2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中的最值問題》專項測試卷(附答案)

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓中的最值問題》專項測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，是的直徑，點、是上的點，且，分別與、相交于點、．(1)求證：點為的中點；(2)若的半徑為5，，點是線段上任意一點，試求出的最小值．2．如圖，在中，，，以點為圓心，2為半徑畫圓，過點作的一條切線，切點為，連接．將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到時，連接，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．(1)當(dāng)弧的長為時，求的度數(shù)，并求出此時線段掃過的面積；(2)如圖，當(dāng)時，求證：是的切線；(3)直接寫出的最大值與最小值的差．3．如圖1所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點是劣弧上任意一點（不與重合），連接、、，求證：．【初步探索】小明同學(xué)思考如下：將與點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，可得、、三點在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問題：（1）根據(jù)小明的思路，請你完成證明．（2）若圓的半徑為8，則的最大值為________．【類比遷移】如圖2所示，等腰內(nèi)接于圓，，點是弧上任一點（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為8，試求周長的最大值．【拓展延伸】如圖3所示，等腰，點、在圓上，，圓的半徑為8，連接，則的最小值為_________（直接寫答案）．4．如圖，為等邊的外接圓，半徑為6，點在劣弧上運動（不與點，重合），連接，，．(1)求證：是的平分線；(2)四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；(3)若點，分別在線段，上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨著點的運動，的值會發(fā)生變化，求所有值中的最大值；5．問題提出（1）如圖①，線段在，，將繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，的最大值是，最小值是；問題探究（2）如圖②，已知在中，，，在上取一點D，當(dāng)?shù)拈L為多少時，，說明理由．問題應(yīng)用（3）如圖③，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值．

6．已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，以為圓心，以為半徑的圓交軸于點，連結(jié)并延長交于點，動點在線段上運動，長為的線段軸（點在點右側(cè)），連接．

(1)求的半徑長和點的坐標(biāo)：(2)如圖2，連接，交線段于點，①求所在直線的解析式：②當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；③點在線段上運動的過程中，請直接寫出的最小值和最大值．7．已知的半徑為5，是長為8的弦，于點，點在的延長線上，且．弦從圖1的位置開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持，如圖2．[發(fā)現(xiàn)]在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）的最小值是__________，最大值是__________．（2）當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)角__________．[探究]若繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖3，求的長．[拓展]如圖4，當(dāng)切于點交于點于．（1）求的長．（2）此時__________，__________．8．如圖，在中，，，以點O為圓心、2為半徑畫圓，點C是上任意一點，連接．將繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)，交于點D，連接．(1)當(dāng)與相切時，求證：是的切線；求點C到的距離．(2)直接寫出的最大值與最小值的差．9．如圖1，內(nèi)接于，點E為的內(nèi)心，連接并延長交于點D，交于點F，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)如圖2，連接，若，求的長．(3)如圖3，連接，若的半徑為4，弦，設(shè)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最大值．10．已知：矩形的邊長為2，點P在射線上，過點O、P的與相切于點P．(1)如圖1，若點B在對角線上，且，則的長度是______；(2)如圖2，以O(shè)為原點，為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，①求點B坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）．②連接，設(shè)且，當(dāng)M取最大值時，作于E交于F，與交于G，求的值．11．如圖，的內(nèi)接三角形中，，，，點在圓上運動．(1)求證：為的切線；(2)若三角形是等邊三角形時，，求的最大值；(3)如圖，連接，，當(dāng)，，時，設(shè)此時的面積為，的面積為，求的值．12．如圖1所示，A、B、C、D四點在上逆時針順序分布，且滿足．(1)求證：點A到兩邊的距離相等；(2)如圖2，已知與相交于點，為的直徑．若，，求的長．(3)已知，與相交于點，直線與直線相交于圓外一點G，若線段為的一條高，試求：的最小值．13．如圖甲，是的直徑，點P在上，且，點M是外一點，與相切于點B，連接，過點A作交于點C，連接交于點D．(1)求證：是的切線；(2)若，求的值；(3)如圖乙，在（2）的條件下，延長至N，使在上找一點Q，使得的值最小，請求出其最小值．14．如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點，滿足，連結(jié)并延長交的延長線于點F，與交于點．連接，．(1)求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，．①若，求的周長．②求的最小值．15．已知：中，是的外接圓．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若為在上一動點，過點作直線的垂線，垂足為．求證：；(3)如圖3，若，過點作交于點．點是線段上一動點（不與重合），連接，求的最小值．參考答案1．(1)見解析(2)【分析】（1）利用圓周角定理得到，再證明，然后根據(jù)垂徑定理得到點為的中點；（2）作點C關(guān)于的對稱點，連接交于點P，連接，利用兩點之間線段最短得到此時的值最小，再計算出，過點O作于點H，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出，從而得到的最小值．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∵，∴，即：，∴，即點為的中點；（2）解：作點C關(guān)于的對稱點，連接交于點P，連接，∵，∴，此時，的值最小，∵，∴，∴，∵點C關(guān)于的對稱點是，∴，∴，過點O作于點H，則，在中，，，∴，即：的值最小為．【點睛】本題是圓與三角形的綜合題，考查了圓周角定理、垂徑定理、軸對稱最短路徑問題、含30度的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出點P位置是解題的關(guān)鍵．2．(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）由弧長公式及扇形面積公式代值求解即可得到答案；（2）由是的切線，可得，證明，則，即，進(jìn)而結(jié)論得證；（3）由勾股定理得，，如圖3，過作，交圓于，如圖所示，根據(jù)的最大值與最小值的差為，計算求解即可．【詳解】（1）解：的半徑是，弧的長為，，解得；線段掃過的面積；（2）證明：∵是的切線，∴，∵，∴，即，在和中，∴，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；（3）解：由勾股定理得，，過作，交圓于，如圖所示：∴的最大值與最小值的差為，∴的最大值與最小值的差為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等知識．熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．初步探索：（1）證明見解析；（2）16；類比遷移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋轉(zhuǎn)得，，，則，所以、、三點在同一條直線上，再證明是等邊三角形，則；（2）當(dāng)是的直徑時，，此時的值最大，所以的最大值是16；類比遷移：先由證明是的直徑，且圓心在上，則，，再證明、、三點在同一條直線上，則，當(dāng)是的直徑時，，此時的值最大，則，即可求得周長的最大值是；拓展延伸：連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，先求得，再連接、，證明≌，得，所以，則，所以的最小值為．【詳解】解：初步探索：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，、、三點在同一條直線上，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；（2）是的弦，且的半徑為8，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時，此時的值最大，最大值為16，的最大值是16，故答案為：16．類比遷移：如圖，，，

