綜合與實踐最短路徑問題課件人教版八年級數(shù)學上冊

綜合與實踐

最短路徑問題第十五章

軸對稱【2025新教材】人教版數(shù)學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片17：綜合與實踐

最短路徑問題引入：同學們，在生活中我們常常會遇到這樣的問題：怎樣走才能最快到達目的地，怎樣鋪設管道才能最節(jié)省材料等等，這些都涉及到最短路徑問題。今天，我們就來深入探究如何利用軸對稱知識解決這類問題

。背景圖：展示一幅城市地圖，其中有一條河流、兩個小區(qū)和一個超市，用線條簡單勾勒出從小區(qū)到超市可能的不同路徑，引發(fā)學生對最短路徑的思考

。幻燈片18：“將軍飲馬”問題-模型構建問題呈現(xiàn)：相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的\(A\)地出發(fā)，到一條筆直的河邊\(l\)飲馬，然后到\(B\)地。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短

？數(shù)學模型提煉：設\(C\)為直線\(l\)上的一個動點，當點\(C\)在\(l\)的什么位置時，\(AC\)與\(CB\)的和最小

。動畫演示：通過動畫，先展示隨意在直線\(l\)上取點\(C\)時，\(AC+CB\)的折線情況，再逐步演示找到使路徑最短的點\(C\)的過程

。幻燈片19：“將軍飲馬”問題-作法與證明作法：作點\(B\)關于直線\(l\)的對稱點\(B'\)。連接\(AB'\)，與直線\(l\)交于點\(C\)。則點\(C\)即為所求

。證明：在直線\(l\)上任取一點\(C'\)（與點\(C\)不重合），連接\(AC'\)，\(BC'\)，\(B'C'\)。由軸對稱的性質知，\(BC=B'C\)，\(BC'=B'C'\)。所以\(AC+BC=AC+B'C=AB'\)，\(AC'+BC'=AC'+B'C'\)。在\(\triangleAB'C'\)中，根據(jù)三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊”，即\(AB'\ltAC'+B'C'\)，所以\(AC+BC\ltAC'+BC'\)，即\(AC+BC\)最短

?；脽羝?0：“將軍飲馬”問題-方法總結核心思路：運用軸對稱的知識，將直線同側的兩點轉化為直線異側的兩點，再利用“兩點之間，線段最短”來確定最短路徑

。關鍵步驟：找到需要對稱的點（一般為路徑的起點或終點）關于直線的對稱點

。連接對稱點與另一點，其與直線的交點即為所求的點

。強調要點：準確理解和運用軸對稱的性質，注意對稱點的正確作出以及證明過程中對三角形三邊關系的運用

?；脽羝?1：類型一-直線異側兩點與直線上一點所連線段和最小例題：如圖，點\(A\)、\(B\)在直線\(m\)的異側，在直線\(m\)上找一點\(P\)，使得\(AP+BP\)的值最小

。解析：直接連接\(AB\)，與直線\(m\)的交點\(P\)即為所求。因為根據(jù)“兩點之間，線段最短”，此時\(AP+BP=AB\)，和最小

。練習：展示類似圖形，讓學生指出使線段和最小的點的位置

。幻燈片22：類型二-直線同側兩點與直線上一點所連線段和最小例題：如圖，點\(A\)、\(B\)在直線\(l\)的同側，在直線\(l\)上找一點\(C\)，使\(CA+CB\)最短

。解析：作點\(B\)關于直線\(l\)的對稱點\(B'\)。連接\(AB'\)，與直線\(l\)的交點\(C\)即為所求

。證明：在直線\(l\)上任取一點\(C'\)（與\(C\)不重合），連接\(AC'\)，\(BC'\)，\(B'C'\)。由軸對稱性質，\(BC=B'C\)，\(BC'=B'C'\)。在\(\triangleAB'C'\)中，\(AB'\ltAC'+B'C'\)，即\(AC+B'C\ltAC'+B'C'\)，所以\(AC+BC\ltAC'+C'B\)。練習：給出不同的直線同側兩點的圖形，讓學生在圖上作出使線段和最小的點，并簡要說明作法

。幻燈片23：類型三-造橋選址問題（兩點兩線平行）例題：如圖所示，在一條河的兩岸有兩個村莊\(A\)、\(B\)，現(xiàn)要在河上建一座小橋\(MN\)，橋的方向與河流垂直，設河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從\(A\)到\(B\)的距離最短

？解析：作\(BB'\)垂直于河岸\(GH\)，使\(BB'\)等于河寬

。連接\(AB'\)，與河岸\(EF\)相交于\(P\)。作\(PD\perpGH\)，則\(PD\parallelBB'\)且\(PD=BB'\)，四邊形\(PDBB'\)為平行四邊形，\(PD=BB'\)。根據(jù)“兩點之間線段最短”，\(AB'\)最短，即\(AP+PD+DB=AP+BD\)最短，故橋建立在\(PD\)處符合題意

