中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)拓展訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)與圓綜合（原卷版+解析）

專題35銳角三角函數(shù)與圓綜合（原卷版）

第一部分要用如析+針對別練

類型一利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形

典例1（2022?三水區(qū)一模）如圖，已知Rt^ABC中，ZBAC=90°,BC=6,AC=4y[2,以A為圓心，AB

為半徑畫圓，與邊8C交于另一點。.

（1）求8。的長；

（2）連接4。，求NZMC的余弦值.

針對訓(xùn)練

秋?湖州期末）如圖，在中,ZACB=90°,AC=4,tanA=[.以點C為圓心，C8長為

1.（2021RtzMBC4

半徑的圓交A3于點。，則A0的長是（

3

C.D.2

2

2.（2022秋?鄲州區(qū)期末）如圖，。。是△ABC的外接圓，點。在8C延長線上，且滿足NCA0=NB.

（1）求證：AO是。0的切線；

（2）若AC是NBA。的平分線，sinB=*5C=4,求。。的半徑.

B

CD

類型二利用直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形

典例2（2022?通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，以為直徑

針對訓(xùn)練

1.（2021?東海縣模擬）如圖，某廣場上有一塊半徑125米的圓形綠化空地。。，城市管理部門規(guī)劃在這塊

空地邊緣順次選擇四點：A,B,C,D,建成一個從4-2-。-。-4的四邊形循環(huán)健身步道（步道寬度

忽略不計）.若NA=90°,N2=53.2°,AB=200米.

（1）求步道AD的長；

（2）求步道圍成的四邊形的面積.（參考數(shù)據(jù)：sin53.2°仁0.80,cos53.2°20.60）

類型三利用圓周角定理把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中

典例3(2021春?中原區(qū)校級月考)如圖，。是△42C的3c邊上一點，連接A。，作的外接圓，將

△AZJC沿直線AD折疊，點C的對應(yīng)點E落在圓。上.

(1)求證：AE=ABi

(2)填空：

①當/CAO=。時，四邊形。是菱形.

②當/CAB=90°,cosNADB=芯,BE=2時,BC=.

c

針對訓(xùn)練

1.(2019?臨河區(qū)一模)如圖，已知45是。。的直徑，點C,。在。。上，且AB=6,8c=3,貝I]tan/ADC

的值為—.

C

2.(2019春?西陵區(qū)期中)如圖，已知AD是。。的直徑，弦20=弦BC,經(jīng)過點2作。。的切線交的

延長線于點E.

(1)求證：ZEBD=ZCAB；

(2)若8C=g,AC=5,求sin/CBA.

類型四利用切線與相關(guān)半徑的關(guān)系構(gòu)造直角三角形

典例4(2022?通遼)如圖，在RtZXAOB中，ZAOB=90°,以。為圓心，的長為半徑的圓交邊于

點Z),點C在邊。4上且CZ)=AC,延長CO交02的延長線于點E

(1)求證：C。是圓的切線；

(2)已知sinNOCQ=V，AB=4A/5,求AC長度及陰影部分面積.

針對訓(xùn)練

1.(2019?東河區(qū)二模)如圖，在△ABC中，AB=AC,以AC邊為直徑作。。交5C于點。，過點。作。0

的切線，交A3于點E,交AC的延長線于點尸；若半徑為3,且sinNCH)=|,則線段AE的長是()

2422

B.5D.

5

第二部分專題程憂別綜

1.(2022?東城區(qū)二模)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A,B,。在格點上，以A8為直徑的圓過C,

D兩點，則sinZBCD的值為.

2.(2022?青白江區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，已知RtZsABC可運動(平移或旋轉(zhuǎn))，且/C

=90°,BC=V5+4,tanA=1,若以點M(3,6)為圓心，2為半徑的OM始終在△ABC的內(nèi)部，則4

ABC的頂點C到原點0的距離的最小值為.

3.(2020秋?上虞區(qū)期末)如圖，A8是。。的直徑，A8=4,P是延長線上一點，且8P=1,過點P作

一直線，分別交O。于C,。兩點，已知/尸=30°.

(1)求CD與PC的長；

(2)連接BC,AD,求圓內(nèi)接四邊形A8CD的面積.

