章節(jié)復(fù)習(xí)：平行四邊形（5個知識點(diǎn)+12大?？碱}型）解析版-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊（北師大版）

平行四邊形（5個知識點(diǎn)+12大?？碱}型）

9考點(diǎn)導(dǎo)航

目錄

【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】...........................................................3

【考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定多結(jié)論問題】..................................................8

【考點(diǎn)三利用平行四邊形的性質(zhì)求動點(diǎn)問題】....................................................16

【考點(diǎn)四平行四邊形中的折疊問題】............................................................21

【考點(diǎn)五判斷能否構(gòu)成平行四邊形】............................................................29

【考點(diǎn)六平行四邊形中的作圖】................................................................32

【考點(diǎn)七平行四邊形中的性質(zhì)和判定】..........................................................38

【考點(diǎn)八與三角形中位線有關(guān)的求解問題】.....................................................47

【考點(diǎn)九平行四邊形與中位線綜合問題】........................................................50

【考點(diǎn)十多邊形內(nèi)角和、外角和問題】..........................................................57

【考點(diǎn)十一多邊形中的對角線問題】............................................................59

【考點(diǎn)十二多邊形中的截角問題】..............................................................61

O知識清單

知識點(diǎn)01平行四邊形的定義

平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形.平行四邊形用“口”表示，平行四邊形N8CD表示為“口

ABCD”,讀作“平行四邊形/BCD”

知識點(diǎn)02平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)：邊、角、對角線，有時會涉及對稱性.如下圖，四邊形/BCD是平行四邊形：

性質(zhì)1（邊）：①對邊相等；②，即：AB=CD,AD=BC；AB//CD,AD//BC

性質(zhì)2（角）：對角相等，即：ZBAD=ZBCD,NABC=NADC

性質(zhì)3（對角線）：對角線相互平分，即：AO=OC,BO=OD

注：①平行四邊形僅對角線相互平分，對角線不相等，即

②平行四邊形對角相等，但對角線不平分角，即/D/OWNB/。.

性質(zhì)4（對稱性）：平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.

知識點(diǎn)03平行四邊形的判定定理

平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質(zhì)進(jìn)行，如下圖，有四邊形/BCD：

AD

Bc

（1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AB//DC.

（2）判定方法2（邊的性質(zhì)）：兩組對邊相等的四邊形，即AB=DC.

（3）判定方法3（邊的性質(zhì)）：一組對邊相等且平行的四邊形，即ND〃3C且/。=5C；AB〃DC且AB=DC.

（4）判定方法4（角的性質(zhì)）：兩組對角相等的四邊形，即N8ND=A8CD且乙48C=乙4DC.

（5）判定方法5（對角線的性質(zhì)）：兩組對角線相互平分的四邊形，即/O=C。且2。=。。

注：①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關(guān)的2個條件（相等、平行）；

②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形.若四邊形中，一對邊平行，另一對邊

相等，是無法判定為平行四邊形的.

知識點(diǎn)04三角形的中位線定理

（1）三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段稱為中位線（三角形中有3條中位線）

（2）三角形中位線定理：如下圖，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，即若點(diǎn)D、￡分

DEHBC

別為的中點(diǎn)，[.

DE=-BC

I2

知識點(diǎn)05多邊形的概念、內(nèi)角和、外角和

1.定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形.其中，各個角

相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.

2.相關(guān)概念：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個"邊形有〃個內(nèi)角.

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.

3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多

邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側(cè)，這個多邊形叫凹多邊形.如圖:

特別說明：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可;

⑵過n邊形的一個頂點(diǎn)可以引(〃-3)條對角線，"邊形對角線的條數(shù)為迎二義;

2

(3)過〃邊形的一個頂點(diǎn)的對角線可以把〃邊形分成(〃-2)個三角形.

4.多邊形內(nèi)角和：”邊形的內(nèi)角和為("-2)?180°(〃N3).

特別說明：(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；

(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于(〃—2)」80°；

n

5.多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

特別說明：(1)在一個多邊形的每個頂點(diǎn)處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和?〃邊形的外

角和恒等于360。，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；

(2)正力邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于幽；

n

(3)多邊形的外角和為360°的作用是:①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù);②已知多邊形邊數(shù)求各相等外

角的度數(shù).

Q典例變式

【考點(diǎn)一利用平行四邊形的性質(zhì)求解】

例題：(24-25八年級下,上海,期中)在口/5CD中，若乙4=3/8,則〃＞為度.