。思路總結：通過平移河岸（或橋）的方法，將問題轉化為直線異側兩點到直線上一點所連線段和最小的問題

。幻燈片24：類型四-一點兩線相交（求三角形周長最短）例題：如圖所示，\(\angleABC\)內有一點\(P\)，在\(BA\)、\(BC\)邊上各取一點\(P_1\)、\(P_2\)，使\(\trianglePP_1P_2\)的周長最小

。解析：以\(BC\)為對稱軸作\(P\)的對稱點\(M\)。以\(BA\)為對稱軸作出\(P\)的對稱點\(N\)。連接\(MN\)交\(BA\)、\(BC\)于點\(P_1\)、\(P_2\)，則\(\trianglePP_1P_2\)為所求作三角形

。原理：根據(jù)軸對稱性質，\(PP_1=NP_1\)，\(PP_2=MP_2\)，\(\trianglePP_1P_2\)的周長\(=PP_1+P_1P_2+PP_2=NP_1+P_1P_2+MP_2=MN\)，利用“兩點之間，線段最短”，此時周長最小

。練習：給出類似的角內一點的圖形，讓學生在圖上作出使三角形周長最小的點的位置

。幻燈片25：課堂練習-最短路徑問題鞏固題目1：如圖，有兩棵樹位置如圖，樹腳分別為\(A\)，\(B\)。地上有一只昆蟲沿\(A-B\)的路徑在地面上爬行。小樹頂\(D\)處一只小鳥想飛下來抓住小蟲后，再飛到大樹的樹頂\(C\)處，問小鳥飛至\(AB\)之間何處時，飛行距離最短，請在圖中畫出該點的位置

。題目2：如圖，小河邊有兩個村莊\(A\)，\(B\)，要在河邊建一自來水廠向\(A\)村與\(B\)村供水。若要使廠部到\(A\)，\(B\)兩村的水管最短，應建在什么地方？請在圖中標出位置

。練習說明：學生獨立完成，教師巡視指導，引導學生運用所學方法分析和解決問題，之后請學生上臺展示解題過程和思路

?；脽羝?6：課堂小結-最短路徑問題知識回顧：回顧利用軸對稱解決最短路徑問題的幾種常見類型，包括直線異側兩點、直線同側兩點、造橋選址、一點兩線相交求三角形周長最短等問題的解決方法和原理

。方法歸納：總結解決最短路徑問題的關鍵步驟，即通過軸對稱將問題轉化為“兩點之間，線段最短”的問題，以及在實際解題中如何準確找到對稱點、作出輔助線

。思想升華：強調數(shù)學知識與實際生活的緊密聯(lián)系，鼓勵學生運用數(shù)學知識解決生活中的實際問題，提高應用數(shù)學的意識和能力

。幻燈片27：課后拓展作業(yè)-最短路徑問題拓展作業(yè)1：如圖，荊州古城河在\(CC'\)處直角轉彎，河寬均為\(5\)米，從\(A\)處到達\(B\)處，須經兩座橋：\(DD'\)，\(EE'\)（橋寬不計），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，\(A\)、\(B\)在東西方向上相距\(65\)米，南北方向上相距\(85\)米，恰當?shù)丶軜蚩墒筡(ADD'E'EB\)的路程最短，求這個最短路程是多少米

？拓展作業(yè)2：在平面直角坐標系中，已知\(A(1,-2)\)，\(B(4,-1)\)，\(P(x,0)\)是\(x\)軸上的一個動點。當\(x\)為何值時，\(PA+PB\)的值最小，并求出最小值

。作業(yè)要求：學生獨立完成，嘗試運用多種方法解決問題，鼓勵學生對解題過程進行反思和總結，下節(jié)課進行交流討論

。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解活動一：創(chuàng)設情境，引入新知日常生活中經常會遇到最短路徑問題.從數(shù)學的角度看，這類問題抽象為幾何問題后，常常是求線段和的最小值問題.活動一：創(chuàng)設情境，引入新知兩點的所有連線中，_______最短.連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，_________最短.線段垂線段本節(jié)課的探究任務我們稱這種問題為最短路徑問題.活動任務活動目標會用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)生活中的最短路徑問題；會用數(shù)學知識、思想、方法描述最短路徑問題，把最短路徑問題轉化為數(shù)學問題；會通過邏輯推理解決數(shù)學問題；會用數(shù)學問題的結果解釋最短路徑問題，獲得最短路徑問題的答案.活動準備1.查閱資料，列舉生活中的最短路徑問題.2. 了解光行最速原理：光線所行進的“光程”最短，即光行進的時間最短.探究活動活動一：牧民飲馬問題任務1如圖，牧民從A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊l

飲馬，然后到B

地.牧民到河邊的什么地方飲馬可使所走的路徑最短？你能用自己的語言把問題抽象為數(shù)學問題嗎？活動一：牧民飲馬問題提示：從數(shù)學的角度看，如果把河邊l

