機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第5章控制系統(tǒng)穩(wěn)定分析

分析控制性能的主要途徑第5章控制系統(tǒng)穩(wěn)定分析

控制系統(tǒng)正常工作的首要條件是系統(tǒng)穩(wěn)定。一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能正常工作的，當(dāng)然更談不上高質(zhì)量地工作了。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制理論的首要問(wèn)題。經(jīng)典控制理論對(duì)于判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定提供了多種方法，本章著重討論幾種線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)及其使用。第5章控制系統(tǒng)穩(wěn)定分析5.1概述

5.1.1控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件

如果系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用時(shí)將偏離穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消除后，系統(tǒng)能夠以足夠的精度逐漸恢復(fù)到原來(lái)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。5.1概述

5.1.1控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件

系統(tǒng)的穩(wěn)定性還可以分為大范圍穩(wěn)定和小范圍穩(wěn)定兩種情況。如圖5-2所示，在圖(a)中小球偏離穩(wěn)定點(diǎn)，如果不論偏離多大的范圍，小球最終都能回到A點(diǎn)，即為大范圍穩(wěn)定。定義若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移偏差逐漸衰減并趨近于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指自動(dòng)控制系統(tǒng)在受到擾動(dòng)作用使平衡狀態(tài)破壞后，經(jīng)過(guò)調(diào)節(jié)能重新達(dá)到平衡狀態(tài)的性能。即系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

5.1概述

5.1.1控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基本條件

描述線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的微分方程為

系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)含義是指系統(tǒng)去掉擾動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，即當(dāng)方程右邊

為零時(shí)（即齊次方程），

是否收斂。當(dāng)時(shí)間t→時(shí)，存在，系統(tǒng)穩(wěn)定。

5.1.2控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.1.2控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

線性閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，是系統(tǒng)本身的一種特性，與系統(tǒng)輸入量無(wú)關(guān)。因此，假設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想單位脈沖，這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)c(t)。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號(hào)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡狀態(tài)。若時(shí)，脈沖響應(yīng)。對(duì)應(yīng)上式的拉氏變換

特征方程。因式分解得有n個(gè)根，k個(gè)實(shí)數(shù)根，2r個(gè)復(fù)數(shù)根。上式的反拉氏變換，有5.1.2控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件只有當(dāng)實(shí)數(shù)根λi，復(fù)數(shù)根的實(shí)部σi為負(fù)值時(shí)，有，系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s平面的左半部。下圖給出了s平面上閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）的位置與穩(wěn)定性的關(guān)系。5.1.2控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件6個(gè)根均在虛軸的左側(cè)，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定方法可總結(jié)如下勞斯-赫爾維茨（Routh-hurwitz）判據(jù)

代數(shù)判據(jù)方法。根據(jù)系統(tǒng)特征方程式判斷特征根在s平面的位置。根軌跡法圖解求特征根的方法。根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，以某一參數(shù)做出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在s平面的軌跡。奈奎斯特（Nyquist）判斷復(fù)變函數(shù)的方法。根據(jù)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的頻率特性確定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫方法根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的特征確定穩(wěn)定性，適用于線性和非線性系統(tǒng)。

系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定方法可總結(jié)如下直接方法

求解特征方程式的根。由上述系統(tǒng)穩(wěn)定性充要條件來(lái)判定系統(tǒng)的。當(dāng)階次高于4，根的求解就很困難。間接方法間接分析方法通常有代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)法、頻域穩(wěn)定判據(jù)法等。（1）代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)，也稱勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)；（2）頻率穩(wěn)定性判據(jù)，也稱奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)。(3)根軌跡法，特征方程根在s平面的變化軌跡，圖解法分析穩(wěn)定性。頻域法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性不僅能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也能方便地分析系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

特征方程的根與方程式的系數(shù)有關(guān)，所以使系統(tǒng)特征方程具有負(fù)實(shí)根或負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)根的必要條件是特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均存在，且都大于零。必要條件

>0系數(shù)大于零。正負(fù)號(hào)相同。勞斯穩(wěn)定判據(jù)(RouthCriterion)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)(HurwitzCriterion)

不求特征方程的根，由特征方程式中已知的系數(shù)，間接判別出方程的根是否均為具有負(fù)實(shí)部的復(fù)數(shù)根或負(fù)實(shí)根，從而判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。5.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（Routh勞斯準(zhǔn)則）