【答案】45

【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對角相等，對邊平行是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得4D〃BC,ZB=ZD,再結(jié)合N/=3乙8,可得到NB=45。，即可求解.

【詳解】解：???四邊形/融券是平行四邊形，

AD//BC,ZB=ZD,

4+4=180°,

???N4=3ZB,

.?.348+4=180°,

NB=45°,

Z￡>=45°.

故答案為：45

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級下?北京?期中）如圖，在口/BCD中，ZBAC=105°,ND=45。，AC=4,貝=

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、含30度角的直

角三角形

【分析】作3c于點(diǎn)￡,由平行四邊形的性質(zhì)得48=40=45。，由三角形內(nèi)角和定理得AC8=30。,

由含30。的直角三角形的性質(zhì)得3E=g/C=2,所以N￡=3E=2,最后由勾股定理求得的長度即可.

???ZBAC=105°,

/.ZACB=180°-ZB-ABAC=30°,

二.AE=-AC=2

2f

AE=BE=2,

AB=-JAE2+BE2=V22+22=2收，

故答案為：30,242.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識,

熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

2.（24-25八年級下?山東濟(jì)寧?期中）如圖，nABCD^,2C=2,點(diǎn)E在D4的延長線上，BE=25,若B4

平分NEBC,則。E=

cB

【答案】4.5

【知識點(diǎn)】根據(jù)等角對等邊證明邊相等、利用平行四邊形的性質(zhì)求解

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.由

平行四邊形的性質(zhì)可知，AD=BC=2,BC//AD,進(jìn)而得出/5/E=NEA4,再由等角對等邊的性質(zhì)，得

至ijBE=NE=2.5,即可求出?！甑拈L.

【詳解】解：在口/BCD中，BC=2,

:.AD=BC=2,BC//AD,

ZCBA=ZBAE,

■.■BA平分/EBC,

ZCBA=ZEBA,

ZBAE=NEBA,

BE=AE=2.5,

DE=AD+AE=2+2.5=4.5,

故答案為：4.5.

3.（24-25八年級下?黑龍江綏化?期中）在口45CE中，/￡是8C邊上的高，N8=10,4E=6,且

CE:AE=\:3,則口4BCE的面積為

【答案】36或60

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解

【分析】本題考查了勾股定理，以及平行四邊形的面積公式，解題的關(guān)鍵是分類討論.分析：分兩種情況

討論：①E在線段上，如圖1,②￡在的延長線上，如圖2.分別利用勾股定理解答即可.

【詳解】①當(dāng)￡在線段3C上時，如圖1,

圖1

vAB—10,AE=6,

-BE=YIAB2-AE2=8

EC_1

?石一§'

;.EC=LAE=2

3

BC=BE+CE=10,

:.口ABCE的面積=BC?NE=60；

②當(dāng)點(diǎn)￡在5c的延長線上時，如圖2,

■-BE=ylAB2-AE2=8

EC1

'AE-3'

；.EC=LAE=2

3

BC=BE-CE=6,

；.口ABCE的面積=BC-AE=36；

綜上所述：口NBC。的面積為36或60.

故答案為36或60.

4.（2025?江西九江?二模）在o4BCD中，/B=10,BC=4,/。=60。，點(diǎn)E在CD上，CE=4,點(diǎn)G在42

上，連接CG,尸是CG的中點(diǎn).若A瓦（是等腰三角形，則3G的長為.

【答案】6,10-2舊或2萬+2

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和（AAS）綜合（NSN或者N4V）、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、等腰三角形的

性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形

【分析】需分三種情況討論:①當(dāng)跖="時，連接EG,過點(diǎn)C作CF，他于點(diǎn)尸,根據(jù)已知得4GEC=90°,

結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求得4=60。，EC=GF,進(jìn)一步得8尸=；3C,CF=26,GF=CE=4,即可求

彳導(dǎo)BG=GF+FB；

②當(dāng)歹=&?=4時，過點(diǎn)尸作FN_LOC于點(diǎn)N,交48于點(diǎn)”，過點(diǎn)C作CD_L48于點(diǎn)X,貝U

GMGF

NM//CH,有——=——，同理可得，MN=2s/3,BH=2,再證明△GEVfgziCFN得GM=CN,進(jìn)一步求

GHCG

得NF=MF=；MN,GH=2GM,利用勾股定理求得EN和CN,則BG=GH+H8；

③當(dāng)EC=AC=4時，過點(diǎn)尸作網(wǎng)，。。于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)過點(diǎn)C作CD,"于點(diǎn)”，同理可得

BH=2,GH=2GM,GM=CN,求得CN,利用8G=G8+r即可.

