第39講 空間角與距離的計(jì)算-2026高考數(shù)學(xué)大一輪全面復(fù)習(xí)資料(提高版)解析版_第1頁(yè)
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第39講空間角與距離的計(jì)算鏈教材夯基固本激活思維1.(人A選必一P38練習(xí)T1)在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BCA=90°,D1,F(xiàn)1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BD1與AF1所成角的余弦值是(A)A.eq\f(\r(30),10) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(30),15) D.eq\f(\r(15),10)【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BC=CA=CC1=1,則A(1,0,1),B(0,1,1),D1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2),0)),F(xiàn)1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0,0)),所以eq\o(BD1,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),-\f(1,2),-1)),eq\o(AF1,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,-1)),所以|cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→)),eq\o(AF1,\s\up6(→))〉|=eq\f(|\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AF1,\s\up6(→))|,|\o(BD1,\s\up6(→))||\o(AF1,\s\up6(→))|)=eq\f(\f(3,4),\r(\f(1,4)+\f(1,4)+1)×\r(\f(1,4)+1))=eq\f(\r(30),10).(第1題答)2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中點(diǎn),則直線DC1與平面ACE所成角的正弦值為(A)A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(3),3)【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),E(2,1,2),C(0,2,0),所以eq\o(DC1,\s\up6(→))=(0,2,2),eq\o(AE,\s\up6(→))=(0,1,2),eq\o(AC,\s\up6(→))=(-2,2,0).設(shè)平面ACE的法向量為m=(x,y,z),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up6(→))=y(tǒng)+2z=0,,m·\o(AC,\s\up6(→))=-2x+2y=0,))取z=1,得m=(-2,-2,1).設(shè)直線DC1與平面ACE所成的角為θ,則sinθ=eq\f(|\o(DC1,\s\up6(→))·m|,|\o(DC1,\s\up6(→))||m|)=eq\f(|-4+2|,\r(4+4)×\r(4+4+1))=eq\f(\r(2),6).(第2題答)3.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BB1,DD1上,且A1C⊥平面AEF,AD=3,AB=4,AA1=5,則平面AEF和平面D1B1BD夾角的余弦值為(C)(第3題)A.eq\f(\r(2),25) B.eq\f(6\r(2),25)C.eq\f(12\r(2),25) D.eq\f(3,4)【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(4,0,0),D(0,3,0),D1(0,3,5),A1(0,0,5),C(4,3,0),所以eq\o(BD,\s\up6(→))=(-4,3,0),eq\o(DD1,\s\up6(→))=(0,0,5).設(shè)平面DBB1D1的法向量為n=(x,y,z),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DD1,\s\up6(→))=0,,n·\o(BD,\s\up6(→))=0,))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5z=0,,-4x+3y=0,))取x=3,得n=(3,4,0).由于A1C⊥平面AEF,所以平面AEF的一個(gè)法向量為eq\o(A1C,\s\up6(→))=(4,3,-5).設(shè)平面AEF和平面D1B1BD的夾角為θ,則cosθ=eq\f(|n·\o(A1C,\s\up6(→))|,|n||\o(A1C,\s\up6(→))|)=eq\f(12\r(2),25),所以平面AEF和平面D1B1BD夾角的余弦值為eq\f(12\r(2),25).(第3題答)4.(人A選必一P35T2(1)改)如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,已知AB=1,BC=2,AA1=3,則點(diǎn)B到直線A1C的距離為(B)(第4題)A.eq\f(2,7) B.eq\f(2\r(35),7)C.eq\f(\r(35),7) D.1【解析】由題意知A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),eq\o(A1C,\s\up6(→))=(1,2,-3),eq\o(BC,\s\up6(→))=(0,2,0),eq\o(A1C,\s\up6(→))方向上的單位向量為μ=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(14)),\f(2,\r(14)),-\f(3,\r(14)))),所以點(diǎn)B到直線A1C的距離為eq\r(|\o(BC,\s\up6(→))|2-(\o(BC,\s\up6(→))·μ)2)=eq\r(4-\f(8,7))=eq\f(2\r(35),7).5.(人A選必一P35T2(3)改)若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,O是A1C1的中點(diǎn),則點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為(B)A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),3)【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,1),Oeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2),0)),C1(0,1,0),eq\o(D1A,\s\up6(→))=(1,0,1),eq\o(AB,\s\up6(→))=(0,1,0),eq\o(OC1,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(1,2),0)).設(shè)平面ABC1D1的法向量為n=(x,y,z),則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(D1A,\s\up6(→))=x+z=0,,n·\o(AB,\s\up6(→))=y(tǒng)=0,))令x=1,得n=(1,0,-1)為平面ABC1D1的一個(gè)法向量,故點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離為d=eq\f(|n·\o(OC1,\s\up6(→))|,|n|)=eq\f(\f(1,2),\r(2))=eq\f(\r(2),4).(第5題答)聚焦知識(shí)1.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩條異面直線l1,l2的方向向量.l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))(0,π)求法cosθ=eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ=eq\f(a·b,|a||b|)2.直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,a與n的夾角為β,則sinθ=|cosβ|=eq\f(|a·n|,|a||n|).3.平面與平面的夾角的求法如圖,平面α與平面β相交,形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則cosθ=|cos〈n1,n2〉|=eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).4.點(diǎn)P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn),設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))=a,則向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))=(a·u)u,點(diǎn)P到直線l的距離為PQ=_eq

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