1.1.1空間向量及其線性運算（教學設計）數(shù)學人教A版2019選擇性

1.1.1空間向量及其線性運算教學設計1.教學內(nèi)容本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章“空間向量與立體幾何”1.1.1空間向量及其線性運算，內(nèi)容包括：通過類比平面向量的相關概念學習空間向量的相關概念；通過類比平面向量的線性運算法則與運算律推出空間向量的線性運算法則和運算律并掌握；通過合作探究，歸納得出共線向量定理與共面向量定理并理解，培養(yǎng)學生的自主探究能力和歸納總結能力，提升直觀想象素養(yǎng).2.內(nèi)容解析本節(jié)內(nèi)容通過類比平面向量體系構建空間向量認知框架，注重知識遷移與數(shù)學思維培養(yǎng).教材以平面向量概念為認知起點，引導學生通過對比分析自然過渡到空間向量定義、線性運算（加法、數(shù)乘）及運算律（交換律、結合律、分配律）的學習，強化“類比—遷移”的數(shù)學方法.教學重點在于通過幾何直觀與代數(shù)運算的深度融合，幫助學生突破從二維到三維的空間想象障礙.通過小組合作探究活動，設計由特殊到一般的問題鏈，引導學生自主發(fā)現(xiàn)共線向量定理（空間直線平行判定）與共面向量定理（空間平面共面條件），培養(yǎng)歸納推理能力.本節(jié)教學不僅夯實空間向量工具性基礎，更通過定理推導過程滲透數(shù)學抽象與邏輯推理素養(yǎng)，為后續(xù)立體幾何證明與空間位置關系研究提供方法論支撐.1.教學目標（1）通過類比平面向量的相關概念學習空間向量的相關概念.（2）通過類比平面向量的線性運算法則與運算律推出空間向量的線性運算法則和運算律并掌握．（3）通過合作探究，歸納得出共線向量定理與共面向量定理并理解，培養(yǎng)學生的自主探究能力和歸納總結能力，提升直觀想象素養(yǎng)．2.目標解析（1）聚焦類比遷移能力的培養(yǎng).通過引導學生將平面向量的定義（大小、方向、基底表示等）作為認知起點，構建空間向量的三維模型，幫助學生突破從二維到三維的認知跨越.教學中需突出“類比—對照—修正”的認知路徑，如對比平面與空間中向量的表示差異，強調(diào)空間向量多一維自由度的特性，同時滲透數(shù)學抽象思維，為后續(xù)空間運算奠定概念基礎.?（2）強化運算能力的縱向深化.通過設計平面向量與空間向量運算的對比任務（如三角形法則、平行四邊形法則在三維空間的拓展），引導學生自主驗證運算律的普適性.教學中需注重幾何直觀與代數(shù)驗證的結合，如用長方體模型演示空間向量加法的交換律，同時通過坐標運算驗證其代數(shù)表達，培養(yǎng)學生“形數(shù)結合”的思維品質，提升邏輯推理素養(yǎng).?（3）突出高階思維與核心素養(yǎng)的融合.通過設計分層探究任務（如從直線共線到平面共面的向量表征），引導學生經(jīng)歷“觀察特例—提出猜想—驗證推廣”的完整探究過程.教學中需提供腳手架支持（如利用向量分解定理輔助推導），同時設置開放性問題（如“如何用向量判斷四點共面？”），在問題解決中深化對定理本質的理解，發(fā)展數(shù)學建模與直觀想象能力..學生學生已掌握平面向量的基本概念（如向量表示、模長、方向角）、線性運算（加法、數(shù)乘）及運算律（交換律、結合律），并熟悉平面向量基本定理及坐標運算，具備類比遷移的基礎.但學生對空間想象能力存在個體差異，部分學生可能因三維坐標系理解不深，導致空間向量方向判斷、位置關系分析困難.此外，平面向量與空間向量的認知跨越可能引發(fā)“維度混淆”，如誤將空間向量運算等同于平面運算.教學難點預估：1.空間向量運算律的直觀理解（如空間向量加法是否滿足交換律）；2.共線、共面向量定理的幾何意義與代數(shù)表征的轉化；3.空間向量與立體幾何問題的銜接（如用向量證明四點共面）.解決策略：1.借助幾何畫板或長方體模型動態(tài)演示空間向量運算，強化空間直觀；2.設計對比任務（如對比平面與空間中向量共線的條件差異），突出維度特性；3.通過“探究問題鏈”的形式引導學生從向量分解角度探究定理（如“若向量共面定理證明四點共面”），深化代數(shù)與幾何的關聯(lián)；4.引入生活實例（如物體受力分析）構建向量應用場景，降低抽象度.最終將教學難點聚焦于“空間向量運算的幾何解釋”與“向量工具在立體幾何中的轉化應用”.情境引入以前光頭強伐的木料需要沿著繞山公路運輸?shù)缴侥_運輸點，隨著科技的發(fā)展，現(xiàn)在可以利用無人機，可以直接將木料運送到山腳的運輸點.思考：無人機應用前后，木料從山頂?shù)缴侥_運輸點的位移是否一樣？一樣的（設計意圖：情境引入，激發(fā)學生學習興趣，提升學生的空間想象力）（教學建議：教師提問，學生思考，可以的話，制作一個教學工具，展示空間性）探究1：（1）我們已經(jīng)學習過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念？學生：回顧平面向量的概念，進行類比分析，得出對比表格預設：平面向量的概念空間向量的概念平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作或.空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作或.探究1：（2）你能繼續(xù)類比平面向量，得出空間向量如何表示學生：回顧平面向量的表示方法，進行類比分析，得出對比表格預設：平面向量的表示法空間向量的表示法（1）有向線段：（2）字母表示：a，b，c，···印刷體：a手寫體：（3）坐標表示：a（2）字母表示：a，b，c，···印刷體：a手寫體：（3）坐標表示：a探究1：（3）你能繼續(xù)類比平面向量，得出空間向量的相關概念學生：回顧平面向量的相關概念，進行類比分析，得出對比表格預設：平面向量的相關概念空間向量的相關概念零向量：模為0的向量，記作；零向量的方向任意；單位向量：模為1的向量；牛刀小試：練1：下列命題是真命題的是（

）A．空間向量就是空間中的一條有向線段B．不相等的兩個空間向量的模必不相等C．任一向量與它的相反向量不相等D．向量BA與向量AB的長度相等學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：對于A，有向線段是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來，故A錯誤；對于B，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，只要它們的方向不相同即可，故B錯誤；對于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的，故C錯誤；對于D，BA與AB僅是方向相反，它們的長度是相等的，故D正確，練2：（多選）下列關于空間向量的說法中不正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量AB，CD滿足AB>CD，則AB學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：A選項：長度相等，方向相反的兩個向量是相反向量，A選項錯誤；B選項：空間中任意兩個單位向量的模長相等，但方向不一定一樣，所以不一定相等，B選項錯誤；C選項：向量模長可比較大小，向量不能比較大小；D選項：兩個向量相等，則方向相同，模長相等，D選項正確；練3：如圖，在底面為正方形的平行六面體ABCD?A′B′C′D