【詳解】解：若A跖C是等腰三角形，需分三種情況討論.

①當(dāng)斯=尸。時，連接EG,過點(diǎn)。作CHL45于點(diǎn)如答圖1,

答圖1

,??萬是CG的中點(diǎn),

.?.EF=CF=GF

??.ZFEC=/FCE,ZFEG=/FGE,

???ZFEC+ZFCE+NFEG+ZFGE=180°,

.?.2ZFEC+2/FEG=180°,

/.ZG^C=90°,

ZEGF=ZGEC=ZCHG=90°

???四邊形CEG〃是矩形，

??.EC=GH

???在口/BCD中，ZD=60°,

/5=60。,

vBC=A,AB=10,CE=4,

：.BH=LBC=2,07=25GH=CE=4,

2

貝ijBG=G〃+/ra=4+2=6；

②當(dāng)牙=&?=4時，過點(diǎn)尸作廠NLOC于點(diǎn)N,交45于點(diǎn)過點(diǎn)。作CD,48于點(diǎn)71,如答圖2,

GMGF

,GH-CG?

同理可得，MN=2拒,BH=2,

???尸是CG的中點(diǎn)，

GF_GM

''CG~~GH~21

??.GH=2GM,

vZCNF=ZGMF=90°,ZGFM=ZCFN,CF=GF,

.-.△GW^ACTW(AAS),

GM=CN,NF=MF=LMN=/,

2

在中，W2=42-（V3）2,貝I」EN=JH,

:.CN=4-屈,

貝”6=6〃+煙=2（4-而）+2=10-2而；

③當(dāng)EC=R?=4時，過點(diǎn)尸作兩，DC于點(diǎn)N,交A8于點(diǎn)”，過點(diǎn)。作CD_L48于點(diǎn)X,如答圖3,

答圖3

同理可得8H=2,GH=2GM,GM=CN,CN2=42-（^,解得CN=而，

BG=GH+BH=2413+2.

故答案為：6,10-2萬或2而+2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和

性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟悉平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判

定和性質(zhì)，以及分類討論思想的應(yīng)用.

【考點(diǎn)二平行四邊形的性質(zhì)與判定多結(jié)論問題】

例題：（24-25九年級上?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，平行四邊形/BCD的對角線就＞交于點(diǎn)。，/E平分

/BAD交BC于點(diǎn)、E,且ZADC=60。，4B=；BC,連接OE.下列結(jié)論：①/C4D=30。；

；③。B=4B；其中成立的個數(shù)有（）

②S°ABCD=ABXAC@OE=|BC.

C.3個D.4個

【答案】B

【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、角平分線的有關(guān)計算

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證得A/BE是

等邊三角形以及OE是*BC的中位線是解答本題的關(guān)鍵.

由口/8CO中，ZADC=60°,易得A4BE是等邊三角形，又由=證得①/C4D=30。；繼而證得

AC1AB,得②邑4BS=Z8x/C；由=OB==BD以及BD>BC,可得NBwOB；可得OE是三

22

角形的中位線，證得④OE=2/8=!BC.

24

【詳解】解：???四邊形45CQ是平行四邊形，

ZABC=ZADC=60°,ABAD=120°,

???4E平分NB4D,

:.ZBAE=ZEAD=60°,

:.^ABE是等邊三角形，

AE=AB=BE,

???AB^-BC,

2

AE=-BC,

2

二.ZR4c=90。,

ZCAD=30°f故①正確；

'：ACLAB,

?e-S口ABCD=xAC,故②正確；

???AB^-BC,OB=-BD,

22

■：OB=-BD,

2

：.AB^OB,故③錯誤；

■.?ZCAD=30°,AAEB=60°,AD//BC,

ZEAC=ZACE=30°,

AE=CE,

BE—CE,

???OA=OCf

.-.OE^AB^BC,故④錯誤；

24

故選:B.