4.(2022秋?思明區(qū)校級期中)如圖，A8與。。相切于點B,AO交于點C,A0的延長線交。0于點D,

E是前5上不與B,。重合的點，NA=30°.

(1)求即的大??；

(2)若點尸在A3的延長線上，且求證：。尸與。。相切.

5.(2020秋?平邑縣期末)如圖，已知A8是。。的直徑，點P在54的延長線上，尸。切。。于點。，過點

B作BELPD,交PD的延長線于點C,連接AD并延長，交BE于點E.

(1)求證：AB=BE；

(2)如果戶口=2百，ZABC=60°,求的長.

6.(2022?松陽縣二模)如圖，已知以AB為直徑的半圓，圓心為。，弦AC平分N8AD,點。在半圓上,

過點C作CELAD,垂足為點E,交42的延長線于點?

(1)求證：EF與半圓。相切于點C.

(2)若AO=3,BF=2,求tan/ACE的值.

7.(2022?石家莊模擬)古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯認為:“一切平面圖形中最美的是圓”，它的完美來自對稱.其

中切弦^chordofcontact')亦稱切點弦，是一條特殊弦，從圓外一點向圓引兩條切線，連接這兩個切點的

弦稱為切弦.此時，圓心與已知點的連線垂直平分切弦.

(1)為了說明切弦性質(zhì)的正確性，需要對其進行證明.如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補

充完整，并寫出“證明”過程.

己知：如圖1,尸是OO外一點，.

求證：.

(2)如圖2,在(1)的條件下，。是。。的直徑，連接A。，BC,若/4Z)C=50°,/BCD=70°,

0c=2,求。尸的長.

專題35銳角三角函數(shù)與圓綜合(解析版)

第一部分翼用加析+針對別綜

類型一利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形

典例1(2022?三水區(qū)一模)如圖，已知RtAABC中，ZBAC=9Q°,BC=6,AC=4y/2,

以A為圓心，AB為半徑畫圓，與邊2C交于另一點。.

(1)求8。的長；

(2)連接AD,求NZMC的余弦值.

思路引領(lǐng)：(1)過點A作小于X,利用面積法求出AH,再利用勾股定理求出由/,

由垂徑定理即可解決問題；

(2)過點。作。A/_LAC于M,利用面積法求出。M,再由勾股定理求出AM即可解決

問題.

解：(1)過點A作于H,如圖1所示：

VRtAABC,ZBAC=90°,BC=6,AC=A心

：.AB=<BC2-AC2=Ie2-(4V2)2=2,

11

"：-AB'AC=^BC'AH,

22

.AB-AC2X4/4萬

,?AH=-^=~^=q72,

：.BH=7AB2-AH?=J22-(1V2)2=I，

:AHLBD,

2

:.BH=HD=勺,

4

：.BD=I；

(2)過點。作0M_LAC于M,如圖2所示：

由(1)得:AH=1V2,BD=q,AB=2,

414

：.AD=AB=2,CD=BC-BD=6-^=

7/29

11

*：-AH*CD=汕1?AC,

22

.八”AH,CDg夜x竽14

?皿=^^=,=可,

在RtZ\AOM中，由勾股定理得：AM=AD2-DM2=J22-(^)2=|V2,

4M^A/2^4/-

/.cosZDAC=—々-=gV2.

/—qcB------D

圖i圖2

總結(jié)提升：本題考查了勾股定理、解直角三角形、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

利用面積法解決問題，屬于中考?？碱}型.

針對訓(xùn)練

■3

1.（2021秋?湖州期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,tanA=7.以點C

為圓心，C8長為半徑的圓交AB于點。，則的長是（）

思路引領(lǐng)：根據(jù)已知易求3C,AB的長，進而可以求出直角三角形斜邊上的高，所以想

到過點C作CELA8,垂足為E,利用等面積法求出CE,然后放在Rt^BCE中，利用勾

股定理求出8E,再利用垂徑定理求出8。，最后求出即可.