是的直徑，且圓心在上，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，使點與點重合，則，，，，，、、三點在同一條直線上，，，當(dāng)經(jīng)過圓心，即是的直徑時，此時的值最大，最大值為16，的最大值為，的最大值為，周長的最大值是．拓展延伸：如圖，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，

∴，，，連接、，，，，，，，，，的最小值為．【點睛】此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、垂線段最短等知識，此題綜合性強(qiáng)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．(1)見解析(2)是，(3)【分析】本題考查了圓的有關(guān)知識，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，圓周角定理可得，可得結(jié)論；（2）將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，可證是等邊三角形，可得四邊形的面積，即可求解；（3）作點D關(guān)于直線的對稱點E，作點D關(guān)于直線的對稱點F，由軸對稱的性質(zhì)可得，，可得的周長，則當(dāng)點E，點M，點N，點F四點共線時，的周長有最小值，即最小值為，由軸對稱的性質(zhì)可求，，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求，則當(dāng)為直徑時，t有最大值為．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是的平分線；．（2）解：四邊形的面積S是線段的長x的函數(shù)；理由如下：如圖1，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴點D，點B，點H三點共線，∵，∴是等邊三角形，∵四邊形的面積，∴；（3）解：如圖2，作點D關(guān)于直線的對稱點E，作點D關(guān)于直線的對稱點F，∵點D，點E關(guān)于直線對稱，∴，同理，∵的周長，∴當(dāng)E，M，N，F(xiàn)四點共線時，的周長有最小值，則連接，交于M，交于N，連接，作于P，∴的周長最小值為，∵點D，點E關(guān)于直線對稱，∴，∵點D，點F關(guān)于直線對稱，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)有最大值時，有最大值，即t有最大值，∵為的弦，∴為直徑時，有最大值12，∴t的最大值為．5．（1）6，2；（2）當(dāng)?shù)拈L為1時，，理由見解析；（3）5【分析】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．（1）當(dāng)，，三點共線，且點在線段的延長線上時，點在線段上時，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)到了即可得到結(jié)論；（3）如圖，在上取一點，使得．由，推出，推出，推出，由，當(dāng)、、共線時，的值最小，最小值為．【詳解】解：（1）當(dāng)，，三點共線，且點在線段的延長線上時，的最大值是，當(dāng)，，三點共線，且點在線段上時，的最小值是，故答案為：6，2；（2）當(dāng)?shù)拈L為1時，，理由如下：，，，，，，，又，∴，，；（3）如圖，在上取一點，使得，連接，，，

