2025年重慶市中考數學試題（解析版）VIP

重慶市2025年初中學業(yè)水平暨高中招生考試

數學試題

（全卷共四個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）

注意事項：

1．試題的答案書寫在答．題．卡．上，不得在試題卷上直接作答；

2．作答前認真閱讀答．題．卡．上的注意事項；

3．作圖（包括作輔助線）請一律用黑．色．2．B．鉛筆完成：

4．考試結束，由監(jiān)考人員將試題卷和答．題．卡．一并收回．

b4acb2b

2(,)x

參考公式：拋物線yaxbxc(a0)的頂點坐標為2a4a，對稱軸為2a．

一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號

為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答．題．卡．上題號右側正確答案所對

應的方框涂黑．

1.6的相反數是（）

11

A.6B.C.D.6

66

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了相反數的概念，根據符號不同，絕對值相同的兩個數互為相反數即可求得答案．掌握

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數是解答此題的關鍵．

【詳解】解：6的相反數是6．

故選：A．

2.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，根據軸對稱圖形的定義解答即可．如果一個圖形沿著某一條

直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．熟練掌

握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．

【詳解】解：在四個選項的圖形中，只有選項B的圖形能找到一條直線，使圖形沿這條直線對折后兩邊能

完全重合，故選項B是軸對稱圖形，選項A、C、D不是軸對稱圖形．

故選：B．

3.下列調查中最適合采用全面調查（普查）的是（）

A.調查某種柑橘的甜度情況B.調查某品牌新能源汽車的抗撞能力

C.調查某市垃圾分類的情況D.調查全班觀看電影《哪吒2》的情況

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是抽樣調查和全面調查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征

靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，

對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人

力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似判斷即可．

【詳解】解：A中，調查某種柑橘的甜度情況，全面調查工作量大，且具有破壞性，適合抽樣調查，故本

選項不合題意；

B中，調查某品牌新能源汽車的抗撞能力，具有破壞性，適合抽樣調查，故本選項不合題意；

C中，了調查某市垃圾分類的情況，全面調查工作量大，適合抽樣調查，故本選項不合題意；

D中，調查全班觀看電影《哪吒2》的情況，范圍較小，適于全面調查，故本選項符合題意．

故選：D．

4.如圖，點A，B，C在O上，AOB100，C的度數是（）

A.40B.50C.80D.100

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查的是圓周角定理，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，即可求解，熟練掌握圓周角

定理是解題的關鍵．

【詳解】解：根據圓周角定理，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，

1

CAOB50．

2

故選：B．

5.按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖中有4個圓點，第②個圖中有8個圓點，第③個圖中有12個圓

點，第④個圖中有16個圓點……按照這一規(guī)律，則第⑥個圖中圓點的個數是（）

A.32B.28C.24D.20

【答案】C

【解析】

【分析】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，第①個圖案中有4個黑色圓點，第②個圖案中有8個黑色

圓點，第③個圖案中有12個黑色圓點，則可以總結出第n個圖形中黑色圓點的個數，代入n6計算即可．解

題的關鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點個數的數字變化規(guī)律．

【詳解】解：第①個圖案中有4個黑色圓點，

第②個圖案中有8個黑色圓點，

第③個圖案中有12個黑色圓點，

第④個圖案中有16個黑色圓點，

則第n個圖案中有4n個黑色圓點，

所以第⑥個圖中圓點的個數是4624個，

故選：C．

12

6.反比例函數y的圖象一定經過的點是（）

x

A.(2,6)B.(4,3)C.(3,4)D.(6,2)