【變式訓(xùn)練】

1.（23-24八年級下?全國?單元測試）如圖，平行四邊形/5C。的對角線/C,AD相交于點(diǎn)0,ZE平分

ZBAD,分別交8C,BD于點(diǎn)、E,P,連接O￡,AADC=60°,AB=；BC=2,下列結(jié)論：

①/G4D=30。；②BD=2不；③%w=/"/C；@OE=^AD-,⑤%。其中正確的個數(shù)有

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30度角的直

角三角形

【分析】①先根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)得：/BAE=NBEA,則/8=8E=2,由有一個角是60度的等

腰三角形是等邊三角形得：是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：ZACE=30°,最

后由平行線的性質(zhì)可作判斷；

②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=；N3=1,OE〃陽,根據(jù)勾股定理計算。C,的長，即可求8。

的長；

③因?yàn)?B/C=90。，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；

④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷；

⑤由三角形中線的性質(zhì)可得：SABOE=SAEOC=；OE.OC=*.

【詳解】解：①???/E平分NR4。，

NBAE=ZDAE,

四邊形45c。是平行四邊形，

/.AD//BC,/ABC=ZADC=60°,

."DAE=/BEA,

/BAE=/BEA,

AB=BE=2,

s.^ABE是等邊三角形，

AE=BE=2,

/.BC=2AB=4,

EC=2,

/.AE=EC,

/./EAC=ZACE,

ZAEB=ZEAC+ZACE=60°,

.\ZACE=30°,

???AD\\BCf

ZCAD=ZACE=30°,

故①正確；

②???四邊形ABCD是平行四邊形，

..OA=OC,OB=OD

BE=EC,

石=，5=1,OE〃陽,

2

NEOC=ABAC=600+30°=90°,

RtAEOC中，OC=^EC2-OE2=73，

???四邊形NBC。是平行四邊形，

■.AB//CD

ZACD=ZBAC=9Q°,

RtAOCD中，OD=yjoC2+CD2=5

BD=2OD=277

故②正確

③由②知：ZBAC=9Q°,

??S口ABCD="B-AC,

故③正確；

④由②知：OE是△A8C的中位線，

:.OE^-AB,

2

---AB=-BC=-AD,

22

:.OE=-BC=-AD,

44

故④正確；

⑤；BE=EC=2

1

'''SABOE=SAEOC=5OE,OC=

故⑤錯誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理，三角

形面積和平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵,

并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系

2.（23-24八年級下?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，E是口4BCD內(nèi)一點(diǎn)、,EDLCD,EB1BC,

ZAED=135°,連接EC,AC,BD,下列結(jié)論：?ZADE=ZABE；②ABCE為等腰直角三角形；③

DE+AB^42BD-@AE2+AB2=AC2,其中正確的個數(shù)有（）

【答案】C

【知識點(diǎn)】全等的性質(zhì)和N"（AAS）綜合（/”或者A4S）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平行四邊形

的性質(zhì)證明、用勾股定理解三角形

【分析】①延長交于點(diǎn)尸，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和即可得到//￡>￡=N/8E；②先證

明9取得4D=BE,又有AD=BC,可得BE=BC,即可得到ABCE為等腰直角三角形；③

過點(diǎn)8作3G_L3。交。C延長線于點(diǎn)G,證明ABAEGABCG,再根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì),

可得DE+AB=6BD成立;④過點(diǎn)c作于根據(jù)勾股定理即可證明

（/yV</yY

AC1=AH2+CH-=AB+—AE+AB-—AE=2AB2+AE2,可知結(jié)論不成立.

\27k27

【詳解】解：①延長QE交45于點(diǎn)/，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

ZADC=/ABC,

vEDVCD,EB工BC,

/EDC=/EBC=90°,

???/ADE=/ABE,

故①正確;

??.ZEAF=ZAEF=45°,

??.AF=EF,

.—ADF%EBF〈AA0,

?**AD=BE,

???AD=BC,

???BE—BC,

???/EBC=90。

.?.△BCE為等腰直角三角形，

故②正確；

???AADF"AEBF,

DF=BF,則ABDF為等腰直角三角形，

NBDE=45°,

過點(diǎn)8作2G，交DC延長線于點(diǎn)G,則NDBE=NGBC,

■:ZBCD+ABED=180°,/BCD+ZBCG=180°,

ABED=ZBCG,

BE=BC,

.?.△BDEABCG(ASA),

.■.CG=DE,BD=BG,ZBDE=ZBGC=45°,貝。A3￡>G為等腰直角三角形,

：.DG=DC+CG=AB+DE,

由等腰直角三角形可知，DG=yjBD2+BG2=垃BD，

???AB+DE=DG=6BD，

故③正確；

由勾股定理可知，AE27AP+EF2=?AF，貝1JAF=1-/￡，

過點(diǎn)C作于a,則C//=D廠，

CD=BC,

；.AADF%BCH(HL),

AAF=BH,

^\CH=DF=BF=AB—*~AE,BH=AF=EF=—AE,

22

AC2=AH2+CH2=AB+—AE+AB--AE=2AB1+AE2

<27k27

故④不正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等

知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形.