、正方形的邊長為4，∴，∴，∴，，，，，∴，，，，，當(dāng)、、共線時，的值最小，最小值為．6．(1)半徑為，(2)①；②點坐標(biāo)為；③的最小值為，最大值為【分析】（1）如圖1中，過點作軸，分別在和中利用勾股定理即可解決問題．（2）①設(shè)解析式為設(shè)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．②可求，設(shè)點．由題意得點為，因為點落在上，所以，列方程即可解決問題．③當(dāng)點與重合時，，此時，過點平行的直線的解析式為，過點垂直的直線的解析式為，與直線的交點為，此時最小，當(dāng)點與點重合時，，此時，由此即可判斷的最大值．【詳解】（1）解：如圖1中，過點作軸，

則，，，即半徑為，所以，，，即點．（2）解：如圖2中，

①設(shè)解析式為設(shè)，由題意得點與點關(guān)于點成中心對稱，設(shè)與y軸的負(fù)半軸交于點K，連接，∵是直徑，∴，∵，∴是的中位線，∴，點，又點，代入得：，解得，，，②設(shè)，代入得：，解得：，∴，設(shè)點．∵，軸，∴點為，點，點落在上，所以解得，所以點坐標(biāo)為．③如圖3中，

當(dāng)點與重合時，，此時，設(shè)過點平行的直線的解析式為，把點代入得：，∴過點平行的直線的解析式為，過點垂直的直線的解析式為，則把點代入得：，∴過點垂直的直線的解析式為，與直線的交點為，此時最小（垂線段最短），由，解得，，的最小值為．當(dāng)點與點重合時，，此時，最大值為．【點睛】本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、待定系數(shù)法、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)，屬于中考壓軸題．7．[發(fā)現(xiàn)]（1）10；16；（2）或；[探究]；[拓展]（1），（2），．【分析】[發(fā)現(xiàn)]（1）連接，由垂徑定理可得，由勾股定理可得，再由，可知當(dāng)點O在線段上時，有最大值，當(dāng)點G在線段上時，有最小值；（2）證明，可得當(dāng)在上方時，旋轉(zhuǎn)角度為，當(dāng)在下方時，旋轉(zhuǎn)角度為；[探究]如圖，過點作于，求出，則，進(jìn)而得到，再求出，則由勾股定理得；[拓展]（1）由切線的性質(zhì)可得，則由勾股定理可得；（2）如圖，過點作于，證明四邊形是矩形，得到，證明，得到，由此求出，則，再證明得到，則．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)]（1）如圖所示，連接，∵，，∴，∵的半徑為5，∴，∴，∵，∴當(dāng)點O在線段上時，有最大值，當(dāng)點G在線段上時，有最小值，故答案為：10；16；（2）∵，，∴，∴當(dāng)在上方時，旋轉(zhuǎn)角度為，當(dāng)在下方時，旋轉(zhuǎn)角度為，故答案為：或；[探究]：如圖，過點作于，在中，，∴，，，在中，由勾股定理得；[拓展]：（1）切于，，在中，由勾股定理得；（2）如圖，過點作于，，∴四邊形是矩形，，，，，，，，∴，，，，故答案為：，．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，求旋轉(zhuǎn)角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定等等，通過作出輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．8．(1)詳見解析；(2)【分析】（1）由切線的性質(zhì)得，再證，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得，即可證明是的切線；過點C作，垂足為E，則即為點C到的距離，根據(jù)即可求解；（2）作直線于點H，交于和，當(dāng)點C位于處時，取最小值，當(dāng)C位于處時，取最大值，則最大值與最小值的差為．【詳解】（1）證明：∵與相切，∴，∵，∴，即，又∵，∴．∴．又∵是的半徑，∴是的切線；如圖，過點C作，垂足為E，則即為點C到的距離，在中，∵，∴，∵，∴，即點C到的距離為．（2）解：中，，，∴．如圖，作直線于點H，交于和，由題意知，當(dāng)點C位于處時，取最小值，當(dāng)C位于處時，取最大值，∴的最大值與最小值的差．【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓到直線的距離，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法，找出取最值時點C的位置．9．(1)(2)(3)，y的最大值【分析】本題考查三角形的內(nèi)心，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理；（1）由點E為的內(nèi)心，可得和是的角平分線，則，，再根據(jù)圓周角定理得到，即可得到，最后根據(jù)求解；（2）由，，可得，得到，則，，再證明，得到，代入解方程即可；（3）連接交于，連接，過作于，先利用垂徑定理求出，則，再根據(jù)，得到，，代入后整理得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可．【詳解】（1）解：∵點E為的內(nèi)心，∴和是的角平分線，∴，，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得；（3）解：連接交于，連接，過作于，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）得，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，整理得，∵，∴當(dāng)即與重合時，最大．10．(1)(2)①；②【分析】（1）連接，求解，，，結(jié)合，，進(jìn)一步可得答案.（2）①如圖，過作于，則，分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，如圖，此時，再進(jìn)一步求解即可；②如圖，由，可得當(dāng)時，最大，此時，，，，求解為，同理可得：為：，可得，求解，過作于，而，，可得，設(shè)，則，可得，可得，進(jìn)一步可得答案.【詳解】（1）解：連接，∵過點O、P的與相切于點P，．∴，，∵，，∴，∵矩形的邊長為2，∴，，∴.（2）解：①如圖，過作于，則，∵，，∴，當(dāng)時，∵矩形，，，，∴，，，結(jié)合切線性質(zhì)可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)時，如圖，此時，同理可得：，∴，∴，∴，∴，綜上：；②如圖，∵且，，∴，當(dāng)時，最大，此時，，，，設(shè)解析式為，則，解得：，∴解析式為，設(shè)解析式為，則，解得：，∴解析式為：，聯(lián)立，解得：，∴，∴，過作于，而，，∴，∴，設(shè)，則，∵，，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∵，，，∴，∴，∴.【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，本題的難度很大，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.11．(1)見解析(2)4(3)【分析】（1）連接并延長，交于點，連接，證得，再利用等腰三角形三線合一性質(zhì)證得，再用平行線性質(zhì)可證得結(jié)果；（2）過點C作，先求得，當(dāng)點D與點A重合時，最大，此時也最大，據(jù)此求解即可；（3）如圖，分別延長相交于點P，過點D作，過點C作，連接并延長，交于點，連接，設(shè)，則，再分別用含有a的代數(shù)式表示出及的面積，再求解即可．【詳解】（1）證明：連接并延長，交于點，連接，，，，，，，，，是的切線；（2）如圖，過點C作，三角形是等邊三角形時，，，在中，，，點在圓上運動．當(dāng)點D與點A重合時，最大，為，此時也最大，得，的最大值為4；（3）如圖，分別延長相交于點P，過點D作，過點C作，連接并延長，交于點，連接，由（1）結(jié)論得，,設(shè)，則，由勾股定理得：

