內(nèi)蒙古自治區(qū)第一機械制造有限公司第一中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末檢測試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)第一機械制造有限公司第一中學(xué)2025年高二下數(shù)學(xué)期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在二項式的展開式中，各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，若，則（）A． B． C． D．2．已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．3．在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的系數(shù)為A．336項 B．337項 C．338項 D．1009項4．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為A．1 B．2C．3 D．45．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為A． B． C． D．6．設(shè)隨機變量，若，則等于（）A． B． C． D．7．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則的值為()A． B． C． D．8．設(shè)集合，那么集合中滿足條件的元素個數(shù)為()A．60 B．90 C．120 D．1309．若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．10．在平行四邊形中，為線段的中點，若，則（）A． B． C． D．11．已知正方體的棱長為，定點在棱上(不在端點上)，點是平面內(nèi)的動點，且點到直線的距離與點到點的距離的平方差為，則點的軌跡所在的曲線為A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線12．如圖所示十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有不同的行車路線有()A．24種 B．16種 C．12種 D．10種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)，則不等式的解集為______________.14．是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)____________.15．已知，則__________．16．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有______________種．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復(fù)數(shù)，求下列各式的值：(Ⅰ)(Ⅱ)18．（12分）甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據(jù)以往經(jīng)驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結(jié)束.設(shè)各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率；（2）設(shè)本場比賽的局數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.(用分數(shù)表示)19．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在上單調(diào)遞增，求的最大值．20．（12分）甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2、3、4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3，某人用左手從甲袋中取球，用右手從乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出兩球，如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功．某人第一次左手先取兩球，第二次右手再取兩球，記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)的值.22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為．（1）若，求C與l的交點坐標；（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析：先根據(jù)賦值法得各項系數(shù)之和，再根據(jù)二項式系數(shù)性質(zhì)得，最后根據(jù)解出詳解：因為各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為,因為，所以,選A.點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可.2、D【解析】

根據(jù)所給的二項式，利用二項展開式的通項公式寫出第項，整理成最簡形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結(jié)果．【詳解】二項展開式通項為，令，得，由題意得，解得.故選：D.本題考查二項式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項展開式的通項，在這種題目中通項是解決二項展開式的特定項問題的工具．3、A【解析】

根據(jù)題意，求出的展開式的通項，即可得項的系數(shù)，進而分析可知若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、2、、，即可得出答案．【詳解】根據(jù)題意，的展開式的通項為；其系數(shù)為若系數(shù)為有理數(shù)，必有，、、共有336項，故選A．本題考查二項式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項式定理的形式，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】分析：根據(jù)三視圖還原幾何體，利用勾股定理求出棱長，再利用勾股定理逆定理判斷直角三角形的個數(shù).詳解：由三視圖可得四棱錐，在四棱錐中，，由勾股定理可知：，則在四棱錐中，直角三角形有：共三個，故選C.點睛：此題考查三視圖相關(guān)知識，解題時可將簡單幾何體放在正方體或長方體中進行還原，分析線面、線線垂直關(guān)系，利用勾股定理求出每條棱長，進而可進行棱長、表面積、體積等相關(guān)問題的求解.5、A【解析】

陽數(shù)：，陰數(shù)：，然后分析陰數(shù)和陽數(shù)差的絕對值為5的情況數(shù)，最后計算相應(yīng)概率.【詳解】因為陽數(shù)：，陰數(shù)：，所以從陰數(shù)和陽數(shù)中各取一數(shù)差的絕對值有：個，滿足差的絕對值為5的有：共個，則.故選：A.本題考查實際背景下古典概型的計算，難度一般.古典概型的概率計算公式：.6、C【解析】由于,則由正態(tài)分布圖形可知圖形關(guān)于對稱，故，則，故選C.7、A【解析】

由已知求得函數(shù)的周期為4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【詳解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，∴f（2+x）＝﹣f（x），則f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）為以4為周期的周期函數(shù)，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故選：A．本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．8、D【解析】