A．0個 B．3個 C．7個 D．9個學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：由向量的模的定義，根據(jù)平行六面體的性質可知，與向量AA′模相等的向量分別為：探究1：（4）你能繼續(xù)類比平面向量，得出空間向量的相關概念學生：回顧平面向量共線的概念，進行類比分析，得出對比表格預設：平面向量的相關概念空間向量的相關概念共線向量：方向相同或相反的兩個非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線。共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線。牛刀小試：練4：在正方體ABCD?A1B1C1A．DCB．CC．CD．CD學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：根據(jù)共線向量的定義，由圖可知DC1∥A探究2：在學習完平面向量的相關概念以后，我們研究了平面向量的線性運算，你能類比平面向量，研究空間向量的線性運算嗎？學生：回顧平面向量的線性運算有加法、減法和數(shù)乘運算。根據(jù)平面向量知識先研究它們的定義及運算法則，再研究它們的運算律。我們就可以把它們平移到同一個平面內(nèi)?？臻g向量的線性運算轉化要求：類比平面向量的線性運算，得出空間向量的線性運算預設：平面向量的線性運算空間向量的線性運算(1)加、減運算：求兩個平面向量的和與差的運算。法則：三角形和平行四邊形法則(2)數(shù)乘運算：實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：(1)加、減運算：求兩個空間向量的和與差的運算。法則：三角形和平行四邊形法則(2)數(shù)乘運算：實數(shù)λ與空間向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：探究3：平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出空間向量線性運算的運算律嗎？學生：回顧平面向量的線性運算的運算律，進行類比分析，得出對比表格預設：平面向量的線性運算空間向量的線性運算(3)運算律：①交換律：a+b＝b+a；②結合律：a+(b+c)＝(a+b)+c，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+μa，λ(a+b)＝λa+λb.(3)運算律：①交換律：a+b＝b+a；②結合律：a+(b+c)＝(a+b)+c，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+μa，λ(a+b)＝λa+λb.思考：如何證明空間向量的加法結合律呢？學生：小組討論，結合平面向量的知識，得出證明方法預設：所以a+(b+c)＝(a+b)+c總結：證明空間向量的加法結合律：一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點O為起點，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O為起點的平行六面體對角線所表示的向量。牛刀小試練5：化簡：12學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：原式=a練6：如圖，在正方體ABCD?A1(1)AB?(2)A1(3)1學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：（1）AB?（2）A1（3）12練7：若空間向量a,b不共線，且?a+3x?yb=xA．1 B．2 C．4 D．6學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：因為空間向量a,b不共線，要使則?1=x3x?y=3練8：在如圖所示的正四面體OABC中，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，AB，BC，OC的中點．設OA=a，OB=b，OCA．EF=b2C．EH=c?a學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：因為E，F(xiàn)分別是OA，AB的中點，所以EF=因為F，G分別是AB，BC的中點，所以FG=因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以EH=因為FH=探究4：平面向量的線性運算可以解決平面中的很多問題，空間向量的線性運算是否可以解決空間中的相關問題呢？學生：回顧平面向量共線的充要條件，得出空間向量共線的充要條件預設：平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件對任意兩個平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是：存在實數(shù)λ，使a＝λb.對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是：存在實數(shù)λ，使a＝λb.直線的方向向量定義：直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。直線l可以由其上一點和它的方向向量確定。牛刀小試練9：在判斷說法是否正確，正確的大“√”，錯誤的打“×”1．空間任何向量都可以作為方向向量.（）2．直線的方向向量是唯一的.（）3．直線l可由該直線上任意一點和它的方向向量確定.（）4．兩平行直線的方向向量一定相等.（）5．兩平行直線的方向向量一定共線.（）學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備答案：1．×2．×3．√4．×5．√共面向量的定義：如圖，如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量平行于平面．