2025版高考數學大一輪復習第十章概率第3講幾何概型分層演練文

PAGEPAGE1第3講幾何概型1．(2024·益陽市、湘潭市調研)若正方形ABCD的邊長為4，E為四邊上隨意一點，則AE的長度大于5的概率等于()A.eq\f(1,32) B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,8)解析：選D.設M，N分別為BC，CD靠近點C的四等分點，則當E在線段CM，CN(不包括M，N)上時，AE的長度大于5，因為正方形的周長為16，CM＋CN＝2，所以AE的長度大于5的概率等于eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，故選D.2．在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)解析：選C.設AC＝x(0<x<12)，則CB＝12－x，所以x(12－x)<32，解得0<x<4或8<x<12.所以P＝eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).3.在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉，構成樹葉的圓弧均相同且所對的圓心角為eq\f(π,3)，若在圓內隨機取一點，則此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是()A．2－eq\f(3\r(3),π) B.4－eq\f(6\r(3),π)C.eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D．eq\f(2,3)解析：選B.設圓的半徑為r，依據扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S＝24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))＝4πr2－6eq\r(3)r2，圓的面積S′＝πr2，所以此點取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率為eq\f(S,S′)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故選B.4．已知平面區(qū)域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在區(qū)域D內任取一點，則取到的點位于直線y＝kx(k∈R)下方的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：選A.由題設知，區(qū)域D是以原點為中心的正方形，直線y＝kx將其面積平分，如圖，所求概率為eq\f(1,2).5.如圖所示，A是圓上肯定點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長度小于或等于半徑的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：選C.當AA′的長度等于半徑長度時，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點在A點左右都可取得，故由幾何概型的概率計算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故選C.6.某人隨機地在如圖所示的正三角形及其外接圓區(qū)域內部投針(不包括三角形邊界及圓的外界)，則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為________．解析：設正三角形的邊長為a，圓的半徑為R，則正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2.由正弦定理得2R＝eq\f(a,sin60°)，即R＝eq\f(\r(3),3)a，所以圓的面積S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.由幾何概型的概率計算公式得概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π).答案：eq\f(3\r(3),4π)7.如圖所示，OA＝1，在以O為圓心，OA為半徑的半圓弧上隨機取一點B，則△AOB的面積小于eq\f(1,4)的概率為________．解析：因為OA＝1，若△AOB的面積小于eq\f(1,4)，則eq\f(1,2)×1×1×sin∠AOB<eq\f(1,4)，所以sin∠AOB<eq\f(1,2)，所以0<∠AOB<eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)<∠AOB<π，所以△AOB的面積小于eq\f(1,4)的概率為eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．一只昆蟲在邊長分別為5，12，13的三角形區(qū)域內隨機爬行，則其到三角形頂點的距離小于2的概率為________．解析：如圖，△ABC為直角三角形，且BC＝5，AC＝12.圖中陰影部分是三個分別以A，B，C為圓心，2為半徑的扇形，所以S陰＝eq\f(1,2)π×22＝2π.所以昆蟲到三角形頂點的距離小于2的概率P＝eq\f(S陰,S△ABC)＝eq\f(2π,\f(1,2)×12×5)＝eq\f(π,15).答案：eq\f(π,15)9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取點M.(1)求四棱錐M-ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率；(2)求M落在三棱柱ABC-A1B1C1內的概率．解：(1)正方體ABCD-A1B1C1D1中，設M-ABCD的高為h，令eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×h＝eq\f(1,6).因為S四邊形ABCD＝1，所以h＝eq\f(1,2).若體積小于eq\f(1,6)，則h<eq\f(1,2)，即點M在正方體的下半部分，所以P＝eq\f(\f(1,2)V正方體,V正方體)＝eq\f(1,2).(2)因為V三棱柱ABC-A1B1C1＝eq\f(1,2)×12×1＝eq\f(1,2)，所以所求概率P1＝eq\f(V三棱柱ABC-A1B1C1,V正方體)＝eq\f(1,2).10．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，設M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M內隨機取出一個元素(x，y)．