近似地看成一條直線，問題就是要在直線l

上找一點C，使AC

與CB

的和最小.在直線l上找一點C，使AC+BC最短，點C應該在哪里？ABlC活動一：牧民飲馬問題（1）如果點A，B

是直線l

異側的兩個點，如何在l

上找一點C，使AC

與CB

的和最??？ABl兩點之間，線段最短C【點擊打開幾何畫板】活動一：牧民飲馬問題（2）在任務1中，點A，B

在直線l

的同側，你能利用軸對稱，把這個問題轉化為（1）中的問題嗎？【點擊打開幾何畫板】ABlB'①找到點B關于直線l的對稱點B′；②連接AB′，其與直線l的交點就是所求點C.AC+BC就是最短路程.C探究活動活動一：牧民飲馬問題證明你在任務1中得到的結論.任務2（1）點A，B

是直線l

異側的兩個點：ABlC證明：如圖，在l

上另外任取一點C′.在△ABC′中，AB<AC′+C′B，即AC+CB<AC′+C′B.所以AC+CB

最小.C'探究活動活動一：牧民飲馬問題證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合）連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．（2）點A，B

是直線l

同側的兩個點：ABlB'CC'軸對稱兩點之間線段最短歸納總結ABlCAlCB同側轉化異側實際問題數(shù)學問題將同側點轉化到異側化折為直針對訓練如圖，元元星期天從A處趕幾只羊到草地邊某一處吃草，然后趕羊到河邊某一處飲水，之后再回到B處的家.假設元元趕羊走的都是直路，請你為他設計一條最短的路線，并指明羊吃草與飲水的位置.針對訓練解：如圖，作出點A關于l1的對稱點E，點B關于l2的對稱點F，連接EF，分別交l1，l2于點C，D，連接AC，BD，則A→C→D→B是元元走的最短路線，其中點C是羊吃草的位置，點

D

是羊飲水的位置.活動二：牧民飲馬問題的拓展任務1課堂討論如圖，牧民從A

地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，最后回到A

處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？活動二：牧民飲馬問題的拓展如圖，如果把草地近似看成射線a，河邊近似看成射線b，問題就是分別在射線a，b上分別找一點B，C，使AB+BC+AC最小.分別作點A關于a，b的對稱軸A′，A″，可得A′B=AB，A″C=AC.問題轉化為：當點B，C在什么位置時，A′B+BC+CA″最??？當B，C分別為A′A″與射線a，b的交點時，AB+BC+AC″最小，為A′A″.Aab【點擊打開幾何畫板】活動二：牧民飲馬問題的拓展任務2課堂討論如圖，牧民從A

地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B

處.牧民怎樣走可使所走的路徑最短？活動二：牧民飲馬問題的拓展這個問題可抽象為：如圖，在射線a，b

上分別找一點C，D，使AC+CD+BD

和最小.分別作點A，B

關于a，b

的對稱點A′，B′，可得AC=A′C′，BD=B′D.當C，D

分別為A′B′與射線a，b

的交點時，AC+CD+BD

最小，為A′B′.ABab【點擊打開幾何畫板】活動二：牧民飲馬問題的拓展任務3課堂討論如圖，牧民每天從生活區(qū)的邊沿A

處出發(fā)，先到草地邊的B

處牧馬，再到河邊C

處飲馬，然后回到A

處.如何確定A，B，C

的位置，使從A

處出發(fā)，到B

處牧馬，再到C

處飲馬，最后回到A

處所走的路徑最短？活動二：牧民飲馬問題的拓展這個問題可抽象為：如圖，在△DEF

中，A，B，C

分別為EF，DE，DF

上一動點，當點A，B，C

在什么位置時，AB+BC+CA

最小.要使A′A″最小，則DA′最小即AD

最小，當AD⊥EF

時，AD

最小.分別作點A

關于DE，DF

的對稱點A′，A″，有A′B=AB，A″C=AC，AB+BC+CA≥A′A″.在△DA′A″中，DA′=DA″=AD，∠A′DA″=2∠EDF（定值）.【點擊打開幾何畫板】DEF活動二：牧民飲馬問題的拓展任務4課堂討論舉出類似上述數(shù)學模型的其他現(xiàn)實問題并加以解決.課堂示例某班舉行文藝晚會，課桌擺成如圖所示的兩直排(圖中的AE，BO)，AE

段所在桌面上擺滿了橘子，OB

段所在桌面上擺滿了糖果，站在C

處的學生先拿橘子再拿糖果，然后到D處坐下.請你幫他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短.解：如圖，分別以AE，BO

為對稱軸作C，D

兩點的對稱點C′，D′，連接C′D′，與AE，BO

分別相交于P，Q

兩點，再連接CP，DQ.則路線CPQD

即為所求最短路線.課堂示例活動三：造橋選址問題如圖，A，B

兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A

到B

的路徑AMNB

最短？(假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.)任務1活動三：造橋選址問題提示：可以把河的兩岸看成兩條平行線，由于河寬固定，所以可以考慮將點A（或B）按與河岸垂直的方向平移河寬的距離，使問題轉化為可以利用“兩點之間，線段最短”解決的問題.活動三：造橋選址問題你能用自己的語言將它抽象為數(shù)學問題嗎？如圖，直線a

//

b，N

為直線

b

上的一個動點，MN⊥b，交直線a