特征方程將其系數(shù)排列成勞斯表5.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)5.2.1勞斯(Routh)穩(wěn)定性判據(jù)勞斯穩(wěn)定性判據(jù)：（1）系統(tǒng)穩(wěn)定必要條件為系統(tǒng)特征方程式的全部系數(shù)大于零，且不缺項(xiàng)；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定充分條件為由系統(tǒng)特征方程式系數(shù)組成的勞斯表第一列全部大于零。

例1系統(tǒng)特征方程為試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

從系統(tǒng)特征方程看出，它的所有系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。列寫(xiě)勞斯陣列表如下1126611061/66455/6106

第一列系數(shù)均為正實(shí)數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。事實(shí)上，從因式分解可將特征方程寫(xiě)為其根為-2，-3，，均具有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(s+2)(s+3)(s2+s+1)=0

例2

已知系統(tǒng)特征方程式為解列勞斯陣列表

12531659（各系數(shù)均已乘3）

-1115（各系數(shù)均已乘5/2）

174（各系數(shù)均已乘11）

15

勞斯陣列表第一列有負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于第一列系數(shù)的符號(hào)改變了兩次(5→－11→174)，所以，系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)根的實(shí)部為正。5.2代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)5.2.1勞斯(Routh)穩(wěn)定性判據(jù)（1）勞斯陣列表中某一行元素為零，但該行其余元素不全為零，則在計(jì)算下一行元素時(shí)，該元素必將趨于無(wú)窮，勞斯陣列表的計(jì)算將無(wú)法進(jìn)行。這時(shí)可用一個(gè)很小的正數(shù)

來(lái)代替第一列等于零的元素，然后繼續(xù)計(jì)算勞斯陣列表的其他元素。（2）勞斯陣列表中某一行的元素全部為零，這時(shí)可利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并利用這個(gè)多項(xiàng)式方程的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成勞斯陣列表的下一行，然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。勞斯(Routh)穩(wěn)定性判據(jù)的兩個(gè)特殊情況例3設(shè)系統(tǒng)特征方程為解勞斯陣列表為由于e的上下兩個(gè)系數(shù)(2和2)符號(hào)相同，則說(shuō)明有一對(duì)虛根存在。上述特征方程可因式分解為

有負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)穩(wěn)定。

1122

e

2s3+2s2+s+2=0

例4系統(tǒng)特征方程為解勞斯陣列表為

11610160輔助多項(xiàng)式10+16000↓求導(dǎo)數(shù)

200構(gòu)成新行20s+0160從上表第一列可以看出，各系數(shù)均未變號(hào)，所以沒(méi)有特征根位于右半平面。由輔助多項(xiàng)式知道10s2+

160

=

0有一對(duì)共軛虛根為±j4。例5特征方程式為解勞斯陣列表如下：

13-426-8輔助多項(xiàng)式2s4+

6s2-

8

000↓求導(dǎo)數(shù)

8120構(gòu)成新行8s3+

12s

3-8100/3-8

勞斯陣列表第一列變號(hào)一次，故有一個(gè)根在右半平面。由輔助多項(xiàng)式：可得s1,2=±１，s3,4=±j2，它們均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中一個(gè)根在S平面的右半平面。2s4+

6s2-

8

=

05.2.3勞斯判據(jù)的應(yīng)用應(yīng)用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)穩(wěn)定不穩(wěn)定，即系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且也可檢驗(yàn)系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕量，即相對(duì)穩(wěn)定性。另外勞斯判據(jù)還可用來(lái)分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1.穩(wěn)定裕量的檢驗(yàn)

如圖所示，令

即把虛軸左移s1

。將上式代入系統(tǒng)的特征方程式，得以z為變量的新特征方程式，然后再檢驗(yàn)新特征方程式有幾個(gè)根位于新虛軸(垂直線s=-s1)的右邊。如果所有根均在新虛軸的左邊（新勞斯陣列式第一列均為正數(shù)），則說(shuō)系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量s1

。

s

=z

-s1

穩(wěn)定裕量s1例6檢驗(yàn)特征方程式是否有根在右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在直線s=-１的右邊。解勞斯陣列表為