解：過點C作CELAB,垂足為E,

在RtZXABC中，ZACB=90a,AC=4,tanA=

BC3

AC~4’

：.BC=3,,

.,.AB=y/AC2+BC2=V32+42=5,

8/29

AABC的面積=|AB-CE=|AC-BC,

A5CE=12,

12

：

.CE=號'

在RtABCE中，BE=y/BC2-CE2=J32-(^)2=1,

?：CE_LBD,

:?BD=2BE=拳

do7

：.AD=AB-BD=5-等=$

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件添加輔助線是解

題的關(guān)鍵.

2.（2022秋嘟州區(qū)期末）如圖，。。是△ABC的外接圓，點。在BC延長線上，且滿足/

CAD=/B.

（1）求證：AD是。。的切線；

（2）若AC是NA4。的平分線，sinB=S，BC=4,求。。的半徑.

思路引領(lǐng)：（1）連接。4,0C與AB相交于點E,如圖，由0A=0C,可得/OAC=/

1

OCA,根據(jù)圓周角定理可得NB=2乙4。（?，由已知/CAD=/B,可得/AOC=2/CA。，

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NOC4+NC4O+NAOC=180°,等量代換可得NC40+N

CAD=90°,即可得出答案；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得NBAC=NZMC,由已知可得NA4C=NB,根據(jù)垂徑定

理可得，0C_L4B,BE=AE,在RtZXBEC中，根據(jù)正弦定理可得sinB=蓋=竿=|,

即可算出CE的長度，根據(jù)勾股定理可算出BE=VBC2-CC2的長度,設(shè)o。的半徑為

則CE=0C-CEf-號,在RtzXAOE中，0A2=OE^+AE1,代入計算即可得出答案.

證明：（1）連接OA,0c與AB相交于點E,如圖，

；0A=0C,

：.ZOAC=ZOCA,

9/29

'：AC=AC,

1

**?Z-B=2/-AOC,

'：ZCAD=ZB,

：.ZA0C^2ZCAD,

VZOCA+ZCAO+ZAOC=1SO°,

：.2ZCAO+2ZCAD=1SO°,

：.ZCAO+ZCAD=90°,

：.ZOAD=90°,

TOA是。。的半徑，

???AO是。。的切線；

解：（2）;AC是NA4O的平分線,

???ZBAC=ZDAC,

'：ZCAD=ZB.

：.NBAC=NB,

：.OC±ABfBE=AE,

在Rtz^BEC中，

VBC=4,

CE_CE_3

/.sinB=BC=T=5,

12

：.CE=

：.BE=VBC2-CE2=吩-（第2=學(xué)，

17

設(shè)。。的半徑為r,則CE=OC-CE=r-^,

在RtAAOE中,

OA2=（9E2+AE2,

尸=”32+（卻,

解得：仁?

總結(jié)提升：本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，垂徑定理及解直角三角形，熟練掌握切

10/29

線的性質(zhì)與判定，垂徑定理及解直角三角形的方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

類型二利用直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形

典例2（2022?通遼）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上,

以A8為直徑的圓經(jīng)過點C,D,貝！Jcos/AOC的值為（）

思路引領(lǐng)：由格點構(gòu)造直角三角形，由直角三角形的邊角關(guān)系以及圓周角定理可得答案.

解：為直徑，

...NACB=90°,

又?..點A,B,C都在格點上，

ZADC=ZABC,

在RtzXABC中，

八0BC33聞

cosZABC=i=]3=cosNzADC,

^32+22

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系，掌握圓周角定理以及直角三

角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

針對訓(xùn)練

1.（2021?東海縣模擬）如圖，某廣場上有一塊半徑125米的圓形綠化空地O。，城市管理

部門規(guī)劃在這塊空地邊緣順次選擇四點：A,B,C,D,建成一個從4-3-。-。-4的

四邊形循環(huán)健身步道（步道寬度忽略不計）.若/A=90°,ZB=53.2°,A8=200米.

（1）求步道的長；

（2）求步道圍成的四邊形A8CD的面積.（參考數(shù)據(jù)：sin53.2°^0.80,cos53.2°-0.60）

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)90。的圓周角所對的弦是直徑可得是。。的直徑，根據(jù)勾股定

理即可求解；

（2）過點A作AELBC于點E,過點D作DF±AE于點F,解直角三角形求出AE、BE、

AF,。尸的長，證出四邊形是矩形，即可求得四邊形ABC。的面積.

