高中數(shù)學(xué) 函數(shù)模型的應(yīng)用 人教A版必 教學(xué)設(shè)計(jì)

2014高中數(shù)學(xué)3-2-2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例能力強(qiáng)化提升新人教A

版必修1

一、選擇題

1.某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增加值分別為0.2

萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似

的是()

A.y—0.2xB.y=，(f+2x)

2"

C.D.y=0.2+logi6X

［答案］C

［解析］當(dāng)x=l時(shí)，否定B,當(dāng)x=2時(shí)，否定D,當(dāng)x=3時(shí)，否定A,故選C.

2.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種成本不同的產(chǎn)品，原來(lái)按成本價(jià)出售，由于市場(chǎng)銷售發(fā)生變

化，甲產(chǎn)品連續(xù)兩次提價(jià)，每次提價(jià)都是20%；同時(shí)乙產(chǎn)品連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)都是20%,

結(jié)果都以92.16元出售，此時(shí)廠家同時(shí)出售甲、乙產(chǎn)品各一件，盈虧的情況是()

A.不虧不盈B.賺23.68元

C.賺47.32元D.虧23.68元

［答案］D

［解析］設(shè)甲、乙產(chǎn)品原來(lái)每件分別為x元、y元，則X(1+20%)2=92.16,y(l-20%)2

=92.16,；.x=64,尸144,64+144—92.16X2=23.68.

3.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的彳，要使存留的污垢不超過(guò)1%,則至少要洗的

次數(shù)是()

A.3B.4

C.5D.6

［答案］B

［解析］設(shè)至少需要清洗〃次，由已知得

311

。一/"忘遙即不忘而-

，4"N100:.心4,故選B.

4.某種產(chǎn)品市場(chǎng)銷量情況如圖所示，其中：人表示產(chǎn)品各年產(chǎn)量的變化規(guī)律；A表示

產(chǎn)品各年的銷售情況，下列敘述:

①產(chǎn)品產(chǎn)量、銷量均以直線上升，仍可按原生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行；

②產(chǎn)品已經(jīng)出現(xiàn)了供大于求的情況，價(jià)格將下跌；

③產(chǎn)品的庫(kù)存積壓將越來(lái)越嚴(yán)重，應(yīng)壓縮產(chǎn)量或擴(kuò)大銷量；

④產(chǎn)品的產(chǎn)量、銷量均以一定的年增長(zhǎng)率增加.

你認(rèn)為較合理的是（）

A.①@③B.①③④

C.②④D.②③

[答案]D

5.已知46兩地相距150km,某人開汽車以60km/h的速度從A地到達(dá)6地，在B

地停留一小時(shí)后再以50km/h的速度返回4地，把汽車離開4地的距離x表示為時(shí)間/的函

數(shù)，表達(dá)式是（）

A.x=60￡

B.x=60t+50

[60foy5

C

[150—50102.5

1502.5W3.5

D.x=\150-50L3.53.5CK6.5

60r0WW2.5

［答案］D

［解析］從/地到6地的來(lái)回時(shí)間分別為:

150150

前5,而=3,

'60%0W1W2.5

x=\1502.5<xW3.5故選D.

J50-50t-3.53.5<￡W6.5

6.“依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)”，國(guó)家征收個(gè)人所得稅是分段計(jì)算的，總收入

不超過(guò)800元，免征個(gè)人所得稅，超過(guò)800元部分需征稅，設(shè)全月納稅所得額為必才=全

月總收入一800元，稅率見下表:

級(jí)數(shù)全月納稅所得額稅率

1不超過(guò)500元部分5%

2超過(guò)500元至2000元部分10%

3超過(guò)2000元至5000元部分15%

…??????

9超過(guò)10000元部分45%

某人一月份應(yīng)繳納此項(xiàng)稅款26.78元，則他當(dāng)月工資總收入介于()

A.800?900元B.900~1200元

C.1200~1500元D.1500~2600元

［答案］C

［解析］解法1：(估算法)由500X5%=25元，100X10%=10元，故某人當(dāng)月工資應(yīng)在

1300~1400元之間，故選C.