21310412.24

第一列無(wú)符號(hào)改變，故沒(méi)有根在S平面右半平面。再令s=z-1，代入特征方程式，得即

則新的勞斯陣列表從表中可看出，第一列符號(hào)改變一次，故有一個(gè)根在

直線s=-1（即新座標(biāo)虛軸）的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到1。

2.分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響設(shè)一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-34所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的特征方程式為z

3

2-1

z

2

4-1

z

1

-1/2

z

0

-1求K的范圍，使系統(tǒng)穩(wěn)定

列寫(xiě)勞斯陣列表：

s3

15

s2

6

K

s1

s0

K

若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其充要條件是勞斯陣列表的第一列均為正數(shù)，

即K>0，30-K>0

所以0<K<30，其穩(wěn)定的臨界值為30。由此可以看出，為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)的K值有一定限制。但是為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，則要求較大的K值，兩者是矛盾的。為了滿足兩方面的要求，必須采取校正的方法來(lái)處理。

例7系統(tǒng)特征方程式為按穩(wěn)定要求確定T的臨界值。解勞斯陣列表為

s41T100

s3

210

s2

T-

5100

s1

s0

100s4+

2s3+

Ts2+

10s

+

100

=

0由勞斯陣列表可以看出，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須T-5>0，

＞０

即必須T>25系統(tǒng)才能穩(wěn)定。285.3頻域穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)（簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)）是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一重要方法。它是將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性與復(fù)變函數(shù)位于S平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來(lái)的一種判據(jù)。

奈氏判據(jù)是一種圖解法，它依據(jù)的是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)特性可用解析法或?qū)嶒?yàn)法獲得，因此，應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性兼有方便和實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)。奈氏判據(jù)還有助于建立相對(duì)穩(wěn)定性的概念。1928年,提出著名的奈奎斯特采樣定理；1932年,提出著名的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)；美國(guó)有138項(xiàng)專利，涉及電話、電報(bào)、圖像傳輸系統(tǒng)等。乃奎斯特（H.Nyquist)美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家1889~1976伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家315.3頻率穩(wěn)定性判據(jù)利用開(kāi)環(huán)頻率特性曲線來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不僅避免了求取閉環(huán)特征根的繁瑣，還有利于研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的改變對(duì)穩(wěn)定性的影響，同時(shí)還能夠?qū)в醒舆t環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判別，并且稍加推廣可用來(lái)研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)既可以利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(奈奎斯特曲線，或稱稱極坐標(biāo)圖)，也可以利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線(伯德圖)來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。實(shí)根

一階方程

當(dāng)ω變化時(shí)，D1(jω)端點(diǎn)沿虛軸滑動(dòng)，其相角相應(yīng)發(fā)生變化。5.3.1米哈伊洛夫定理5.3頻率穩(wěn)定性判據(jù)D(s)特征方程根只存在三種情況：零根、實(shí)根和共扼復(fù)根5.3.1米哈伊洛夫定理5.3頻率穩(wěn)定性判據(jù)特征根為負(fù)實(shí)根ω由0→

時(shí)，D1(jω)的模增大，轉(zhuǎn)角是逆時(shí)針轉(zhuǎn)90o正實(shí)根時(shí)，轉(zhuǎn)角是共軛復(fù)根

二階方程

當(dāng)ω變化時(shí)，D2(jω)端點(diǎn)沿虛軸滑動(dòng)，其相角相應(yīng)發(fā)生的變化。5.3.1米哈伊洛夫定理5.3頻率穩(wěn)定性判據(jù)D(s)特征方程根只存在三種情況：零根、實(shí)根和共扼復(fù)根5.3.1米哈伊洛夫定理5.3頻率穩(wěn)定性判據(jù)共軛復(fù)根在左平面ω由0→

時(shí)，D2(jω)的模增大，角增量是逆時(shí)針轉(zhuǎn)同理共軛復(fù)根在右平面左右共軛復(fù)根的增量5.3.1米哈伊洛夫定理5.3頻率穩(wěn)定性判據(jù)D(s)特征方程n一共有n個(gè)根p個(gè)根在右平面q個(gè)在原點(diǎn)（零根）左平面上的根是n-p-q當(dāng)ω由0→

