2026版《優(yōu)化設(shè)計大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計新高考版）第4節(jié)冪函數(shù)、二次函數(shù)

第4節(jié)冪函數(shù)、二次函數(shù)高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀

強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地,函數(shù)

叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).

(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象y=xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)都有定義;②當(dāng)α>0時,冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

和

,且在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;

③當(dāng)α<0時,冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)

,且在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;

④當(dāng)α為奇數(shù)時,y=xα為

;當(dāng)α為偶數(shù)時,y=xα為

.

(1,1)(0,0)(1,1)奇函數(shù)偶函數(shù)

微思考冪函數(shù)的圖象可以經(jīng)過第四象限嗎?提示

不可以.因為當(dāng)x>0時,y=xα>0,所以冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第一象限,但一定不經(jīng)過第四象限.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)=

.

頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為

.

零點(diǎn)式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2為f(x)的

.

ax2+bx+c(a≠0)(m,n)零點(diǎn)(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)圖象(拋物線)

定義域

值域

對稱軸x=

頂點(diǎn)坐標(biāo)

R

函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)奇偶性當(dāng)b=0時是

函數(shù),當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)

單調(diào)性偶減增增減微思考如何求解二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在閉區(qū)間[m,n]上的最值?

3.二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式間的關(guān)系

判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}實數(shù)集Rax2+bx+c<0(a>0){x|x1<x<x2}??自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)=2x4是冪函數(shù).(

)(2)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象不經(jīng)過第一象限,則必有a<0.(

)(3)函數(shù)f(x)=sin2x+4sinx-1的最小值為-5.(

)(4)冪函數(shù)的圖象若與坐標(biāo)軸有交點(diǎn),則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).(

)×√×√

3.(人教B版必修第一冊復(fù)習(xí)題B組第4題改編)已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,-3]解析

依題意有-(a-1)≥4,解得a≤-3.所以a的取值范圍是(-∞,-3].二、連線高考4.(2023·天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,則(

)A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>cD解析

因為函數(shù)y=1.01x為增函數(shù),所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故選D.

2

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)(2024·湖南岳陽模擬)如圖,已知冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的圖象分別是下降、急速上升、緩慢上升,則(

)A.c<b<a B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<cB解析

由題意結(jié)合圖象可知a<0<c<1<b.故選B.

A

(2)冪函數(shù)y=xα的圖象關(guān)鍵要抓住第一象限內(nèi)的特征與形狀,其余象限部分由奇偶性、單調(diào)性決定.(3)比較冪值大小時,務(wù)必結(jié)合冪值特點(diǎn),選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),借助單調(diào)性進(jìn)行比較.

C

(2)(2024·山東濟(jì)寧模擬)冪函數(shù)f(x)=(m2-3m-3)xm在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,則下列說法正確的是(

)A.m=4 B.f(x)是減函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù) D.f(x)是偶函數(shù)C

考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,試確定該二次函數(shù)的解析式.

考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(多考向探究預(yù)測)考向1

二次函數(shù)圖象的識別例3(多選題)(2025·海南?？陂_學(xué)考試)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(-3,0),對稱軸為直線x=-1,則下面四個結(jié)論正確的是(

)A.b2>4ac

B.2a-b=1C.a-b+c<0 D.5a<bAD

[對點(diǎn)訓(xùn)練3](多選題)(2024·陜西榆林期中)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中,錯誤的是(

)A.a+b+c>0 B.a-b+c<0C.abc>0 D.b=2aCD

考向2

二次函數(shù)的單調(diào)性例4(2024·湖北隨州模擬)已知函數(shù)f(x)=(m+1)x2-mx-1(m∈R)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則實數(shù)m的取值范圍是

.

[-1,0]

變式探究1本例中,函數(shù)解析式不變,若函數(shù)在[1,2]上單調(diào)遞減,則實數(shù)m的取值范圍是

.

(-∞,-2]

變式探究2本例中,函數(shù)解析式不變,若函數(shù)在區(qū)間[-3,-2]上不單調(diào),則實數(shù)m的取值范圍是

.

[-1,2]

考向3

二次函數(shù)的最值例5(2024·湖北武漢聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ax2-2ax+1+b(a>0).(1)若a=b=1,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,4]上的最大值為9,最小值為1,求實數(shù)a,b的值.

[對點(diǎn)訓(xùn)練4](2024·云南昆明模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(-2,0)和原點(diǎn),且對于任意x∈R,都有f(x)≥2x.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;(2)設(shè)g(x)=f(x)+2mx,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值h(m).

考向4

與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題例6

已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k為實數(shù).(1)對任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),求k的取值范圍;(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍;(3)對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求k的取值范圍.解

(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,問題轉(zhuǎn)化為x∈[-3,3]時,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)max=h(3)=86-k,由86-k≤0,得k≥86,即k的取值范圍為[86,+∞).(2)由題意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知h(x)min=h(-1)=-10-k,由-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范圍為[-10,+∞).(3)對任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x