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函

數的解析式是解題的關鍵，根據反比例函數圖象上點坐標特點進行判斷即可．

12

【詳解】解：反比例函數y的k12，

x

點(6,2)所在的反比例函數的k6212，

12

反比例函數y的圖象一定經過的點是(6,2)，

x

故選：D．

7.下列四個數中，最大的是（）

A.6.18108B.6.28108C.6.18109D.6.28109

【答案】D

【解析】

【分析】此題考查了科學記數法的應用能力，運用科學記數法知識將各選項數字還原，再進行比較、求解．關

鍵是能準確理解并運用以上知識．

【詳解】解：6.18108618000000，6.28108628000000，6.181096180000000，

6.281096280000000，

6180000006280000006180000006280000000，

6.181086.281086.181096.28109，

∴四個數中，最大的是6.28109，

故選：D．

8.某景區(qū)2022年接待游客25萬人，經過兩年加大旅游開發(fā)力度，該景區(qū)2024年接待游客達到36萬人，

那么該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為（）

A.10%B.20%C.22%D.44%

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為x,利用該景區(qū)2024

年接待游客人次數該景區(qū)2022年接待游客人次數(1該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率)2，可列出

關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．找準等量關系，正確列出一元二次方程

是解題的關鍵．

【詳解】解：設年平均增長率為x，

可得方程25(1x)236，

解得x0.2或x2.2（舍去負值），

所以該景區(qū)這兩年接待游客的年平均增長率為20%，

故選：B

9.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊的中點，連接DE，將△DCE沿直線DE翻折到正方

形ABCD所在的平面內，得△DFE，延長DF交AB于點G．ADG和DAG的平分線DH，AH相

交于點H，連接GH，則DGH的面積為（）

555555

A.B.C.D.

8484

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，連接GE，

證明Rt△EFG≌Rt△EBGHL，可得GFGB，設GBGFx，則AG2x,DG2x，根據

1

勾股定理可得x，再利用角平分線的性質得到點H到AD,AG,GD的距離相等，利用面積之比即可解

2

1

答，正確作出輔助線，利用勾股定理列方程解得GB是解題的關鍵．

2

【詳解】解：如圖，連接GE，

，

四邊形ABCD是正方形，

BCBACADC90，ABBCCDDA2，

點E是BC邊的中點，

BECE1,

將△DCE沿直線DE翻折得△DFE，

EFDC90,CEFEBE1，DCDF2,

GFEGBE90，

GEGE，

Rt△EFG≌Rt△EBGHL，

GFGB，

設GBGFx，則AG2x,DG2x，

根據勾股定理可得AG2AD2DG2,

22

即2x222x，

1

解得x，

2

53

DG,AG，

22

ADG和DAG的平分線DH，AH相交于點H，

點H到AD,AG,GD的距離相等，

5

GD135

SS22，

GDHADG53

GDAGAD2228

22

故選：A．

已知整式2n，其中為自然數，，，，…，為正整數，且

10.M:a0a1xa2xanxa0na1a2an

a0a1an4．下列說法：

①滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式；

②當n3時，滿足條件的所有整式M的和為4x34x24x1；

③滿足條件的所有二次三項式中，當x取任意實數時，其值一定為非負數的整式M共有3個．

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】本題綜合考查了整式與配方法，根據題意逐項分析，對a0進行分類討論，即可求解，理解題意，

分類討論，找出規(guī)律是解題的關鍵．

【詳解】解：當n1時，a0a14，

當a00，a14時，整式M為4x，

當a00時，整式M不可能為單項式，

當n1時，

a1，a2，…，an為正整數，

整式M不可能為單項式，故滿足條件的所有整式M中有且僅有1個單項式，①正確；

當n3時，a0a1a2a34，

當a00時，a1a2a34，

232323

則a1,a2,a3中有一個可能為2，故會有三種情況，對應的整式M為xx2x，x2xx，,2xxx，

++=

當a01時，a1a2a33，

23

則a1a2a31故會有一種情況，對應的整式M為1xxx，

當a01時，a1a2a33，與a1，a2，…，an為正整數矛盾，故不存在，

滿足條件的所有整式M的和為5x35x25x1，故②錯誤；

多項式為二次三項式，

n2，

a0a1a24，

因為多項式為三項式，故a00，

當a01時，a1a23，

則有1x2x2,12xx2兩種，

2

21722

1x2x2x0，12xxx10，

48

1x2x2,12xx2兩種都滿足條件，

當a02時，a1a22，

則有2xx2一種，

2

217

2xxx0，

24

2xx2滿足條件，

當a02時，a1a22，與a1，a2，…，an為正整數矛盾，故不存在，

所以其值一定為非負數的整式M共有3個，故③正確，

其中正確的個數是2個，

故選：C．

二、填空題：（本大題6個小題，每小題4分，共24分）請將每小題的答案直接填在答．題．卡．

中對應的橫線上．

11.不透明袋子中有1個紅球、3個白球，這些球除顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，則摸出