時(shí)，Dn(jω)的模增大，角增量若所有的根在左平面，p=0，q=0。當(dāng)ω由0→

時(shí)，Dn(jω)的角增量穩(wěn)定注意2p5.3.1米哈伊洛夫定理5.3頻率穩(wěn)定性判據(jù)一共有n=1個(gè)根p=0個(gè)根在右平面q=0個(gè)在原點(diǎn)（零根）左平面上的根是n-p-q=1穩(wěn)定一共有n=4個(gè)根p=2個(gè)根在右平面q=0個(gè)在原點(diǎn)（零根）左平面上的根是n-p-q=2閉環(huán)控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，可令傳遞函數(shù)的分母等于零求得的特征方程的根來(lái)確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。將系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性與復(fù)變函數(shù)位于S平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來(lái)的一種判據(jù)。5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)5.3頻率穩(wěn)定性判據(jù) 復(fù)變函數(shù)稱之為輔助函數(shù)

其中是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。通?？蓪?xiě)成如下形式

式中pi是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，代入輔助函數(shù)式得

輔助函數(shù)的零點(diǎn)等于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程的根。因此，如果輔助函數(shù)的零點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部，即都位于S平面的左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)當(dāng)ω由0→

時(shí)，F(xiàn)(jω)的相角變化為根據(jù)相角的變化，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（根在s平面的左側(cè)或右側(cè)）。與開(kāi)環(huán)有關(guān)：開(kāi)環(huán)穩(wěn)定開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定開(kāi)環(huán)含有零極點(diǎn)5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)當(dāng)ω由0→

時(shí)，F(xiàn)(jω)的相角變化為如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征根均在s平面的左半平面，根據(jù)米哈伊洛夫定理得5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定這時(shí)如果閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（特征根均在s平面的左半平面），則有幾何意義5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)當(dāng)ω由0→

時(shí)，F(xiàn)(jω)的相角變化為0。F(jω)奈奎斯特圖不包圍原點(diǎn)(不繞原點(diǎn))，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開(kāi)環(huán)穩(wěn)定因?yàn)镕(s)=1+Gk(s)，所以開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Gk(s)的奈奎斯特圖不包圍

點(diǎn)(-1,j0)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定

。Dk(s)在s平面的右側(cè)有p個(gè)極點(diǎn)，n-p個(gè)在左側(cè)。5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)相角變化量為2.開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的則有幾何意義5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)Dk(s)在s平面的右半平面有p個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)ω由0→

時(shí)，F(xiàn)(s)=1+Gk(s)的奈奎斯特曲線繞點(diǎn)（-1，j0）的角度變化為pπ。系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定。2.開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定Dk(s)在s平面的原點(diǎn)處，奈奎斯特線起點(diǎn)不在軸上。加輔助線，進(jìn)行判斷。5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)3.開(kāi)環(huán)含有零極點(diǎn)

輔助線的添加方法是，從奈奎斯特曲線起點(diǎn)（ω=0）開(kāi)始，補(bǔ)畫(huà)一半徑為無(wú)窮大，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的大圓弧作為輔助線，與正實(shí)軸相交，并視該輔助線為開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線的組成的部分，即正實(shí)軸的交點(diǎn)為開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線的起點(diǎn)。

對(duì)添加輔助線后的奈奎斯特曲線應(yīng)用奈奎斯特判據(jù)，可判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈奎斯特軌跡在G(jω)H(jω)平面上的映射關(guān)系：當(dāng)奈魁斯特軌跡順時(shí)針包圍F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)時(shí)，在G(jω)H(jω)平面內(nèi)的映射圍線G(jω)H(jω)(開(kāi)環(huán)頻率特性)，必定順時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)N次，且N＝z-p。5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)利用開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)判別系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性。（1）當(dāng)系統(tǒng)為開(kāi)環(huán)穩(wěn)定時(shí)，只有當(dāng)開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，若有P個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在[s]右半平面時(shí)，只有當(dāng)G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)P次，閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。解釋：(1)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定情況：G(jω)H(jω)不包圍（-1，j0）點(diǎn)=奈氏軌跡不包圍F(s)的零點(diǎn)=沒(méi)有閉環(huán)極點(diǎn)在[s]右半平面=閉環(huán)穩(wěn)定(2)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定情況：G(jω)H(jω)逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)p次=奈氏軌跡順時(shí)針包圍F(s)的p個(gè)極點(diǎn)=奈氏軌跡不包圍F(s)的任何零點(diǎn)=沒(méi)有閉環(huán)極點(diǎn)在s右半平面=閉環(huán)穩(wěn)定—[s]右半平面沒(méi)有F(s)的極點(diǎn)—s右半平面有p個(gè)F(s)的極點(diǎn)—p個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)×逆包圍一次×逆包圍2次×不包圍×不包圍

