2016微積分試題及答案

2016微積分試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)4.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx=\)（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)5.曲線\(y=e^x\)在點(diǎn)\((0,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=x+1\)B.\(y=x-1\)C.\(y=-x+1\)D.\(y=-x-1\)6.函數(shù)\(y=\lnx\)的導(dǎo)數(shù)為（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(x^2\)7.\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3\)B.\(\frac{1}{3}x^3+C\)C.\(3x^3\)D.\(3x^3+C\)8.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點(diǎn)是（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=1\)和\(x=-1\)D.\(x=0\)9.定積分\(\int_{0}^{1}xdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.010.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)2.以下哪些是導(dǎo)數(shù)的基本公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列積分運(yùn)算正確的有（）A.\(\intkdx=kx+C\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)C.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)D.\(\inte^xdx=e^x+C\)4.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.函數(shù)在\(x_0\)處有定義D.函數(shù)在\(x_0\)處極限存在5.以下屬于不定積分性質(zhì)的有（）A.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)B.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\neq0\)）C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)6.函數(shù)\(y=x^4-2x^2+1\)的極值點(diǎn)可能是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=2\)7.下列哪些是定積分的性質(zhì)（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)8.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域包含以下哪些區(qū)間（）A.\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)B.\((\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})\)C.\((0,\pi)\)D.\((-\pi,0)\)9.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=e^x\)C.\(y=x^2\)（\(x\gt0\)）D.\(y=\lnx\)（\(x\gt0\)）10.對(duì)于函數(shù)\(f(x)\)的泰勒展開式，正確的說法有（）A.可以用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)B.展開式的項(xiàng)數(shù)越多越精確C.只在一定區(qū)間內(nèi)有效D.系數(shù)由函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)確定判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）2.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)，\(f(x)\)一定是奇函數(shù)。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((0,+\infty)\)。（）4.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）5.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)。（）6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)連續(xù)。（）7.導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)表示函數(shù)\(f(x)\)的變化率。（）8.若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(F(x)+1\)也是\(f(x)\)的原函數(shù)。（）9.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=2\sinx\)。（）10.不定積分\(\int\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C=-\frac{1}{x}+C\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系。答案：導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)表示函數(shù)變化率，微分\(dy=f^\prime(x)dx\)。導(dǎo)數(shù)是微分的系數(shù)，微分由導(dǎo)數(shù)與自變量增量相乘得到，二者緊密相關(guān)。2.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。\(y^{\prime\prime}=6x-6\)，\(x=0\)時(shí)\(y^{\prime\prime}\lt0\)，極大值\(y(0)=2\)；\(x=2\)時(shí)\(y^{\prime\prime}\gt0\)，極小值\(y(2)=-2\)。3.說明定積分和不定積分的區(qū)別。答案：不定積分是求被積函數(shù)的原函數(shù)族，結(jié)果帶常數(shù)\(C\)；定積分是在一定區(qū)間上對(duì)函數(shù)積分，結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)值，與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，和常數(shù)\(C\)無關(guān)。4.如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？答案：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)，若在某區(qū)間\(f^\prime(x)\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；若\(f^\prime(x)\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。討論題（每題5分，共4題）1.討論導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：在物理中求速度、加速度；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域分析成本、利潤(rùn)變化；在工程上優(yōu)化設(shè)計(jì)等。通過導(dǎo)數(shù)可分析變化趨勢(shì)、找出最值，幫助解決實(shí)際問題。2.談?wù)劜欢ǚe分的計(jì)算方法及要點(diǎn)。答案：方法有基本公式法、換元積分法、分部積分法。要點(diǎn)是牢記基本公式，換元時(shí)選好中間變量，分部積分合理選\(u\)和\(dv\)，多練習(xí)掌握技巧。3.分析函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。區(qū)別：連續(xù)性關(guān)注函數(shù)在某點(diǎn)極限值與函數(shù)值是否相等；可導(dǎo)性考查函數(shù)在某點(diǎn)變化率是否存在，要求更高。4.討論定積分在幾何中的應(yīng)用。答案：可求平面圖形面積，如由曲線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積；求旋轉(zhuǎn)體體積，通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)平面圖形得到。關(guān)鍵是確定積分區(qū)間和被積函數(shù)。答案單項(xiàng)選擇題1.B2.B3.