2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：隱圓九大題型專項(xiàng)練習(xí)

隱圓九大題型專項(xiàng)練習(xí)

模型特點(diǎn)

結(jié)論1:

構(gòu)造輔助圓：

若動(dòng)點(diǎn)滿足到定點(diǎn)距離等于定值，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓或圓弧。

例一：正方形ABCD,AB以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)優(yōu)（0。<a<90。）,則

l.A、B、B；D四點(diǎn)共圓；

2.ZP=45°,ZBB'D=135°O

結(jié)論2:

構(gòu)造輔助圓：?jiǎn)蝿?dòng)折疊，必有隱形圓。

例二：如圖，在Rt△4BC中，ZC=90。,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),

將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是—.

解：PF=CF=2,可得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)F為圓心，CF為半徑的圓弧，過點(diǎn)F作FHXAB,與圓的交點(diǎn)即為

所求點(diǎn)P,FH=：R4=￡,又FP=2,=*最小值是|。

結(jié)論3：

構(gòu)造輔助圓：定邊對(duì)直角，必有隱形圓。

定邊對(duì)直角：

一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧。

例如:點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),且/APB=90。,其中AB是一條定線段，則P點(diǎn)軌跡是以為AB直徑的圓或圓弧。

例三：已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,E、F分別是直線BC、CD上的動(dòng)點(diǎn),且滿足.BE=CF,連接AE、BF,交點(diǎn)

為P點(diǎn)，則PD的最小值為一.

解:在正方形ABCD中,AB=BC,ZABC=ZBCD,

AB=BC

在小ABEffiABCF中,{"BE=乙BCF,

BE=CF

：.AABE^ABCF(SAS),

/.ZBAE=ZCBF,

ZCBF+ZABF=90°,

ZBAE+ZABF=90°,

ZAPB=90°,

.?.點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，

由圖形可知：當(dāng)O、P、D在同一直線上時(shí)，DP有最小值，如圖所示：

:正方形ABCD,BC=2,

.?.AO=1=OP,

RtAOAD中,。。=V22+l2=V5,

PD=OD—OP=乘一1,

故答案為：逐-1.

例四：如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓上，AB=5,AC=4,D是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD.過點(diǎn)C

作CE回4。于E,連接BE,則BE的最小值是一

解:如圖.取AC的中點(diǎn)連接BO；BC.

???CE^AD,

：.NAEC=90°,

在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

VAB是直徑，

ZACB=90°,

在RtAABC中,：AC=4,AB=5,

BC=7AB2-AC2=V52-42=3,

在RtABCO中

BO'=VBC2+CO'2=V22+32=V13,

,/O'E+BE>O'B,

當(dāng)O'、E、B共線時(shí),BE的值最小,最小值為O'B-0^=713-2,故答案為：-2.

結(jié)論4：

構(gòu)造輔助圓：定邊對(duì)定角，必有隱形圓。

定邊對(duì)定角：

一條定邊所對(duì)的角是定角，則這個(gè)角頂點(diǎn)軌跡是圓弧。

例如:點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，且NAPB=a是定值，其中AB是一條定線段，以AB為底邊構(gòu)造頂角為2a的等腰三角形，

頂點(diǎn)記為O,則點(diǎn)P軌跡就是以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓弧。

構(gòu)造輔助圓：拓展，若/P是特殊角。

①若/P=30。,以AB為邊，同側(cè)構(gòu)造等邊三角形4AOB,O即為隱形圓的圓心。

②若/P=45。,以AB為斜邊同側(cè)構(gòu)造等腰直角三角形△AOB,O即為隱形圓的圓心。

P

③若NP=60。,以AB為底邊，同側(cè)構(gòu)造頂角為120。的等腰三角形△A0B,0即為隱形圓的圓心。

④若ZP=120。，，以AB為底邊，異側(cè)構(gòu)造頂角為120。的等腰三角形△A0B,O即為隱形圓的圓心。

結(jié)論5：

四邊形對(duì)角互補(bǔ)，必有隱形圓。

已知四邊形ABCD,若/A+/C=180。,/B+ND=180。,則過點(diǎn)A、B、C、D作圓O,則A、B、C、D四點(diǎn)在同

一圓上。

②已知四邊形ABCD,若NA=/BCE,則過點(diǎn)A、B、C、D,作圓O,則A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上。

典型例題

例五：?jiǎn)蝿?dòng)折疊，必有隱形圓。

（中考改編廣州）如圖，等邊△ABC中,AB=6點(diǎn)D在BC上,BD=4,點(diǎn)E為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）,△

CDE關(guān)于DE的軸對(duì)稱圖形為4FDE.