穩(wěn)定性分析示意圖例開(kāi)環(huán)為一階系統(tǒng)，利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。(1),開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，p=0；﹣1K(2)畫(huà)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖無(wú)論K取何值，均不包圍-1，j0點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。只要K>1，逆時(shí)針包圍-1，j0點(diǎn)一次，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。K<1，不包圍，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定,p=1﹣1,j0﹣K例開(kāi)環(huán)為二階系統(tǒng)，利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。K取任意值，曲線均不包圍(-1，j0)點(diǎn)，閉環(huán)穩(wěn)定。K>1，逆時(shí)針包圍(-1，j0)一次，閉環(huán)穩(wěn)定。K<1，不包圍(-1，j0)點(diǎn)，閉環(huán)不穩(wěn)定。K＝1，曲線穿過(guò)(-1，j0)，臨界穩(wěn)定。K取任意值，均不包圍(-1，j0)點(diǎn)，有2個(gè)不穩(wěn)定閉環(huán)極點(diǎn)。閉環(huán)不穩(wěn)定。P=0﹣1wKP=1w﹣K﹣1P=2wK﹣1若開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在虛軸上，則奈氏軌跡經(jīng)過(guò)時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為不定值，需改進(jìn)奈氏軌跡。在原點(diǎn)取一小半圓，ε為半徑，讓,θ從-90°變化到+90°。改進(jìn)后的奈魁斯特軌跡圖:的零極點(diǎn)仍被包圍在這個(gè)封閉曲線內(nèi)。當(dāng)ε→無(wú)窮小時(shí)，在原點(diǎn)的小圓→0。因此，F(xiàn)(s)在右半平面改進(jìn)方法：奈奎斯特軌跡穿過(guò)F(s)奇點(diǎn)情況D0+0﹣ABC[S]DC[S]例(BC段)若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判定系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：GHGH(CD段)當(dāng)s沿著R=∞右半圓運(yùn)動(dòng)時(shí),其映射在GH平面上僅一點(diǎn)，GH=0。(DA段)

s=-∞→0-時(shí)，其映射與0+→∞對(duì)稱。(AB段),s從0-→0+時(shí)，θ從-90°~90°,對(duì)應(yīng)的映射為：

因此，映射GH為半徑為∞，角度從+90°到-90°的半圓（順時(shí)針?lè)较颍４死到y(tǒng)中，沒(méi)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在s右半平面，開(kāi)環(huán)頻率特性曲線不包圍-1，j0點(diǎn)。因此，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。GH總結(jié)：

當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)不存在積分項(xiàng)（0型系統(tǒng)），使用開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)存在積分項(xiàng)（1型以上系統(tǒng)），要在開(kāi)環(huán)頻率特性GH基礎(chǔ)上，從ω=0-出發(fā)順時(shí)針畫(huà)輔助連線（半徑無(wú)窮大）到ω=0+處，以此封閉曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.3.3具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

在機(jī)械工程的許多系統(tǒng)中存在著延時(shí)環(huán)節(jié)，將給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)不利的影響。延時(shí)環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，通常是串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道和反饋通道中。由此可見(jiàn)，延時(shí)環(huán)節(jié)不改變系統(tǒng)的幅頻特性，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化改變，使滯后增加，且τ越大，產(chǎn)生的滯后越大。5.3.4對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的奈奎斯特圖（極坐標(biāo)圖）來(lái)判定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性，如果將開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖改畫(huà)為開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，即伯德（bode）圖,同樣可以利用它來(lái)判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