，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，【點睛】本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點有：切線的性質(zhì)與判定定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高，是一道不錯的中考壓軸題．12．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，首先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解即可；（2）過點D作，交延長線于點Q，根據(jù)平行線分線段成比例得到，得到，設(shè)，則，得出，求出，，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可；（3）首先得出，證明出，得到，設(shè)，求出，，同理可證，，得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）如圖1，連接，∵，∴，∴點A到兩邊的距離相等；（2）∵，∴，∵為直徑，∴，∴，如圖2，過點D作，交延長線于點Q，∴，，又由（1）知：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，則，設(shè)，則，∵為直徑，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，，又∵，，∵，，∴，∴，∴；（3）如圖所示，與相交于點，直線與直線相交于圓外一點G，∵為的一條高，若，則，與題意矛盾．∴，此時為的直徑，∴，∴又∵∴，∴，設(shè)，∴，．同理可證，，∴，∴∴∴原式∵，∴，∴．當(dāng)時，原式有最小值為．【點睛】本題主要考查圓與三角形綜合題，解直角三角形，三角形的相似的性質(zhì)和判定，等弦對等弧，等弧對等角，平行線分線段成比例等相關(guān)知識點，牢記知識點是解題關(guān)鍵．13．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，再由切線的判定即可證明；（2）根據(jù)切線長定理得出，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)確定，利用正切函數(shù)的定義即可求解；（3）根據(jù)勾股定理確定，在上取點D，使，利用相似三角形的性質(zhì)得出求的值最小，相當(dāng)于求最小值，當(dāng)D、Q、N共線時，最小，作于點H，然后結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，，∴，∵，∴，∴，∵在與中，，∴，∴，又∵是的切線，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵是的切線，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，∴，；（3）解：在中，，∴，，∴上取點D，使，∴，D為定點，且，∴恒成立，∴求的值最小，相當(dāng)于求最小值，∴當(dāng)D、Q、N共線時，最小，如圖，作于點H，可得，即的最小值為．【點睛】題目主要考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和