從，且入手，可能取，分3種情況討論種的個數(shù)，再求5個元素的排列個數(shù)，相加即可得到答案.【詳解】因為，且，所以可能取，當時，中有1個1或，4四個所以元素個數(shù)為；當時，中有2個1，3個0，或1個1,1個，3個0，或2個，3個0，所以元素個數(shù)為，當時，中有3個1,2個0，或2個1,1個，2個0，或2個，1個1,2個0，或3個，2個0，元素個數(shù)為，故滿足條件的元素個數(shù)為，故選：D本題考查了分類討論思想，考查了求排列數(shù)，對的值和對中的個數(shù)進行分類討論是解題關(guān)鍵，屬于難題.9、D【解析】因為雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（3，-4），故選D.考點：雙曲線的簡單性質(zhì)【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；（2）若漸近線方程為，則可設(shè)為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大?。硗饨鉀Q不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是確定極端或極限位置.10、B【解析】分析：利用向量的平行四邊形法則，向量共線定理即可得出.詳解：，，故選：B.點睛：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．11、D【解析】

作，，連接，以為原點建立空間直角坐標系，利用勾股定理和兩點間距離公式構(gòu)造，整理可得結(jié)果.【詳解】作，，垂足分別為以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設(shè)，由正方體特點可知，平面，，整理得：的軌跡是拋物線本題正確選項：本題考查立體幾何中點的軌跡問題，關(guān)鍵是能夠通過建立空間直角坐標系，求出動點滿足的方程，從而求得軌跡.12、C【解析】根據(jù)題意，車的行駛路線起點有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有種，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分類討論，分別求解不等式，即可求得不等式的解集，得到答案．【詳解】由題意，當時，令，解得，當時，令，解得，所以不等式的解集為．本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、2【解析】

化簡復(fù)數(shù)，實部為0，計算得到答案.【詳解】為純虛數(shù)故答案為2本題考查了復(fù)數(shù)的計算，屬于簡單題.15、180【解析】，，，故答案為.【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于中檔題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.16、【解析】

從張電影票中任選張給甲、乙兩人，共種分法；再利用平均分配的方式可求得分配剩余張票共有種分法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】第一步：先從張電影票中任選張給甲、乙兩人，有種分法第二步：分配剩余的張，而每人最多兩張，則每人各得兩張，有種分法由分步乘法計數(shù)原理得：共有種分法本題正確結(jié)果：本題考查分步乘法計數(shù)原理解決組合應(yīng)用題，涉及到平均分配的問題，關(guān)鍵是能夠準確求解每一步的分法種數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

由復(fù)數(shù)的平方，復(fù)數(shù)的除法，復(fù)數(shù)的乘法運算求得下面各式值．【詳解】(Ⅰ)因為=所以；(Ⅱ)=.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.18、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局數(shù)為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.【詳解】解：（1）設(shè)“甲隊勝三局”為事件，“甲隊勝二局”為事件，則，，所以，前三局比賽甲隊領(lǐng)先的概率為（2）甲隊勝三局或乙勝三局，甲隊或乙隊前三局勝局，第局獲勝甲隊或乙隊前四局勝局，第局獲勝的分部列為：數(shù)學(xué)期望為本題考查了概率的計算，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和解決問題的能力.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用二倍角的正弦與余弦公式以及輔助角公式化簡函數(shù)，由周期公式求解即可；（Ⅱ）由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間，由題設(shè)條件得出，即可得出的最大值．【詳解】解：（Ⅰ）因為．所以的最小正周期為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．由得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．要使得函數(shù)在上單調(diào)遞增，只需．所以，的最大值為．本題主要考查了求正弦函數(shù)的最小正周期以及正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等題.20、（1）；（1）分布列詳見解析，．【解析】試題分析：本題主要考查概率、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，在總數(shù)中去掉左右手各取一球，所取顏色相同的情況，即所取顏色均為紅色，均為黑色、均為白色的情況；第二問，先分別求出左右手所取的兩球顏色相同的概率，再利用獨立事件計算兩次取球的獲得成功的次數(shù)為0次、1次、1次的概率，列出分布列，利用計算數(shù)學(xué)期望．試題解析：（1）設(shè)事件為“兩手所取的球不同色”，則依題意，的可能取值為0，1，1．左手所取的兩球顏色相同的概率為右手所取的兩球顏色相同的概率為所以Ｘ的分布列為：Ｘ

0

1

1

Ｐ

考點：概率、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．21、（Ⅰ）當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，分類討論，，情況下導(dǎo)數(shù)的正負，由此得到答案；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得函數(shù)的最小值，要使在定義域內(nèi)恒成立，則恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，從而得到實數(shù)的值。【詳解】（Ⅰ）由題可得函數(shù)的的定義域為，；（1）當時，恒成