3.（23-24九年級上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，口/BCD中，對角線/C、8。相交于點(diǎn)。，/￡平分

NBAD,分別交8C、BD于點(diǎn)、E、P,連接O￡,ZADC=60°,AB=^BC=2,則下列結(jié)論:

①/C/D=30。；②③BD=2g；?S^BEP=S^APO.其中正確的個數(shù)是（）

/.4個8.3個C.2個D.1個

【答案】A

【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、角平分線的有關(guān)計算、用勾股定理解

三角形

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得4043=120。，又因?yàn)镹E平分/以。，則可得

ZBAE=NDAE=60°=NABE,即“BE為等邊三角形，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)即可判斷

①；根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可判斷③；AO=CO,BE=CE,則OE為三角形/2C的中位

線，利用中位線的性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)即可判斷②；與ABOE為同底等高的三角形，根據(jù)面積關(guān)

系即可判斷④.

【詳解】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

ZABC=ZADC=60°,AD//BC,AO=CO,

ZDAB=120°,

又「AE平分NBAD,

ZBAE=ZDAE=60°=/ABE,

??.為等邊三角形，

:.AB=AE=BE,

又「AB=-BC=2,

2

?.AB=BE=AE=2,BC=4,

EC=2=AE=BE,

,/AAEC=/BAE+/ABE=120°,

:"EAC=/BCA=3。。,

，ACAD=/BCA=30°,

故①正確；

???ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,

AC=ylBC2-AB2=V16-4=2c，

…AO—y/3，BO=VAB2+AO2=J4+3=V7，

：.BD=2BO=2手,

故③正確；

vAO=CO,BE=CE,

，OE為三角形45C的中位線，

OE//AB,AB=2OE,

，OE=1,

又丁BC=4,

OE^-BC=-AD,故②正確；

44

△ZOE與△BOE為同底等高的三角形，

-S/UOE=S&BOE

?S_s

…Q&AOEu^POE-_uc&BOE_◎c&POE，

S4BEP=S^APO，故④）正確，

綜上，正確的有①②③④.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形性質(zhì)

和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，巧妙運(yùn)用相關(guān)知識判斷.

4.（24-25八年級下?吉林?期中）如圖，點(diǎn)。是口A8CD的對角線的交點(diǎn)，ZABC=120°,//DC的平分線。E

交48于點(diǎn)E,DE與AC交于點(diǎn)F,AB=2AD,連接OE.下列結(jié)論：?SaASCD=AD-BD.②DB平分

NCDE；③40=DE；④0E:BD=G.6,其中正確的有.

【答案】①②④

【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定和性質(zhì)、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、用勾股定理解三角形

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理等,

解題的關(guān)鍵是平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用.本題綜合運(yùn)用這些性質(zhì)定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：在。ABCD^P,

■：ABAD=ABCD=60°,N/OC=120°,DE平分NADC,

：.NADE=ZDAE=ZAED=60°,

??.△NAE是等邊三角形，

.-.AD^AE^-AB,

2

??.E是4B的中點(diǎn)，

?*-DE=BE,

NBDE=-NAED=30。，

2

ZADB=90°,即4D_L8。，

???S口ABCD=AD-BD,故①正確；

ACDE=60°,ZBDE=30°,

ZCDB=ZCDE-NBDE=60°-30°=30°,

ZCDB=NBDE,

故DB平分NCDE,故②正確；

依據(jù)Rt^AOD中，AO>AD,

即可得到故③錯誤；

???O是8。中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)、,

是的中位線，

.-.OE=-AD,OE//AD,

2

在RtAABD中，BD=dAB?-AD?=^（2AD）2-AD2=&D,

???BD=143OE,

■■OE:BD=y/3:6,故④正確；

綜上，①②④正確.

故答案為：①②④.

