jiǎng)；若第二次抽獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)，則該顧客獲得兩份獎(jiǎng)品，整個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)結(jié)束．該活動(dòng)深受顧客喜歡，假設(shè)這兩份獎(jiǎng)品沒被抽完前始終有顧客參與抽獎(jiǎng)．（1）求第名和第名顧客各抽中一份獎(jiǎng)品的概率；（2）求這兩份獎(jiǎng)品都被第名顧客抽取的概率；（3）求由第名顧客終止抽獎(jiǎng)活動(dòng)的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）分析可知第名顧客抽取的是紅球；第名顧客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是紅球；第名顧客抽取的是白球.結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）利用列舉法列舉出這兩分別獎(jiǎng)品都被第名、第名、第名顧客抽走的概率，利用歸納可得出這兩份獎(jiǎng)品都被第名顧客抽取的概率；（3）設(shè)由第名顧客終止抽獎(jiǎng)的概率為，可得出的值，討論的情形，第名顧客共抽取了兩份獎(jiǎng)品，則前面名顧客都沒有抽到獎(jiǎng)品；第名顧客抽取了一份獎(jiǎng)品，則前面名顧客中第名顧客抽到了一份獎(jiǎng)品，計(jì)算出兩種情況下所求概率，相加即可得解.【小問1詳解】由題意可得第名和第名顧客各抽中一份獎(jiǎng)品，即第名顧客抽取是紅球；第名顧客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是紅球；第名顧客抽取的是白球.故第名和第名顧客各抽中一份獎(jiǎng)品的概率為.【