這種方法稱為對(duì)數(shù)頻率特性判據(jù)，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)判據(jù)或bode判據(jù)，它實(shí)質(zhì)上是奈奎斯特判據(jù)的引申。。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性不包含（-1，j0）點(diǎn)。5.3.4對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)曲線1對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)穩(wěn)定的；曲線2對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。5.3.4對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特圖轉(zhuǎn)換成伯德圖，兩圖之間有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系。（1）奈奎斯特圖上的單位圓對(duì)應(yīng)于伯德圖的橫軸，單位圓之外對(duì)應(yīng)于伯德圖的0dB線之上。（2）奈奎斯特圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于伯德圖的-180o線。一、映射定理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)其中zi,pi分別為F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。5-3奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)S平面上順時(shí)針?lè)较虻姆忾]曲線C如果包圍了F(s)

的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則映射在F(s)平面上的曲線C’逆時(shí)針包圍原點(diǎn)N=P-Z圈。ImRe[F(s)]C’[s]C映射定理:ImRes→F(s)N=P-Z圈說(shuō)明：1.F(s)=s-zC為順時(shí)針?lè)较騴為復(fù)數(shù)F(s)=s-z如果C不包圍z，則C’不包圍原點(diǎn)。F(s)=s-z如果C包圍z，則C’順時(shí)針包圍原點(diǎn)1圈；2.

如果C不包圍p，則C’不包圍原點(diǎn)。如果C包圍p，則C’逆時(shí)針包圍原點(diǎn)1圈；C包圍z個(gè)零點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)順時(shí)針z圈3.

單獨(dú)考慮C經(jīng)過(guò)每一個(gè)(s-zi)映射后相位增量之和4.

C包圍p個(gè)極點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)逆時(shí)針p圈綜合以上4種情況：

S平面上順時(shí)針?lè)较虻姆忾]曲線C如果包圍了F(s)

的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則映射在F(s)平面上的曲線C’逆時(shí)針包圍原點(diǎn)N=P-Z圈?！成涠ɡ矶?、

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)-閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 右零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0 開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式

順時(shí)針繞[s]右半平面的曲線，經(jīng)過(guò)

F(s)=1+G(s)H(s)

的映射，逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)閉環(huán)特征多項(xiàng)式

F'(s)=G(s)H(s)

F(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=F

'

(s)包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)?j∞(-1,j0)F(s)=1+G(s)H(s)D曲線Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定?！湟獥l件

特別的，當(dāng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定Nyquist曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)。Matlab命令：s1=zpk([],[-1-2-6],20)nyquist(s1)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右極點(diǎn)，乃氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。解：例題：已知反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試分析閉環(huán)控制系統(tǒng)當(dāng)K=20和K=200時(shí)的穩(wěn)定性。ω→-∞ω→+∞ω→0K=20開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右極點(diǎn)，乃氏曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)2圈，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。ω→-∞ω→+∞ω→-∞ω→+∞ω→0K=200當(dāng)K>0時(shí)，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍？（相位交界頻率）方法一：即，當(dāng)K<168時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)乃氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)ω→-∞ω→+∞ω→0當(dāng)K>0時(shí)，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍？方法二：勞斯判據(jù)5.4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定的程度。穩(wěn)定性進(jìn)行定量分析。在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，為了使系統(tǒng)能夠可靠地工作，不僅要求系統(tǒng)穩(wěn)定，而且還希望系統(tǒng)有足夠的穩(wěn)定裕度。開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線離點(diǎn)（-1，j0)越遠(yuǎn)，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；反之，其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。這就是所謂的系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，

一、相對(duì)穩(wěn)定性

在工程應(yīng)用中，由于環(huán)境溫度的變化、元件的老化以及元件的更換等，會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的改變，從而有可能破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此在選擇元件和確定系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，不僅要考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還要求系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定程度，這就是所謂自動(dòng)控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題。例如，圖5-14（a）和（b）所示的兩個(gè)最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線（實(shí)線）沒(méi)有包圍點(diǎn)，由奈氏判據(jù)知它們都是穩(wěn)定的系統(tǒng)，但圖5-14（a）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)A距離點(diǎn)較遠(yuǎn)，圖5-14（b）所示系統(tǒng)的頻率特性曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)B距離點(diǎn)較近。假定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系統(tǒng)由于系統(tǒng)參數(shù)的改變比原來(lái)增加了百分之五十，則圖5-14（a）中的A點(diǎn)移動(dòng)到A’