紅球的概率是__________．

1

【答案】

4

【解析】

m

【分析】本題考查求概率，概率的計算公式是PA，其中PA表示事件A發(fā)生的概率，m表示事

n

件A發(fā)生的結果數，n表示所有可能的結果數．根據概率公式進行計算即可．

【詳解】解：袋子里一共有134個球，紅球有1個．

1

∴摸出紅球的概率P．

4

1

故答案為：．

4

12.如圖，AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點E，F．若∠170，則2的度數是__________．

【答案】70

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，同位角相等即可解答，熟知平行線的性質是解題的

關鍵．

【詳解】解：ABCD，

2170，

故答案為：70．

13.若n為正整數，且滿足n26n1，則n__________．

【答案】5

【解析】

【分析】本題考查無理數的估算，熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵．先估算26的取值范圍，得

出5266，又因為n為正整數，且滿足n26n1，即可得出n5．

【詳解】解：∵252636，

∴252636，

∴5266，

∵n為正整數，且滿足n26n1，

∴n5，

故答案為：5．

14.若實數x，y同時滿足xy2，xy4，則xy的值為__________．

1

【答案】

3

【解析】

【分析】本題考查絕對值的非負性，解一元一次方程，負整數指數冪，根據絕對值的非負性，得到

xy20，xy40，進而得到y(tǒng)4，進而得到關于y的一元一次方程，求出y的值，進而

求出x的值，再根據負整數指數冪的法則，進行計算即可．

【詳解】解：∵xy2，xy4，

∴xy20，xy40，

∴y4，

∴xxy2y4，

當y0時，方程無解，

當4y0時，y2y4，

∴y1，

∴xy23，

1

∴xy31；

3

1

故答案為：．

3

15.如圖，AB是O的直徑，點C在O上，連接AC．以AC為邊作菱形ACDE，CD交O于點F，

ABCD，垂足為G．連接AD，交O于點H，連接EH．若AG12，GF5，則DF的長度為

__________，EH的長度為__________．

13

【答案】①.3②.13

4

【解析】

【分析】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、菱形的性質、解直角三角形等知識點，正確作出輔助線、