解：（1）連接8。，

11/29

VZA=90°,

是（DO的直徑，

.*.80=125X2=250（米）,

：A3=200米，

：.AD=7BD2-AB2=V2502-2002=150（米），

答：步道AO的長是150米；

（2）過點A作AELBC于點過點。作于點R

在RtZVIBE中，ZB=53.2°,AB=200米，

sin53.2°-200X0.80=160（米），

BE=AB'cos53.2°-200X0.60=120（米），

?.*NBAE+NABE=ZBAE+ZDAF^90°,

：.ZDAF=ZABE=53.2°,

在RtZ\A。尸中，。尸=AO-sin53.2°^150X0.80=120（米），

：.AF=90（米），

：.EF=AE-AF=10（米），

'：AE.LBC,DF±AE,ZBCD=9Q°,

四邊形CDFE是矩形，

1i

四邊形ABC￡>的面積為：一X120X160+120X70+^x120X90=23400（平方米）.

22

答：步道圍成的四邊形ABC。的面積是23400平方米.

總結(jié)提升：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，以及圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，

關(guān)鍵是掌握半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.

類型三利用圓周角定理把角轉(zhuǎn)化到直角三角形中

典例3（2021春?中原區(qū)校級月考）如圖，。是△ABC的BC邊上一點，連接A。，作△A3。

的外接圓，將△ADC沿直線AO折疊，點C的對應(yīng)點E落在圓。上.

12/29

(1)求證：AE=AB；

(2)填空：

①當NCAO=0時，四邊形O8EQ是菱形.

1

②當/C48=90°,cosZADB=BE=2時，BC=

思路引領(lǐng)：(1)利用折疊的性質(zhì)得出AC^AE,NC=/AED,再判斷出NC=/A8C,

得出AB=AC,即可得出結(jié)論；

(2)①先判斷出△AO。是等邊三角形，得出/A00=60°,進而求出/AOE=120°,

再求出NC=NABC=ND4C=30°；

②先求出EP=1,再判斷出利用銳角三角函數(shù)求出AE,進而求出A8,

即可得出結(jié)論.

(1)證明：由折疊知，AC^AE,NC=NAED,

:ZABC=ZAED,

：.ZC=ZABC,

：.AB=AC,

：.AE=AB；

(2)解：①如圖,

:四邊形AOED是菱形,

J.DE^OA^AD,

連接0D

：.OA=OD,

.'.AD=OA=OD,

...△AO。是等邊三角形,

13/29

AZADO=60°,

同理：ZOZ）E=60°,

JZADE=ZADO+ZODE=120°,

由折疊知，CD=DE,ZADC=ZADE,

：.ZADC=nO°,

*：AD=DE,

:?CD=AD,

：.ZCAD=ZC=^（180°-NA。。）=30°,

故答案為：30°.

②如圖，過點人作人凡L5石于R

C

1

：.EF=^BE=\,

1

,?ZADB=/AEB,cosZADB=芯,

1

cosXAEB=可,

在RtZXAFE中，cosZAEB==

，AE=3E/=3,

由（1）知，AE=AB,

'.AB—3,

由（1）知，AB=AC,

???NG45=90°,

：.BC=V2AB=3V2,

故答案為：3A/2.

總結(jié)提升：此題是圓的綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，

菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求出NADC是解本題的關(guān)鍵.

針對訓(xùn)練

1.（2019?臨河區(qū)一模）如圖，已知A3是。O的直徑，點C,。在。。上，且A8=6,BC

14/29

=3,則tan/AOC的值為.

C

思路引領(lǐng)：先利用圓周角定理得到/ACB=90°,再利用勾股定理計算出AC=3W，利

用正且的定義得至然后根據(jù)圓周角定理得到/AOC=/ABC,從而得到

tanZADC的值.

解：TAB是。。的直徑，

ZACB=90°,

在RtAACB中，AC=7AB2-BC2=V62-32=3后

??tanz_AnC==V3,

ZADC=ZABC,

tanZADC=V3.

故答案為百.

總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，

都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°

的圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.

2.(2019春?西陵區(qū)期中)如圖，己知AD是。。的直徑，弦3D=弦BC,經(jīng)過點8作。。

的切線交的延長線于點E.