點(diǎn)，仍在點(diǎn)右側(cè)，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的；而圖5-14(b)中的B點(diǎn)則移到點(diǎn)的左側(cè)（B’點(diǎn)），系統(tǒng)便不穩(wěn)定了。可見(jiàn)，前者較能適應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的變化，即它的相對(duì)穩(wěn)定性比后者好。5.4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性圖5-14系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性

通常用穩(wěn)定裕度來(lái)衡量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，其中包括系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。

圖5-14最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度所謂相角裕度是指幅值穿越頻率所對(duì)應(yīng)的相移與－1800角的差值，即

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，如果相角裕度，系統(tǒng)是穩(wěn)定的（圖5-14a）），且值愈大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如果相角裕度，系統(tǒng)則不穩(wěn)定（圖5-53（b））。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線穿過(guò)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

相角裕度的含義使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)時(shí)的開(kāi)環(huán)頻率特性的相角減?。▽?duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)）或增加（對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定系統(tǒng)）的數(shù)值。1.相角裕度如圖5—14所示，我們把GH平面上的單位圓與系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的交點(diǎn)頻率稱為幅值穿越頻率或剪切頻率，它滿足2.幅值裕度

如圖5-14所示，我們把系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線與GH平面負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)頻率稱為相位穿越頻率，顯然它應(yīng)滿足

所謂幅值裕度Kg是指相位穿越頻率所對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)幅頻特性的倒數(shù)值，即

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)幅值裕度Kg>1(），系統(tǒng)是穩(wěn)定的(圖5-15(a))，且Kg值愈大,系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性愈好。如果幅值裕度，(),系統(tǒng)則不穩(wěn)定(圖5-15(b))。當(dāng)Kg=1時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線穿過(guò)點(diǎn)。是臨界穩(wěn)定狀態(tài)?？梢?jiàn)，求出系統(tǒng)的幅值裕度Kg后，便可根據(jù)Kg值的大小來(lái)分析最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)定程度。85幅值裕度的含義使系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定的臨界狀態(tài)時(shí)的開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值增大（對(duì)應(yīng)穩(wěn)定系統(tǒng)）或縮?。▽?duì)應(yīng)不穩(wěn)定系統(tǒng)）的倍數(shù)。幅值裕度也可以用分貝數(shù)來(lái)表示，分貝因此，可根據(jù)系統(tǒng)的幅值裕度大于、等于或小于零分貝來(lái)判斷最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定。

這里要指出的是，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的好壞不能僅從相角裕度或幅角裕度的大小來(lái)判斷，必須同時(shí)考慮相角裕度和幅角裕度。這從圖5-15（a）和（b）所示的兩個(gè)系統(tǒng)可以得到直觀的說(shuō)明，圖5-15（a）所示系統(tǒng)的幅值裕度大，但相角裕度??；相反，圖5-15（b）所示系統(tǒng)的相角裕度大，但幅值裕度小，這兩個(gè)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性都不好。對(duì)于一般系統(tǒng)，通常要求相角裕度=300～600，幅值裕度（6分貝）。86較小較大、gKga)(圖5-15穩(wěn)定裕度的比較較小較大、Kgbg)(87通常有三種求解系統(tǒng)相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、極坐標(biāo)圖法和伯德圖法。下面通過(guò)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。（一）解析法

根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率的開(kāi)環(huán)頻率特性，由式（5-124）和式（5-125）求出相角裕度；由式（5-126）和式（5-127）求出幅值裕度，如果幅值裕度用分貝數(shù)表示，則由式（5-128）求出。

例5-9已知最小相位系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求出該系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度。解系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為其幅頻特性和相頻特性分別是88由式（5-124）令，得由式（5-125）得由式（5－126），令得由式（5－127）得89（二）極坐標(biāo)圖法

在GH平面上作出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖，并作一單位圓，由單位圓與開(kāi)環(huán)頻率特性的交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線與負(fù)實(shí)軸的夾角求出相角裕度；由開(kāi)環(huán)頻率特性與負(fù)軸交點(diǎn)處的幅值的倒數(shù)得到幅值裕度Kg。

極坐標(biāo)圖

在上例中，先作出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線如圖5-55所示，作單位圓交開(kāi)環(huán)頻率特性曲線于A點(diǎn)，連接OA，射線OA與負(fù)實(shí)軸的夾