解法2：(逆推驗(yàn)證法)設(shè)某人當(dāng)月工資為1200元或1500元，則其應(yīng)納稅款分別為

400X5%=20元，500X5%+200X10%=457C.可排除A,B,D,故選C.

7.某店從水果批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)得椰子兩筐，連同運(yùn)費(fèi)總共花了300元，回來(lái)后發(fā)現(xiàn)有12

個(gè)是壞的，不能將它們出售，余下的椰子按高出成本價(jià)1元/個(gè)售出，售完后共賺78元.則

這兩筐椰子原來(lái)的總個(gè)數(shù)為()

A.180B.160

C.140D.120

［答案］D

［解析］設(shè)原來(lái)兩筐椰子的總個(gè)數(shù)為x,成本價(jià)為a元/個(gè)，則

ax=300x=120

,解得,故這兩筐椰子原來(lái)共有120個(gè).

a+1x-12=300+78a=2.5

8.在股票買賣過(guò)程中，經(jīng)常用兩種曲線來(lái)描述價(jià)格變化情況，一種是即時(shí)價(jià)格曲線y

=f(x),另一種是平均價(jià)格曲線尸g(x),如f(2)=3表示股票開始買賣后2小時(shí)的即時(shí)價(jià)

格為3元；以2)=3表示2小時(shí)內(nèi)的平均價(jià)格為3元，下面給出了四個(gè)圖象，實(shí)線表示曠=

f(x),虛線表示y=g(x),其中正確的是()

ABCD

［答案］C

［解析］即時(shí)價(jià)格若一直下跌，則平均價(jià)格也應(yīng)該一直下跌，故排除A、D；即時(shí)價(jià)格

若一路上升，則平均價(jià)格也應(yīng)一直上升，排除B.(也可以由x從0開始增大時(shí)，/Xx)與g(x)

應(yīng)在y軸上有相同起點(diǎn)，排除A、D),故選C.

二、填空題

9.現(xiàn)測(cè)得(x,y)的兩組值為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個(gè)擬合模型，甲：乙：y

=3x-l,若又測(cè)得(x,力的一組對(duì)應(yīng)值為(3,10.2),則應(yīng)選用作為擬合模型較好.

［答案］甲

［解析］代入x=3,可得甲尸10,

乙，y=8.顯然選用甲作為擬合模型較好.

X

10.長(zhǎng)為4、寬為3的矩形，當(dāng)長(zhǎng)增加x,且寬減少5時(shí)面積最大，此時(shí)x=

最大面積5=.

［答案］1f

［解析］S=(4+x)(3—g=-5+x+12

=當(dāng)-g(x-1尸，當(dāng)x=l時(shí)，，網(wǎng)=弓.

11.某養(yǎng)魚場(chǎng)，第一年魚的重量增長(zhǎng)率為200%,以后每年魚的重量增長(zhǎng)率都是前一年

的一半，問(wèn)經(jīng)過(guò)四年魚的重量是原來(lái)的倍.

［答案］7

45

［解析］設(shè)原來(lái)魚重a,四年后魚重為a(l+200%)(1+100%)(1+50%)(1+25%)=1a,

45

王=竺

12.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)

每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間Nh)成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系為

y=(+)'-"(a為常數(shù))其圖象如圖.根據(jù)圖中提供的信息，回答問(wèn)題：

⑴從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間t(h)之間的關(guān)系式為

(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降到0.25mg以下時(shí);學(xué)生才可進(jìn)入教室，那么

從藥物釋放開始至少經(jīng)過(guò)_____小時(shí)，學(xué)生才能回到教室.

r1

w(°&w言)

<

(七)~不(力〉白)

［答案］⑴尸11。1U(2)0.6

［解析］⑴設(shè)OWtW木時(shí)，y—kt,

將(0.1,1)代入得4=10,

又將(0.1,1)代入—-中,得a=\,

(°y)

10i

(公)

⑵令啟L、W0.25得t20.6,：,t的最小值為0.6.

三、解答題

13.為了保護(hù)學(xué)生的視力，課桌椅的高度都是按一定的關(guān)系配套設(shè)計(jì)的.研究表明：假

設(shè)課桌的高度為ycm,椅子的高度為xcm,則y應(yīng)是x的一次函數(shù)，下表列出了兩套符合條

件的課桌椅的高度:

第一套第二套

椅子高度x(cm)40.037.0

桌子高度y(cm)75.070.2

(1)請(qǐng)你確定y與x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍).