運用解直角三角形解決問題成為解題的關鍵．

由垂徑定理以及勾股定理可得CGGF5，即CF2CG10、AC13，由菱形的性質可得

CDAC13，進而得到GD8、DF3、AD413；如圖：連接BC,BH，由圓周角定理可得

16913

ACB90、AHB90，再解直角三角形可得AB、AH13；由菱形的性質以及平行

124

3913

線的性質可得DAECDA，如圖：過H作HFAE于F，解直角三角形可得FH、AF，

42

13

易得FE，最后運用勾股定理求解即可．

2

【詳解】解：∵ABCD，AG12，GF5，

∴CGGF5，即CF2CG10，

∴ACAG2CG21225213，

∵菱形ACDE，

∴CDAC13，

∴GDCDGC1358，DFCDCF13103；

∴ADAG2GD212282413

如圖：連接BC,BH，

∵AB是O的直徑，

∴ACB90，AHB90

AGAC1213169

∴cosCAB，即，解得：AB；

ACAB13AB12

12AH

AGAH13

cosDAB，即413169，解得：AH13；

ADAB4

12

∵菱形ACDE，

∴CD∥AE，

∴DAECDA，

如圖：過H作HFAE于F，

∴sinDAEsinGDA,cosDAEcosGDA，

FHAGAFGD

∴,，

AHADAHAD

FH12AF8

,

∴1313，

1341313413

44

3913

∴FH，AF，

42

1313

∴FEAEAF13，

22

22

22133913

∴FHEFFH13

244

13

故答案為：3，13．

4

16.我們規(guī)定：一個四位數Mabcd，若滿足abcd10，則稱這個四位數為“十全數”．例如：

四位數1928，因為192810，所以1928是“十全數”．按照這個規(guī)定，最小的“十全數”是

__________：一個“十全數”Mabcd，將其千位數字與個位數字調換位置，百位數字與十位數字調換

MMMM4F(M)G(M)15

位置，得到一個新的數Mdcba，記F(M)，G(M)．若與

9091113

abcd

均是整數，則滿足條件的M的值是__________．

17

【答案】①.1919②.3782

【解析】

【分析】此題考查了整式的加減的應用，根據要求最小的“十全數”，得到a1，c1，然后求出

b1019，d1019，即可得到最小的“十全數”是1919；根據題意表示出

MM

M900a9c1010，M9a900c10100，然后表示出F(M)ac10，

909

MM4F(M)G(M)157ac3

G(M)81a81c1010，然后表示出6a6c76，

111313

abcd8a8c37ac38a8c3

ac1，然后根據題意得到與均是整數，得到7ac3能

17171317

被13整除，8a8c3能被17整除，然后由1a9，1c9求出57ac369，進而求解即可．

【詳解】解：設四位數Mabcd

∵要求最小的“十全數”，

∴a1，c1

∴b1019，d1019

∴最小的“十全數”是1919；

∵一個“十全數”Mabcd，

∴abcd10

∴b10a，d10c

∴Mabcd1000a10010a10c10c900a9c1010

∴Mdcba100010c100c1010aa9a900c10100

MM900a9c10109a900c10100

∴F(M)ac10

909909

MM900a9c10109a900c10100

∴G(M)81a81c1010

1111

4F(M)G(M)15

∴

13

4ac1081a81c101015

13

85a77c985

13

7ac3

6a6c76

13

abcd10a10a10c10c9a9c208a8c3

∴ac1

17171717

4F(M)G(M)15

∵與abcd均是整數

1317

7ac38a8c3

∴與均是整數

1317

∴7ac3能被13整除，8a8c3能被17整除

∵1a9，1c9

∴77a63，2c36

∴57ac369

∴7ac3的值可以為13，26，39，52，65

7ac38a8c3

∴依次代入可得，當a3，c8時，2，5均是整數，符合題意

1317

∴b10a7，d10c2

∴滿足條件的M的值是3782．

故答案為：1919，3782．

三、解答題：（本大題2個小題，每小題8分，共16分）解答時每小題必須給出必要的演算

過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答．題．卡．中對應的位置

上．

2x2x①

17.求不等式組：x12x1的所有整數解．

②

23

【答案】1，0，1

【解析】

【分析】本題考查解不等式組及不等式組的整數解，熟練掌握解不等式組的步驟是解題的關鍵．利用解不

等式組的步驟求解，再得出其整數解即可．

2x2x①

【詳解】解：x12x1，

②

23

解不等式①，得：x2；

解不等式②，得：x1；

∴不等式組的解集為1x2．

所以該不等式組的所有整數解是1，0，1．

18.學習了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現了角平分線的另一種作法，并與她的同

伴進行交流．現在你作為她的同伴，請根據她的想法與思路，完成以下作圖和填空：

第一步：構造角平分線．

小紅在AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線（如圖）．請你利用尺規(guī)作圖，在OB邊上