(1)求以(x，y)為坐標的點落在圓x2＋y2＝1內的概率；(2)求以(x，y)為坐標的點到直線x＋y＝0的距離不大于eq\f(\r(2),2)的概率．解：(1)集合M內的點形成的區(qū)域面積S＝8.因為x2＋y2＝1的面積S1＝π，故所求概率為P1＝eq\f(S1,S)＝eq\f(π,8).(2)由題意eq\f(|x＋y|,\r(2))≤eq\f(\r(2),2)，即－1≤x＋y≤1，形成的區(qū)域如圖中陰影部分所示，面積S2＝4，故所求概率為P2＝eq\f(S2,S)＝eq\f(1,2).1．已知P是△ABC所在平面內一點，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，則黃豆落在△PBC內的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：選C.如圖所示，設點M是BC邊的中點，因為eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，所以點P是中線AM的中點，所以黃豆落在△PBC內的概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，故選C.2．任取實數a、b∈[－1，1]，則a、b滿意|a－2b|≤2的概率為()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D．eq\f(7,8)解析：選D.建立如圖所示的坐標系，因為|a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，所以|a－2b|≤2的概率為eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(7,8).3．在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上隨機取一個數x，則sinx＋cosx∈[1，eq\r(2)]的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,8) D．eq\f(5,8)解析：選B.因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，所以x＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(3π,4)))，由sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[1，eq\r(2)]，得eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≤1，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故要求的概率為eq\f(\f(π,2)－0,\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(3,4).4.我國古代數學家趙爽在《周髀算經》一書中給出了勾股定理的絕妙證明．如圖是趙爽的弦圖．弦圖是一個以勾股形(即直角三角形)之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實．圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形，分別涂成朱(紅)色及黃色，其面積稱為朱實、黃實，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱實＋黃實＝弦實＝弦2，化簡得：勾2＋股2＝弦2.設勾股形中勾股比為1∶eq\r(3)，若向弦圖內隨機拋擲1000顆圖釘(大小忽視不計)，則落在黃色圖形內的圖釘數大約為()A．866 B.500C．300 D．134解析：選D.設勾為a，則股為eq\r(3)a，所以弦為2a，小正方形的邊長為eq\r(3)a－a，所以題圖中大正方形的面積為4a2，小正方形的面積為(eq\r(3)－1)2a2，所以小正方形與大正方形的面積比為eq\f(（\r(3)－1）2,4)＝1－eq\f(\r(3),2)，所以落在黃色圖形(小正方形)內的圖釘數大約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))×1000≈134.5．已知袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，其次次取出的小球標號為b.①記“a＋b＝2”為事務A，求事務A的概率；②在區(qū)間[0，2]內任取2個實數x，y，求事務“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依題意eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①記標號為0的小球為s，標號為1的小球為t，標號為2的小球為k，h，則取出2個小球的可能狀況有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12種，其中滿意“a＋b＝2”的有4種：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率為P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).②記“x2＋y2>(a－b)2恒成立”為事務B，則事務B等價于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的點的坐標，則全部結果所構成的區(qū)域為Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事務B構成的區(qū)域為B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率為P(B)＝1－eq\f(π,4).6．已知關于x的二次函數f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分別表示將一質地勻稱的正方體骰子(六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6)先后拋擲兩次時第一次、其次次出現的點數，求y＝f(x)恰有一個零點的概率；(2)若a，b∈[1，6]，求滿意y＝f(x)有零點的概率．解：(1)設(a，b)表示一個基本領件，則拋擲兩次骰子的全部基本領件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，5)，(6，6)，共36個．用A表示事務“y＝f(x)恰有一個零點”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，則a＋1＝2b.則A包含的基本領件有(1，1)，(