(2)現(xiàn)有一把高42.0cm的椅子和一張高78.2cm的課桌，它們是否配套？為什么？

［解析］(1)根據(jù)題意，課桌高度y是椅子高度*的一次函數(shù)，故可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y

=kx+b.

將符合條件的兩套課桌椅的高度代入上述函數(shù)關(guān)系式，

z［40A+Z?=75,.［4=1.6,

得137A■+6=70.2,

與x的函數(shù)關(guān)系式是y=l.6x+ll.

(2)把x=42代入上述函數(shù)關(guān)系式中，

有y=l.6X42+11=78.2.

...給出的這套桌椅是配套的.

［點(diǎn)評(píng)］本題是應(yīng)用一次函數(shù)模型的問(wèn)題，利用待定系數(shù)法正確求出A,6是解題的關(guān)

鍵.

14.某地西紅柿從2月1日起開始上市，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本0(單位：

元/10%g)與上市時(shí)間雙單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間t50110250

種植成本Q150108150

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本0與上市時(shí)間t的

變化關(guān)系.

gat+b,ga/+6t+c,Q=a,b',Q=a,log*i.

(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本.

［解析］(1)由提供的數(shù)據(jù)知道，描述西紅柿種植成本0與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函

數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，從而用函數(shù)。=at+6,Q=a-b',ga?log"中的任意一個(gè)進(jìn)行描

述時(shí)都應(yīng)有aWO,而此時(shí)上述三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不吻合.所

以，選取二次函數(shù)gal+4+c進(jìn)行描述.

以表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入0=ad+A+c得到，

〃__1_

a=麗，

'150=2500a+506+c,

3

<108=12100a+110Z>+c,解得qb=-5,

150=62500a+2506+c.

225

lc=~F-

所以，描述西紅柿種植成本0與上市時(shí)間力的變化關(guān)系的函數(shù)為g志/一￡力+竽.

乙UU乙乙

_3

(2)當(dāng)t=-------+13

150天時(shí)，西紅柿種植成本最低為0=?150’一萬(wàn)?150+

2X200

99C；

手=100(元/10：kg).

15.某工廠現(xiàn)有甲種原料360kg,乙種原料290kg,計(jì)劃利用這些原料生產(chǎn)從6兩種

產(chǎn)品共50件，已知生產(chǎn)一件/種產(chǎn)品，需用甲種原料9kg,乙種原料3kg,可獲利潤(rùn)700

元.生產(chǎn)一件8種產(chǎn)品，需用甲種原料4kg,乙種原料10kg,可獲利潤(rùn)1200元.

(1)按要求安排A8兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出來(lái).

(2)設(shè)生產(chǎn)4、3兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為y元，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)為人試寫出y與x之

間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)性質(zhì)說(shuō)明⑴中哪些生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多

少？

［分析］設(shè)生產(chǎn)1種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)3種產(chǎn)品(50—x)件，據(jù)題意：生產(chǎn)兩種產(chǎn)品所

用甲種原料不超過(guò)360kg,所用乙種原料不超過(guò)290kg即可.

［解析］(1)設(shè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)8種產(chǎn)品為(50—x)件，

'9x+450—*W360,

依題意得解得30WxW32.

3x+1050—xW290.

是整數(shù)，.?.只能取30,31,32.

，生產(chǎn)方案有三種，分別為1種產(chǎn)品30件8種產(chǎn)品20件；4種產(chǎn)品31件8種產(chǎn)品19

件；4種產(chǎn)品32件6種產(chǎn)品18件.

(2)設(shè)生產(chǎn)1種產(chǎn)品x件，則8種產(chǎn)品(50一王)件.

尸700x+l200(50-*)=-500*+60000,

?.?一=-500<0,二尸隨x增大而減小,

.??當(dāng)x=30時(shí),，股大=-500X30+60000=45000.

,安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，8種產(chǎn)品20件時(shí)，獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為45000元.

［方法點(diǎn)撥］此題第(1)問(wèn)是利用一元一次不等式組解決，第(2)問(wèn)是利