截取OFOE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP，OP即為AOB的平分線

（不寫作法，保留作圖痕跡）．

第二步：利用三角形全等證明她的猜想．

證明：PEOA，PFOB，

OEPOFP90．

在Rt△OEP和RtOFP中，

①

，

②

Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)．

③．

∴OP平分AOB．

【答案】第一步：作圖見解析；第二步：①POPO；②OEOF；③EOPFOP

【解析】

【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．

第一步：根據題意作出圖形即可；

第二步：利用HL證明Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)，得出EOPFOP即可解答．

【詳解】解：第一步：作圖如下：

；

第二步：證明：PEOA，PFOB，

OEPOFP90．

在Rt△OEP和RtOFP中，

POPO

，

OEOF

Rt△OEP≌Rt△OFP(HL)．

EOPFOP,

∴OP平分AOB．

四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算

過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答．題．卡．中對應的位置

上．

19.學校開展了航天知識競賽活動，從七、八年級學生中各隨機抽取20名學生的競賽成績（成績?yōu)榘俜种?/p>

且為整數）進行整理、描述和分析（成績均不低于60分，用x表示，共分四組：A．90x100；

B．80x90；C．70x80；D．60x70），下面給出了部分信息：

七年級20名學生競賽成績在B組中的數據是：83，84，84，84，85，87，88．

八年級20名學生競賽成績是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，

89，96，97，98，98，99．

七年級所抽取學生競賽成績扇形統(tǒng)計圖

七、八年級所抽取學生競賽成績統(tǒng)計表

七年八年

年級

級級

平均

8282

數

中位

a83

數

眾數84b

根據以上信息，解答下列問題：

（1）上述圖表中a__________，b__________，m__________；

（2）根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生航天知識競賽的成績較好？請說明理由（寫出

一條理由即可）；

（3）該校七年級有學生560人，八年級有學生500人，請估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于90

分的學生人數共是多少？

【答案】（1）84，86，30

（2）七年級成績較好，理由見解析（答案不唯一）

（3）293人

【解析】

【分析】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖，中位數、眾數、平均數，樣本估計總體，熟練掌握扇形統(tǒng)計圖及中位