【考點(diǎn)三利用平行四邊形的性質(zhì)求動點(diǎn)問題】

例題：（2025八年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，在四邊形4BCD中，AD//BC,且4D<8C,SC=6cm,動

點(diǎn)尸，0分別從點(diǎn)。，8同時出發(fā)，點(diǎn)P以lcm/s的速度向點(diǎn)/方向運(yùn)動，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)

動，幾秒后四邊形。。尸。是平行四邊形（）

【答案】B

【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、幾何問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】此題主要考查的是平行四邊形的判定，正確掌握平行四邊形的判定方法是解題關(guān)鍵.由運(yùn)動時間

為f秒，則4尸=/,QC=2t,而四邊形8尸0是平行四邊形，所以。尸=C。，則得方程7=6-2/求解.

【詳解】解：設(shè)/秒后，四邊形CD尸。為平行四邊形，

則DP=/cm,QC=（6-2。cm,

：AD//BC

.-.DP//CQ,

根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

知：。尸=C。即可，

即：7=6—2/,

■'.t=2,

當(dāng)f=2時，DP-CQ-2cm,

綜上所述，2秒后四邊形CDP。是平行四邊形，

故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.（24-25八年級下,江蘇南通?期中）如圖1,在口48。中，動點(diǎn)P從點(diǎn)3出發(fā)，沿折線BCfCDfD3運(yùn)

動，設(shè)點(diǎn)尸經(jīng)過的路程為x,A/AP的面積為“把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則圖2中的a

【答案】B

【知識點(diǎn)】動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形

【分析】本題考查的是動點(diǎn)圖象問題，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚

不同時間段，圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解.由圖2知，BC=8,CD=10,BD=6,可知BD_LBC,

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)尸在CD上時，SAABP=a=30口ABCD，即可求解.

【詳解】解：由圖2知，5C=8,CD=18-8=10,52）=24-18=6,

貝"叱+5=3,

BDLBC,

由圖可知，當(dāng)點(diǎn)尸在CD上時，^=?=15^CO=1SZ）.3C=1X6X8=24,

故選:B.

2.（2024?河南周口?三模）如圖1,四邊形/BCD是平行四邊形，連接BO,動點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)沿折線

A8-N勻速運(yùn)動，回到點(diǎn)工后停止.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,線段/尸的長為外圖2是了與x的

函數(shù)關(guān)系的大致圖象，下列結(jié)論中不正確的是（）

圖1圖2

A.5D=10B.AD=U

C.平行四邊形ABC。的周長為44D.當(dāng)x=15時，的面積為20

【答案】D

【知識點(diǎn)】動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解

【分析】本題考查了動點(diǎn)函數(shù)圖象、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確從圖象中獲取信息,

應(yīng)用相關(guān)知識求解即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B處時，x=10,即/8=10,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)。處時，x=20,所以

52）=20-10=10,故/正確，不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)。處時，＞=12,即40=12,故2正確，不符合題意；

???平行四邊形/3CD的周長為2（10+12）=44,故C正確，不符合題意；

當(dāng)x=15時，點(diǎn)P在AD中點(diǎn)處，如圖，

此時尸的面積是A/皿面積的一半，

悍BH，AD,

AB=BD=10,

AH=DH=6,

???BH=siAB2-AH2=8，

■-■^=1xl2x8=48,

.?.△4PD的面積為gx48=24,故。錯誤，符合題意.

故選：D.

3.（24-25八年級上?山東東營?期末）如圖，在口4BCD中，ZABC=45。,BC=4,點(diǎn)尸是CD上一個動點(diǎn),

以工4,為鄰邊作另一個口/E5廠，當(dāng)尸點(diǎn)由。點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動時，下面給出四個結(jié)論：

①口4EAF的面積先由小變大，再由大變小;

②口AEBF的面積始終不變；

③線段跖的最小值為4后；

（3）SC=3S°ABCD-

其中說法正確的選項(xiàng)是（）

A.①③B.①④

C.①③④D.②③④

【答案】D

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平行四邊形的性質(zhì)求解

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CG，AB于點(diǎn)G,

■.-ZABC=45°,BC=4,

ZGCB=45°,

BG=CG,

■-BG2+CG2=16,

■CG=2A/2，

???當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時，F(xiàn)G=CG=2V2)

vnAEBF,

???線段￡尸的最小值為4VI;

故③正確；

-uABCD,

SAEB=LAB?CG,SABCD=AB?CG,

7

^ALD2aADCU

.C—J_V

,,JAEB-2uABCD'

故④正確；

?.?4民CG都是定值，

**?S.AEB=]S口ABCD是定值，

S.AEB=3s3AEBF是正值，

故①錯誤，②正確，

故選：D.