(1)求證：/EBD=/CAB；

(2)若BC=W,AC=5,求sin/CBA.

思路引領(lǐng)：(1)連接根據(jù)切線的性質(zhì)得出/。2。+/郎。=90°,由圓周角定理得

出NCAB=NBA。，NABO+/OBD=90°,即可證得/即。=NABO,根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)即可證得/。48=/。84,從而證得結(jié)論；

(2)連接C。，交。8于根據(jù)垂徑定理得出08,CO,CM=DM,然后根據(jù)三角形

中位線定理求得。河=會然后G根據(jù)勾股定理得出人(|)2=(V3)2-(r-1)2,

解得r=3,解直角三角形求得sin/AOC=^=*根據(jù)圓周角定理NC3A=/Ar>C,即

可求得sinZCBA=j.

o

(1)證明：連接03,

是O。的切線，

15/29

：.OBLBE,

：.ZOBD-^ZEBD=90°,

??,AO是。。的直徑，

，/ABD=90°,

AZABO+ZOBD=90°,

：.ZEBD=ZABO,

?：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：.ZOAB=ZEBD,

??,弦30=弦3C,

：.BC=BD,

：.ZCAB=ZBAD,

：.ZEBD=ZCAB；

(2)解：連接CD,交OB于M,

*：BC=BD,

：?0BLCD,CM=DM,

U

：OA=OD9

???OM=%C=|,

設(shè)圓的半徑為r,

???3M=r-1，

■;BD=BC=V3,

OD2-OM2=BD2-BM1,

???J-(-)2=(V3)2-(r-1)2,

22

解得r=3或r=—*(舍去)，

：.AD=2r=6,

??.A。是O。的直徑，

ZACD=90°,

ACq

???sinNAZ)C=卷=*

'：ZCBA=ZADC,

AsinZCBA-f.

o

總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題

16/29

的關(guān)鍵.

類型四利用切線與相關(guān)半徑的關(guān)系構(gòu)造直角三角形

典例4(2022?通遼)如圖，在RtZkAOB中，90°,以。為圓心，OB的長為半徑

的圓交邊于點。，點C在邊04上且CZ)=AC,延長C￡)交08的延長線于點E.

(1)求證：CD是圓的切線；

(2)已知sin/OCQ=±AB=4逐，求AC長度及陰影部分面積.

E

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余以及等量代換得出/

ODB+ZBDE=90°,BP0DLEC,進而得出EC是切線；

(2)根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出OD、CD、AC.0C,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

可求出EC,根據(jù)S陰影部分=$△(%也-S扇形進行計算即可.

(1)證明：如圖，連接0D,

VAC=C￡>,

???NA=ZADC=NBDE,

VZAOB=90°,

???NA+NA3O=90°,

又，：0B=0D,

:?N0BD=N0DB,

：.ZODB+ZBDE=90°,

即ODLEC,

???。。是半徑，

???EC是。。的切線；

(2)解：在RtZ\C。。中，由于sinNOCE)=。

設(shè)0￡>=4x,則0C=5x,

CD=VOC2-0D2=3x=AC,

在RtAAOB中，08=0。=4方0A=0C+AC=8x,AB=4有，由勾股定理得，

17/29

121

OB+OA=ABf

222

即：(4x)+(8%)(4V5)

解得x=l或工=-1(舍去)，

：.AC=3x=3,OC=5x=5,OB=OD=4x=4,

,：ZODC=ZEOC=90°,NOCD=NECO,

???△CO￡>s△CEO,

.OCCD

?.—,

ECOC

1?S陰影部分=3/\。?！辏灰籗扇形

125/90TTX42

=2XTX4-^6^

50)

=~3—如

50-12TT

=-3-'

答：AC=3,陰影部分的面積為‘°二I?：

總結(jié)提升：本題考查切線的判定，扇形面積的計算以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握切

線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及扇形、三角形面積的計算方法是正確解答的

前提.