數、眾數、平均數是解題的關鍵．

（1）利用扇形統(tǒng)計圖即可求出C組和D組的人數，再利用中位數定義和B組數據即可求出a，再利用眾數

定義即可求出b，最后利用扇形和B組人數即可求出m；

（2）根據平均分、中位數及眾數分析即可得出結果；

（3）利用樣本估計總體進行求解即可．

【小問1詳解】

解：七年級20名學生競賽成績在D組中的數據有2010%2（人），在C組中的數據有2025%5（人），

∵七年級競賽成績的中位數a是數據從小到排列后的第10和11個數據，且數據從小到排列后的第10和11

個數據是84，84，

8484

∴a84，

2

∵八年級20名學生競賽成績中出現次數最多的是86，

∴b86，

∵七年級20名學生競賽成績在B組中的數據共7個，

7

∴m%110%25%30%，

20

∴m30，

故答案為：84，86，30；

【小問2詳解】

解：該校七年級學生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學生航天知識競賽的成績的平

均數相同都是82，但七年級競賽的成績的中位數84大于八年級競賽的成績的中位數83，所以該校七年級

學生航天知識競賽的成績較好；

或該校八年級學生航天知識競賽的成績較好，理由：因為該校七、八年級學生航天知識競賽的成績的平均

數相同都是82，但八年級競賽的成績的眾數86大于七年級競賽的成績的眾數84，所以該校八年級學生航

天知識競賽的成績較好；

【小問3詳解】

5

解：56030%500293（人），

20

即估計該校七、八年級參加此次競賽成績不低于90分的學生人數共是293人．

2

xx120

20.先化簡，再求值：x13x1x3x1，其中x3(4)．

x22x1xx1

11

【答案】，

x15

【解析】

【分析】本題考查分式的化簡求值，零指數冪，根據多項式乘以多項式，單項式乘以多項式，分式的混合

運算法則，進行化簡，根據絕對值的意義，零指數冪求出x的值，再把x的值代入化簡后的式子中進行計算

即可．

22xx1x12x

【詳解】解：原式3x2x13xx2

x1xx1

xx1xx1

x12

x11x

x2

x1

x1

x21x2

x1

1

；

x1

∵x3(4)0314，

11

∴原式．

415

21.列方程解下列問題：

某廠生產甲、乙兩種文創(chuàng)產品．每天生產甲種文創(chuàng)產品的數量比每天生產乙種文創(chuàng)產品的數量多50個，3

天時間生產的甲種文創(chuàng)產品的數量比4天時間生產的乙種文創(chuàng)產品的數量多100個．

（1）求該廠每天生產的甲、乙文創(chuàng)產品數量分別是多少個？

（2）由于市場需求量增加，該廠對生產流程進行了改進．改進后，每天生產乙種文創(chuàng)產品的數量較改進前

每天生產的數量增加同樣的數量，且每天生產甲種文創(chuàng)產品的數量較改進前每天增加的數量是乙種文創(chuàng)產

品每天增加數量的2倍．若生產甲、乙兩種文創(chuàng)產品各1400個，乙比甲多用10天，求每天生產的乙種文

創(chuàng)產品增加的數量．

【答案】（1）該廠每天生產的甲文創(chuàng)產品數量為100個，乙文創(chuàng)產品數量是50個

（2）每天乙文創(chuàng)產品增加的數量是20個

【解析】

【分析】本題考查一元一次方程和分式方程的應用，正確理解題意，根據等量關系列方程是解題的關鍵．

（1）設該廠每天生產的乙文創(chuàng)產品數量是x個，根據題意列一元一次方程解答即可；

（2）設該廠每天乙文創(chuàng)產品增加的數量是y個，根據“生產甲、乙兩種文創(chuàng)產品各1400個，乙比甲多用

10天”列分式方程解答即可．

【小問1詳解】

解：設該廠每天生產的乙文創(chuàng)產品數量是x個，則甲文創(chuàng)產品數量為(x50)個．

3(x50)4x100，

解得：x50，

則甲文創(chuàng)產品數量為x50100個，

答：該廠每天生產的乙文創(chuàng)產品數量是50個，則甲文創(chuàng)產品數量為100個．

【小問2詳解】

解：設每天乙文創(chuàng)產品增加的數量是y個，則甲文創(chuàng)產品增加的數量是2y個．

14001400

10，

50y1002y

解得：y20，

經檢驗：y20是原方程的解，

答：每天乙文創(chuàng)產品增加的數量是20個．

22.如圖，點O為矩形ABCD的對角線AC的中點，AB3，BC4，E，F是AC上的點（E，F均

不與A，C重合），且AECF，連接BE，DF．用x表示線段AE的長度，點E與點F的距離為y1．矩

S

形ABCD的面積為S，ABE的面積為S1，VCDF的面積為S2，y2．

S1S2

（1）請直接寫出y1，y2分別關于x的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍：

（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數y1，y2的圖象，并分別寫出函數y1，y2的一條性質；