⑴設(shè)小ACD的面積為Si,△ABF的面積為S2,記S=Si-S2,S是否存在最大值?若存在，求出S的最大值；

若不存在，請(qǐng)說明理由；

解:⑴存在,

過點(diǎn)D作DMLAB交AB于點(diǎn)M,

VAB=BC=6.BD=4,

；.CD=2

：.DF=2,

點(diǎn)F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)F在DM上時(shí),SAABF最小，

VBD=4,DM±AB,ZABC=60°

MD=2V3

/.SAABF1的最小值=|x6x（2V3-2）=6V3-6

???X2x3V3-（6V3-6）=-3百+6

吸大值2v7

例六：動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡+隱形圓

（中考?武漢）如圖.AB是。O的直徑,M、N是屈（異于A、B）上兩點(diǎn),C是MN上一動(dòng)點(diǎn)，ZACB的角平分線交

?0于點(diǎn)D.ZBAC的平分線交CD于點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，則C、E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)的比是（）

A,五B《

解:如圖,連接EB.設(shè)OA=r.

VAB是直徑，

ZACB=90°,

ACB的內(nèi)心，

ZAEB=135°,

作等腰RSADB,AD=DB,ZADB=90°，則點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是GF,點(diǎn)C

的運(yùn)動(dòng)軌跡是MN,

ZM0N=2ZGDF,設(shè)NGDF=a,則NM0N=2a

2a?,二

...儂y的長(zhǎng)：=180=夜

GF的長(zhǎng)a?7t?

-180

故選:A.

例七：中位線+隱形圓

（中考?山東泰安）如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A（2,0）,B（0,2）,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,點(diǎn)M為線段

AC的中點(diǎn)，連接OM,則OM的最大值為（）

A.y/2+lB.V2+|

C.2V2+1D.2V2

解：如圖，

:點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,

???C在。B上,且半徑為1,

取0D=0A=2,連接CD,

,--AM=CM,OD=OA,

；.0乂是4ACD的中位線，

1

???0M=-CD,

2

當(dāng)OM最大時(shí),即CD最大,而D,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，OM最大，

VOB=OD=2,ZBOD=90°,

BD=2vx

??.CD=2V2+1,

OM=1CD=V2+1，即OM的最大值為V2+j;故選:B.

例八：構(gòu)造相似三角形+隱形圓

（中考?無錫）如圖，在Rt△力BC中，乙4cB=90°,AB=4,點(diǎn)D,E分別在邊AB.AC上，且.DB=2AD.AE=

3EC,連接BE,CD,相交于點(diǎn)O,則△48。面積最大值為一.

解：如圖，過點(diǎn)D作

DF_BD_2

AE-BA-3’

tEC_l

?4E-3，

???DF=2EC,

.*.DO=2OC,

2

??.DO=^DC,

22

?*,S^ADO=^^ADCf^LBDO-

2

，?^LABO=3^^ABC>

丁ZACB=90°,

...C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G,當(dāng)CG,AB時(shí),△ABC的面積最大為:|x4x2=4,

此時(shí)△ABO的面積最大為：|X4=1

故答案為u

例九：隱藏的定邊+面積最小值

（中考?連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的。O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B是。O上一

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=江-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E,則4CDE面積的最小值為

解：如圖，連接0B,取0A的中點(diǎn)M,連接CM,過點(diǎn)M作MNLDE于N.

???MC=RB=L

；?點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以M為圓心，1為半徑的。M,設(shè)。M交MN于C.

.直線y-\x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E,

4

???D(4,0),E(0,-3),

.\OD=4,OE=3,

DE=y/OE2+OD2=V32+42=5,

,/ZMDN=ZODE,ZMND=ZDOE,

.,.△DNM^ADOE,

MNDM

OEDE1

.MN_3

一3一5，

9

??.MN=)

5，

當(dāng)點(diǎn)c與C重合時(shí)，△C'DE的面積最小，△C'DE的面積最小值=jx5x-1)=2,故答案為2.

例十：四點(diǎn)共圓

(中考紹興)如圖,AB=10,點(diǎn)C是射線BQ上的動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AC,作CDXAC,CD=AC,動(dòng)點(diǎn)E在AB延長(zhǎng)線上,tan

NQBE=3,連結(jié)CE,DE.當(dāng)CE=DE,CE±DE時(shí),BE的長(zhǎng)是.