針對訓(xùn)練

1.（2019?東河區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AC邊為直徑作。。交BC于點。，

過點。作O。的切線，交A3于點E,交AC的延長線于點R若半徑為3,且sin/C尸。=

I，則線段AE的長是（）

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思路引領(lǐng)：連接0。，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定得到。O〃A5,再根

據(jù)切線的性質(zhì)得到OOLOR則AELEF,接著在RtAODF中利用正弦的定義求出OF

=5,然后在Rt^AE尸中利用正弦定義可求出AE的長.

解：連接O。，如圖，

*：AB=AC,

：.ZB=ZACBf

U：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

；?/B=NODC,

J.OD//AB,

■D尸為切線,

JODLDF,

：.AE±EF,

在RtZXOD/中，VsinZCFD=^=|,OD=3,

：.。尸=5,

ApQ

在RtAA￡F中，VsinZF=壽=*

324

：.AE=|(3+5)=g.

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，

必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了解直角三角形.

笫二部分專翅理優(yōu)別練

1.(2022?東城區(qū)二模)如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A,B,。在格點上，以A8

為直徑的圓過C,D兩點，則sin/BC。的值為.

思路引領(lǐng)：連接AD.8。，根據(jù)圓周角定理得到/AO8=90°,根據(jù)

勾股定理求出AB,根據(jù)正弦的定義解答即可.

解：連接A。、BD,

為圓的直徑，

ZADB=90°,

：.AB=VXD2+BD2=7畢+32=5,

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sinXBAD==

由圓周角定理得：NBCD=NBAD,

3

.".sinZBC￡>=|,

,,…一，3

故答案為：—.

總結(jié)提升：本題考查的是解直角三角形、圓周角定理，熟記正弦的定義、掌握圓周角定

理是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?青白江區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系宜為中，已知RtZVIBC可運動（平移或

旋轉(zhuǎn)），且/C=90°,BC=V5+4,tanA=1,若以點M（3,6）為圓心，2為半徑的OM

始終在△ABC的內(nèi)部，則△ABC的頂點C到原點。的距離的最小值為.

思路引領(lǐng)：如圖，設(shè)OM與AC相切于點J,與A8相切于點T,連接。C,MJ,MT,延

長交于足解直角三角形求出CM,OM,根據(jù)0C20M-CM即可解決問題.

解：如圖，設(shè)OM與AC相切于點J,與相切于點T,連接OC,MJ,MT,延長加

交AB于H

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VAC,A5是。0的切線，

：.MJLAC,MTLAB,

AZAJM=ZATM=90°,

：.ZA+ZJMT=180°,

VZJMT+ZFMT=\SO°,

I./A=/FMT,

1

tanA=tanZFMT=,，

*：MT=2,

：.TF=1,FM=sjMT2+FT2=V22+I2=V5,

：.JF=MJ+MF=2+V5,

：.AJ=2FJ=4+2V5,

VAC=2BC=8+2V5,

；.CJ=4,

VZCJM=90°,

2

CM=JC/2+M『=V42+2=2V5,

VM(3,6),

OM=V32+62=3V5,

"：OC^OM-CM,

：.003近-2V5,

OC>V5,

;.oc的最小值為遙.

故答案為近.

總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，切線的性質(zhì)，坐標由圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識，解題

的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題

中的壓軸題.

3.(2020秋?上虞區(qū)期末)如圖，A8是。。的直徑，AB=4,P是AB延長線上一點，且8P

=1,過點P作一直線，分別交。。于C,。兩點，已知/尸=30°.

(1)求。與PC的長；

(2)連接BC,AD,求圓內(nèi)接四邊形ABC。的面積.

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D

思路引領(lǐng)：（1）過點。作于點“，連接0C,解直角三角形求得。H,PH,然

后根據(jù)勾股定理求得CH,進而即可求得CD和PC；

（2）求得和△PBC的面積，進而即可求得四邊形A8CD的面積.

解：（1）過點。作于點”，連接OC,

在Rt^OPH中，NP=30°,O尸=。8+8尸=2+1=3,

.,.0W=10P=1x3=|,尸8=0尸?cos30。=3*孚=苧,

在Rtz\OHC中，CH=>JOC2-OH2=122_(|)2=

\"CD=2CH,

：.CD=2=V7.

:.PC=PH-HC=空-5=3。".