4.（23-24八年級下?河南南陽?期末）如圖（1）,在048co中，AB=2,ZA=60°,動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿

直線運(yùn)動至點(diǎn)E,再從點(diǎn)E沿直線運(yùn)動至點(diǎn)B.設(shè)點(diǎn)廠運(yùn)動的路程為x,AE8C的面積為了，圖（2）是點(diǎn)尸

【答案】A

【知識點(diǎn)】動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三

角形

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，先確定點(diǎn)E的位置，推出A/BE為等邊三角形，過點(diǎn)、E作EH,BC,根據(jù)含30度

角的直角三角形的性質(zhì)，求出明的長，再根據(jù)5班0=述，求出8C的長即可.

【詳解】???在口4HCD中，AB=2,ZA=60°,

AD〃BC,

/.Z^C=180o-Z^=120°,

由圖象可知，當(dāng)0WxW2時，△qC的面積不變?yōu)槿危?/p>

2

???點(diǎn)E在線段4D上，且NE=2,

連接過點(diǎn)、E作EHJ.BC,則：s=-BC-EH,

ABCLE22

vAE=AB=2,ZA=60°f

??.△ABE為等邊三角形,

；.BE=AE=2,NABE=60。,

??.ZEBC=/ABC-/ABE=60°,

ZBEH=90°-/EBH=30°,

2

EH=A/22-12=V3，

圖⑴

故選4

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)的函數(shù)圖象問題，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)￡的位置.

【考點(diǎn)四平行四邊形中的折疊問題】

例題：（24-25八年級上?山東威海?期末）如圖，在平行四邊形A8C3中，點(diǎn)、E,廠分別為邊48,CD的中點(diǎn),

將平行四邊形/BCD沿著所折疊，點(diǎn)8,C分別落在9，C'處，若NCND=66。,則NN的度數(shù)

為.

【答案】57°

【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、折疊問題

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得=AB\\CD,得至=根據(jù)點(diǎn)￡,尸分別是N5,CD的

中點(diǎn)，可得。歹=尸。，由折疊可得，CF=CR,根據(jù)等邊對等角，則NCD尸=NDCR,根據(jù)三角形的內(nèi)角

和，即可.

【詳解】解：???四邊形Z3C。是平行四邊形，

AB=CD,AB\\CD,

NA=4CDF,

???點(diǎn)E,廠分別是AS,的中點(diǎn)，

DF=FC,

由折疊可得：CF=C'F,

:.CF=C'F=DF,

ZC'DF=ZDC'F,

???ZC'FD=66°,

ZC'FD+ZC'DF+ZDC'F=66°+2ZCDF=180°,

ZC'DF=57°,

NA=57°.

故答案為：57°.

【變式訓(xùn)練】

1.（2024?河南?模擬預(yù)測）在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)￡為邊的中點(diǎn)，將2月沿DE折疊，使點(diǎn)A落在

點(diǎn)尸處，把紙片展平，延長。尸與射線8c交于點(diǎn)G.若AD=2,CG=1,則線段DG=—.

【答案】3或5

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、折疊問題、利用平行四邊形的性質(zhì)求解

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)；①當(dāng)G在邊8C上，連

接3尸，由平行四邊形的性質(zhì)得8C=AD=2,AD//BC,由折疊性質(zhì)得DF=AD=2,AE=EF,

/A=/DFE,由等腰三角形的判定及性質(zhì)得ZEFB=ZEBF,即可求解；②當(dāng)G在邊BC延長線上，同理

可求解；掌握相關(guān)的性質(zhì)，能根據(jù)點(diǎn)G的不同位置進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)G在邊BC上，

連接5廠，

四邊形Z8C。是平行四邊形,

/.BC=AD=2,

AD//BC,

BG=BC-GC

=2—1=1,

ZA+ZABC=1SO°f

由折疊得：DF=AD=2,

AE=EF,

ZA=ZDFE,

???/DFE+/EFG=180。,

/.ZEFG=/ABC,

???E是/B的中點(diǎn)，

AE=BEf

EF=BE,

:.ZEFB=AEBF,

ZEFG-ZEFB=/ABC-AEBF,

ZGFB=ZGBF,

GF=BG=\,

DG=DF+GF

=2+1=3.