解：如圖，過點(diǎn)C作CT±AE于點(diǎn)T,過點(diǎn)D作DJLCT交CT的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,連接EJ.

???tanzCFT=3==，

BT

???可以假設(shè)BT=k,CT=3k,

ZCAT+ZACT=90°,ZACT+ZJCD=90°,

:.ZCAT=ZJCD,

在^ATCCJD中，

^ATC=乙CJD=90°

{/.CAT=々CD,

CA=CD

：.AATC^ACJD(AAS),

.\DJ=CT=3k,AT=CJ=10+k,

???乙CJD=4CED=90。,

AC,E,D,J四點(diǎn)共圓，

???EC=DE,

??.Z.C]E=乙DJE=45°,

.?.ET=TJ=10-2k,

CE2=CT2+TE2=(yCD)2,

(3k)2+(10-2ky=.V(3fc)2+(10+fc)2]，整理得4k2-25k+25=0,

(k-5)(4k-5)=0,

，k=5和：，

4

BE=BT+ET=k+10-2k=10-k=5.或受，

4

故答案為：5或日.

解題方案

已知單邊定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。，構(gòu)造全等三角形；

已知三角函數(shù)正切值，就要設(shè)未知數(shù)；

四邊形對(duì)角互補(bǔ)，必有隱形圓；

利用勾股定理，建方程解決問題。

舉一反三

1.（2024河南）如圖,在Rt△ABC中,乙4cB=90。,CA=CB=3,線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD

的垂線，交射線AD于點(diǎn)E若CD=1,則AE的最大值為最小值為一

2.（2024.陜西）問題提出

（1）如圖①.在^ABC中,AB=15,/C=30。,作仆ABC的外接圓。O,則M的長(zhǎng)為；（結(jié)果保留兀）

問題解決

（2）如圖②所示,道路AB的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測(cè)點(diǎn)D,E,C,線段AD,AC和BC為觀

測(cè)步道，其中點(diǎn)A和點(diǎn)B為觀測(cè)步道出入口.已知點(diǎn)E在AC上,且AE=EC,ZDAB=60°,ZABC=120°,AB=1200m,

AD=BC=900m,現(xiàn)要在濕地上修建一個(gè)新觀測(cè)點(diǎn)P,使/DPC=60。.再在線段AB上選一個(gè)新的步道出入口點(diǎn)F,并

修道三條新步道PF,PD,PC,使新步道PF經(jīng)過觀測(cè)點(diǎn)E,并將五邊形ABCPD的面積平分.

請(qǐng)問：是否存在滿足要求的點(diǎn)P和點(diǎn)F?若存在，求此時(shí)PF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（點(diǎn)A,B,C,P,D在

同一平面內(nèi)，道路AB與觀測(cè)步道的寬、觀測(cè)點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）

3.（2024?蘇州）如圖.矩形ABCD中,AB=V3,BC=1,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度

的速度沿AB,CD向終點(diǎn)B,D運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)E,F作直線1,過點(diǎn)A作直線1的垂線，垂足為G,則AG的最大值為（）

D

X.A/3B.y

C.2D.1

4.（2024?鹽城）如圖,在4ABC中，/ACB=90。,AC=BC=2VI點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),連接BD,將4BCD繞點(diǎn)B旋

轉(zhuǎn),得到△BEF.連接CF,當(dāng)CF〃AB時(shí),CF=.

5.（2024.煙臺(tái)）如圖，在回4BCD中,ZC=120°,AB=8,BC=10,E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊AD上的一動(dòng)點(diǎn),將

ADEF沿EF翻折得△D'EF,連接AD',則A4BD面積的最小值為.

6.（2024.廣元）如圖,在4ABC中,AB=5,tanZC=2,則AC+的最大值為

7.（2024.黑龍江）如圖在Rt△ABC中，4ACB=90。,tan^BAC=|,BC=2AD=1,線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P

為CD的中點(diǎn)，則BP的最大值是.

8.（2021.安順）在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點(diǎn)都在正方形邊

上.小紅利用兩張邊長(zhǎng)為2的正方形紙片，按要求剪出了一個(gè)面積最大的正三角形和一個(gè)面積最小的正三角形.則這

兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)分別是________

9.（2020.廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老

鼠距離最小時(shí)撲捉把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，乙4BC=90。,點(diǎn)M,

N分別在射線BA,BC上,MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN=4,E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA,BC的距離分別為4和

2.在此滑動(dòng)過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為

10.（2020廣西）如圖.在邊長(zhǎng)為2g的菱形ABCD中,NC=60。,點(diǎn)E,F分別是AB,AD上的