2025版高考數(shù)學一輪復習第3章三角函數(shù)解三角形第7節(jié)正弦定理余弦定理應用舉例教學案含解析理

PAGE1-第七節(jié)正弦定理、余弦定理應用舉例[考綱傳真]能夠運用正弦定理、余弦定理等學問和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．測量中的有關幾個術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ＜360°方向角相對于某正方向的水平角，如北偏東α，即由正北方向順時針旋轉α到達目標方向，南偏西α，即由正南方向順時針旋轉α到達目標方向，其他方向角類似例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180°. ()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). ()(3)方位角的大小范圍是[0,2π)，方向角的大小范圍一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(4)若點P在點Q的北偏東44°，則點Q在點P的東偏北46°. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC等于()A．10eq\r(,3)nmile B.eq\f(10\r(,6),3)nmileC．5eq\r(,2)nmile D．5eq\r(,6)nmileD[如圖，在△ABC中，AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°，∴eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，∴BC＝5eq\r(,6).]3．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的()A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°B[如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴點A在點B的北偏西15°.]4．如圖所示，要測量底部不能到達的電視塔的高度，選擇甲、乙兩觀測點．在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500mD[設塔高為xm，則由已知可得BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500(m)．]5．如圖所示，已知A，B兩點分別在河的兩岸，某測量者在點A所在的河岸邊另選定一點C，測得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為()A．50eq\r(3)m B．25eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．50eq\r(2)mD[因為∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m．]測量距離問題1．如圖所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于________m．(用四舍五入法將結果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)60[如圖所示，過A作AD⊥CB且交CB的延長線于D.在Rt△ADC中，由AD＝46m，∠ACB＝30°得AC＝92m.在△ABC中，∠BAC＝67°－30°＝37°，∠ABC＝180°－67°＝113°，AC＝92m，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得eq\f(92,sin113°)＝eq\f(BC,sin37°)，即eq\f(92,sin67°)＝eq\f(BC,sin37°)，解得BC＝eq\f(92sin37°,sin67°)≈60(m)．]2．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.10eq\r(3)[如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．]3．如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，之后它接著沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，且與它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.32[在△ABS中，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ASB)＝eq\f(BS,sin∠BAS)，則AB＝eq\f(8\r(2)sin45°,sin30°)＝16，故此船的船速是eq\f(16,0.5)＝32nmile/h.]4．如圖，A，B兩點在河的同側，且A，B兩點均不行到達，要測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，測得CD＝a，同時在C，D兩點分別測得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC，再在△ABC中，應用余弦定理計算出AB.若測得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，則A，B兩點間的距離為________km.eq\f(\r(6),4)[∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq\f(\r(3),2)(km)．在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).∴AB＝eq\f(\r(6),4)(km)．∴A，B兩點間的距離為eq\f(\r(6),4)km.][規(guī)律方法]求距離問題的兩個策略1選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則干脆求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.2確定用正弦定理還是余弦定理，假如都可用，就選擇更便于計算的定理.測量高度問題【例1】(2024·黃山模擬)如圖所示，一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛，到A處時測得馬路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m.100eq\r(6)[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．][規(guī)律方法]求解高度問題的3個留意點1在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角它是在鉛垂面上所成的角、方向位角它是在水平面上所成的角是關鍵.2在實際問題中，可能會遇到空間與平面地面同時探討的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清晰又不簡單搞錯.3留意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.如圖，從某電視塔CO的正東方向的A處，測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在電視塔的南偏西60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，AB間的距離為35米，則這個電視塔的高度為________米．5eq\r(21)[如圖，可知∠CAO＝60°，∠AOB＝150°，∠OBC＝45°，AB＝35米．設OC＝x米，則OA＝eq\f(\r(3),3)x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即352＝eq\f(x2,3)＋x2－eq\f(2\r(3),3)x2·cos150°，整理得x＝5eq\r(21)，所以此電視塔的高度是5eq\r(21)米．]測量角度問題【例2】某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，馬上測出該漁船在方位角為45°，距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇馬上以10eq\r(3)海里/時的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．[解]如圖所示，設所需時間為t小時，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，依據(jù)余弦定理，則有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°.整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴艦艇需1小時靠近漁船，此時AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(BC·sin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).∴∠CAB＝30°.所以艦艇航向為北偏東75°.[規(guī)律方法]解決測量角度問題的留意事項1應明確方位角或方向角的含義.2分析題意，分清已知與所求，再依據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步.3將實際問題轉化為解三角形的問題后，留意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”運用.如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心馬上把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．[解]在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·co