（3）結合函數圖象，請直接寫出y1y2時x的取值范圍（近似值保留小數點后一位，誤差不超過0.2）．

5

52x0x

25

【答案】（1）y1，y20x5

5x

2x5x5

2

55

（2）作圖見解析，性質：當0x時，y隨x的增大而減小，當x5時，y隨x的增大而增大（不

2121

唯一）；當0x5時，y2隨x的增大而減小

（3）0x3.3（或0x3.1或0x3.2或0x3.4或0x3.5）

【解析】

【分析】本題考查函數解析式，一次函數的圖象與性質，反比例函數的圖象與性質，反比例函數與不等式，

勾股定理，矩形的性質，熟練掌握相關性質，并能正確分段列出動點問題的相關線段是解題的關鍵．

5

（1）利用矩形性質和勾股定理得出AC=AB2+BC2=5，AOCO5，分兩部分：①當0x時；

2

5ABBC12

②當x5時，分別列出y；過點B作BMAC于點M，利用等面積法求出BM，

21AC5

166

即可表示出的面積為，同理可得的面積為，再結合矩形

ABES1AEBMxVCDFS2x

255

S

ABCD的面積為與y2，即可列出y2；

S1S2

（2）根據函數解析式畫圖即可，再根據函數圖象寫出性質；

（3）根據圖象寫出y1的圖象在y2下方時對應的自變量x的取值范圍即可

【小問1詳解】

解：∵O為矩形ABCD的對角線AC的中點，AB3，BC4，

∴ABC90，AC=AB2+BC2=5，

∴AOCO5，

5

當0x時，AECFx，如圖，

2

∴y1EFACAECF5xx52x；

5

當x5時，AECFx，如圖，

2

∴y1EFAECFACxx52x5；

5

52x0x

2

∴y1；

5

2x5x5

2

如圖，過點B作BMAC于點M，

11

∵SABBCACBM，

ABC22

ABBC12

∴BM，

AC5

11126

∴的面積為，

ABES1AEBMxx

2255

6

同理可得VCDF的面積為Sx，

25

又∵矩形ABCD的面積為S3412，

S125

y

∴2SS66x，

12xx

55

5

∴y0x5；

2x

【小問2詳解】

解：作圖如下：

55

性質：當0x時，y隨x的增大而減??；當x5時，y隨x的增大而增大（不唯一）；當0x5

2121

時，y2隨x的增大而減?。?/p>

【小問3詳解】

解：結合函數圖象，可得y1y2時x的取值范圍為0x3.3（或0x3.1<或0x3.2或0x3.4

或0x3.5）．

23.為加強森林防火，某林場采用人工瞭望與無人機巡視兩種方式監(jiān)測森林情況．如圖，A，B，C，D在同

一平面內．A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機位于A的正東方向10千米的B處，乙無人機位于A的

南偏西30方向20千米的D處．兩無人機同時飛往C處巡視，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏

西30方向上．（參考數據：21.41，31.73，52.24，72.65）

（1）求BD的長度（結果保留小數點后一位）；

（2）甲、乙兩無人機同時分別從B，D出發(fā)沿BC，DC往C處進行巡視，乙無人機速度為甲無人機速度

的2倍．當兩無人機相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號．請問甲無人機飛離B處多少千米時，

兩無人機可以開始相互接收到信號（結果保留小數點后一位）？

【答案】（1）26.5千米

（2）3.8千米

【解析】

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，正確作出輔助線構造直角三角形

是解題的關鍵。

（1）過點A作AECD于E，過點B作BF⊥CD于F，由題意得，DAE30，解RtADE得到

AE103千米，DE10千米，證明四邊形AEFB是矩形，得到EFAB10千米，BFAE103

千米，得到DFDEEF20千米，再利用勾股定理即可求出BD的長；

（2）當甲無人機運動到M，乙無人機運動到N時，此時滿足MN20千米．過點M作MTCD于T，

由題意得，BCF903060，解Rt△FBC得到BC20千米，CF10千米，則

CDDFCF30千米，設BMx千米，則DN2x千米，CM20x千米，解Rt△CMT得到

133

CT10x千米，MT103x千米，則TN20x千米，由勾股定理得

222

2

2

233，解方程即可得到答案。

20103x20x

22

【小問1詳解】

解：如圖所示，過點A作AECD于E，過點B作BF⊥CD于F，

∴AEDBFC90，

由題意得，DAE30，

在RtADE中，AEADcos∠DAE20cos30103千米，

DEADsin∠DAE20sin3010千米，

∵無人機位于A的正東方向10千米的B處，D位于C的正西方向上，

∴AB∥CD，

∴AE⊥AB，BF⊥AB，

∴四邊形AEFB是矩形，

∴EFAB10千米，BFAE103千米，

∴DFDEEF20千米，

2

∴BDDF2BF220210310726.5千米，

答：BD的長度約為26.5千米；

【小問2詳解】

解：如圖所示，當甲無人機運動到M，乙無人機運動到N時，此時滿足MN20千米．過點M作MTCD

于T，

由題意得，BCF903060，

BF103

在Rt△FBC中，BC20千米，

sin∠BCFsin60

BF103

CF10千米，

tan∠BCFtan60

∴CDDFCF30千米，

設BMx千米，則DN2x千米，CM20x千米，

1

在Rt△CMT中，CTCMcosMCT20xcos6010x千米，

2

3

MTCMsinMCT20xsin60103x千米，

2

13

∴TNCDDNCT302x10x20x千米，

22

在RtMNT中，由勾股定理得MN2MT2NT2，

2

2

∴233，

20103x20x

22

∴x1555或x1555（此時大于BC的長，舍去），

∴BM15553.8千米，

答：甲無人機飛離B處3.8千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號．

24.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2bxc與x軸交于A，B(6,0)兩點，與y軸交于點C，

5

拋物線的對稱軸是直線x．

2

（1）求拋物線的表達式：

（2）點P是射線BC下方拋物線上的一動點，連接OP與射線BC