(2)由(1)知：PD=CD+PC=木+后丁=3嗆°,PA=5,ZP=30°,

：.S?pBc=*PB?PC.si?i30°=*x1x與6.[=3*",=^PD.PA.

.?13T3+V715(373+V7)

sm30°no=5x————x5rx5-----

ZZ5L5o

.c_c?5(3V3+/7)3V3-77_673+377

'?'四邊形ABCD—%P4D—、4PBC-g8-4

D

總結(jié)提升：本題考查垂徑定理，解直角三角形以及勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，通

過解直角三角形其實三角形的高是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?思明區(qū)校級期中）如圖，AB與。。相切于點3,4?交。。于點C,49的延

長線交。。于點。，E是顏上不與8,。重合的點，ZA=30°.

（1）求N8E。的大小；

（2）若點尸在的延長線上，且求證：￡）尸與O。相切.

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思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，得出/48。=90°,進而求出NAOB=60°,ZBOD

=120°,再根據(jù)圓周角定理得出答案；

(2)根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)可得AB=DB,進而得出。根據(jù)"三角

形一邊的中線等于這邊的一半，這個三角形是直角三角形”得出尸即可.

(1)解：連接OB,

與OO相切于點2,

：.OB.LAB,即/AB。=90°,

VZA=30°,

...NAOB=90°-30°=60°,

：.ZBOD=1SO°-60°=120°,

:./BED=RBOD=60。,

(2)證明：連接

'：OB=OD,ZBOD=nO0,

i

：.ZODB=^(180°-60°)=30°=ZA,

：.AB=DB,

又,：AB=BF,

:.DB=AB=BF,

/是直角三角形，

即/A￡)b=90°,

,：OD±DF,0。是半徑，

...D尸是O。的切線.

總結(jié)提升：本題考查切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理以及等腰三角形、直角三角形性質(zhì)，

掌握切線的性質(zhì)和判定方法，圓周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)是正確解

答的前提.

5.(2020秋?平邑縣期末)如圖，已知A8是。。的直徑，點P在的延長線上，尸。切。。

于點D,過點8作交尸。的延長線于點C,連接4。并延長，交BE于點E.

(1)求證：AB=BE；

(2)如果產(chǎn)。=2次，ZABC=60°,求BC的長.

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E

C

思路引領(lǐng)：(1)連接。。，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OOLPC,則可判斷。?！?￡,所

以加上N0D4=N0A。，所以/O4D=NE,然后根據(jù)等腰三角形的判定

定理得到結(jié)論；

(2)利用。。〃屆得到NOOP=/A2C=60°,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系

得到OD=2,PO=4,則PB=6,然后在RtAPBC中利用ZP=30度得到BC的長.

(1)證明：連接?！啡鐖D，

切。。于點。，

：.OD±PC,

'：PCLBE,

：.OD//BE,

：.ZODA=ZE,

\'OA^OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.ZOAD^ZE,

：.AB=BE；

(2)解：'：OD//BE,

：.ZDOP=ZABC=60°,

在RtZ\P。。中，VZP=90°-ZPOC=30",

???OD=李尸。二孚x2V3=2,

???PO=2OD=4,

：.PB=PO+OB=6,

在RtAPBC中，BC=加=3.

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E

C

D,

總結(jié)提升：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了含30度

的直角三角形三邊的關(guān)系.

6.(2022?松陽縣二模)如圖，已知以AB為直徑的半圓，圓心為。，弦AC平分/BA。，點

。在半圓卜.，過點C作垂足為點E,交A2的延長線于點?

(1)求證：EF與半圓。相切于點C.

(2)若AO=3,BF=2,求tan/ACE的值.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)垂直定義可得NE=90°,再利用角平分線和等腰三角形的性質(zhì)可證

AE//OC,然后利用平行線的性質(zhì)可求出NOCr=90°,即可解答；

(2)根據(jù)已知可求出。尸=5,AF=8,再在RtZ\OCF中，利用勾股定理求出CF=4,

然后證明A字模型相似三角形△尸COs△FEA,從而利用相似三角形的性質(zhì)求出EF

的長，最后在Rt^ACE中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

(1)證明：VCELAD,

：.ZE=90°,

平分/BAD,

：.ZEAC^ZCAO,

'：OA=OC,

J.ZCAO