②如圖，當(dāng)G在邊BC延長線上，

GF=BG=5,

DG=DF+GF

=2+3=5；

綜上所述：DG的長為3或5.

2.（23-24八年級下洞南洛陽?期中）如圖，在口N8CO中，AB=4也,8c=10,乙4=45。，點(diǎn)E是邊4D

上一動點(diǎn)，將A4ES沿直線8E折疊，得到AFEB,設(shè)與4。交于點(diǎn)M,當(dāng)8尸與口N5CD的一邊垂直時,

DM的長為.

【答案】2或6

【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、等腰三角形的性質(zhì)和判定

【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的性質(zhì)及折疊的特點(diǎn).分

和8尸1兩種情況，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)BF_LAD時，

圖1

ZAMB=90°,

?.?將“EB沿BE翻折，得至！JAFEB,

ZA=ZF=45°,

NABM=45°,

???AB=472，

AM=BM=4^2x=4,

2

???平行四邊形/BCD,8。=/。=10,

：.DM=AD-AM=\Q-4=6-,

如圖2,當(dāng)時，

圖2

???將"AEB沿BE翻折，得到AFEB,

NA=NEFB=45°,

；.ZABF=90。,此時尸與點(diǎn)M重合，

AB=BF=4亞,

AF=4-\/2xy[2=8，

二。河=10-8=2.

綜合以上可得DW的長為2或6.

故答案為：2或6.

3.（24-25八年級上?山東威海,期末）綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們開展了口N3CD的折紙活動，E是BC邊

上的一動點(diǎn)，廠是4。邊上的一動點(diǎn)，將口ABCD沿直線所折疊，使點(diǎn)。落在邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)。的

對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N,連接CM.

圖1圖2

⑴【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1,若/D=60。，ME1AB,BE=2,貝l」￡C=,ZNFA=

⑵【操作探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)N落在24的延長線上時，求證：四邊形瓦M(jìn)VF為平行四邊形.

【答案】⑴6，30°

⑵見解析

【知識點(diǎn)】利用平行四邊形的性質(zhì)求解、折疊問題、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得=由折疊知

EC=EM=也,由折疊的性質(zhì)可得NF￡C=NFW=75。，再由平行四邊形的性質(zhì)求得

ZDFE=180°-ZFEC=105°,據(jù)此即可求解.

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)先證建〃NF,再證=即可證明四邊形EMVF為平行四邊形.

【詳解】（1）解：-.-aABCD,NO=60。，

ZB=ZD=60°,

■.■MELAB,

ZBEM=30°,

BE=2,

BM=；BE=\,EM=V22-l2=V3>

由折疊知EC=EM=7L

由折疊知ZFEC=NFEM=1（180°-NBEM）=75°,

-uABCD,

:.AD〃BC,

ADFE=180°-ZFEC=105°,

由折疊知4NFE=ZDFE=105°,

ZA7^=ZA7^+Z￡>7^-180o=2xl05°-180o=30°,

故答案為：百，30°；

（2）證明：由折疊知NCE7=NME廣，ZEFD=AEFN,ZN=ZD.

AD//BC,

:./CEF+/EFD=\8。。,

/MEF+/EFN=180°,

：.ME//NF,

ZBME=ZN,

-uABCD,

???/B=4D,AD=BC,

/BME=/B,

:.BE=ME=CE,

ME=-BC,

2

?.?4D〃8C,點(diǎn)N在8/延長線上，

ZB=ZNAF=ZN,

AF=NF=DF,

：.NF=-AD.

2

■：AD=BC,

:.ME=NF,

■.四邊形現(xiàn)WF是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形折疊問題，直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾

股定理.熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定和折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2024八年級下?全國,專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，王老師以“發(fā)現(xiàn)一探究一應(yīng)用”的形式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維.以下是王

老師的課堂主題展示：

【問題情境】在平行四邊形/BCD中，AB=6AD=2,Z^C=a（0°<a<180°）,￡是/。的中點(diǎn)，連

接CE,將ACOE沿CE折疊得到△口?￡（點(diǎn)尸不與點(diǎn)N重合），作直線“尸交8c于點(diǎn)P.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖1,若a=90。，則線段/P與CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是.

【類比探究】

(2)在0的值發(fā)生變化的過程中，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若

不成立，請說明理由.

【拓展應(yīng)用】

(3)當(dāng)乙4M=90。時，請直接寫出線段CE的長.

圖1圖2

【答案