平行于同一個平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．思考：空間中的任意三個向量是否共面，什么條件下三個空間向量共面？學生：小組討論得出結論預設：如圖：（1）若p在α內(nèi)，則有p＝xa+yb；（2）若p＝xa+yb，則p在α內(nèi)?？偨Y：三個不共線的空間向量共面的充要條件如果兩個向量，，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是：三個不共線的空間向量共面定理的推論：若存在有序實數(shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有OP=xOA+yOB+zOC，則：x＋y＋z思考：如何證明三個不共線的空間向量共面定理的推論？學生：獨立思考，嘗試得出證明方法預設：充分性：因為OP=xOA+yOB所以OP所以OP即AP=y由共面定理可得，A、P、B、C四點共面；由向量的減法可得，AP=OP?OA所以OP所以OP即x=1?m?n，y=m，z=n所以x＋牛刀小試練10：O為空間任意一點，若OP=34OA+18OB+tA．1 B．12 C．18 學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：由共面定理推論知，若A,B,C,P四點共面，則34+1練11：在下列條件中，一定能使空間中的四點M，A，B，C共面的是（

）A．OM=2OA?C．MA+2MB+學生：思考并獨立完成，得出答案，做好分享準備解析：對于A選項，因為2+?1+?1=0≠1，由共面定理推理知M、A、B、C同理可判斷B不正確；因為MA+2MB+MC=0因為OM+OA+OB求證：，，，四點共面．師生：欲證，，，四點共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運算由，，共面的表達式推得，，共面的表達式．預設：由向量共面的充要條件可知，，，共面，又，，過同一點，從而，，，四點共面．方法總結：證明空間向量共面或四點共面的方法(1)向量共面：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若p＝xa＋yb，則向量p，a，b共面。(2)四點共面：若存在有序實數(shù)組(x，y，z)使得對于空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))＋zeq\o(OC,\s\up16(→))，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面。(3)證明向量共面或四點共面，也可以利用共面向量的定義，借助線面平行的判定定理，尋找一個平面，證明這些向量都與該平面平行。變式練習：題型一:空間向量的有關概念1.（1）給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\o(A1C1,\s\up13(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中正確命題的序號是________．(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點連接的向量中，與向量eq\o(AA′,\s\up15(→))相等的向量有________；與向量eq\o(A′B′,\s\up15(→))相反的向量有________．解析：（1）對于①，向量a與b的方向不一定相同或相反，故①錯；對于②，根據(jù)相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確；對于③，根據(jù)相等向量的定義知，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(A1C1,\s\up15(→))，故③正確；對于④，根據(jù)相等向量的定義知正確．根據(jù)相等向量的定義知，與向量eq\o(AA′,\s\up15(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up15(→))，eq\o(CC′,\s\up15(→))，eq\o(DD′,\s\up15(→)).與向量eq\o(A′B′,\s\up15(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up15(→))，eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))，eq\o(C′D′,\s\up15(→)).方法總結：解答空間向量有關概念問題的關鍵點及注意點(1)關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向．(2)注意點：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性．②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.③兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?題型二：空間向量的線性表示分別是邊、的中點，點在線段上，且使故選：A.方法總結：（1）空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．（2）利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質．1、（2425高二上·廣東梅州·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1DA．AA1=BC．DB=?A1【詳解】由向量相等可知:AA1=BDB=AB?AD，A1C12、（2425高二上·浙江杭州·期末）已知M，A，B，C為空間中四點，任意三點不共線，且OM=OA+2xOB+yOC，若M，A，B，A．0 B．1 C．2 D．3【詳解】根據(jù)共面定理的推論，1+2x+y=1，所以2x+y=0.故選：A3、（2425高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四面體ABCD中，E是BC的中點，AE→=4AF→A．DFB．DFC．DFD．DF【詳解】AE→=4AF→，∴AF→=∴AF→=184、（2425高二上·廣東·期中）已知A，B，C三點不共線，點O不在平面ABC內(nèi)，OD=12OA+xOB+yOC(x,y>0)，若A，BA．18 B．116 C．1【詳解】由OD=12OA+xOB+yOC(x,y>0)及A，B，C，D四點共面得：12+x+y=1故選：B1．空間向量的有關概念（1）定義：空間中既有又有的量稱為空間向量．（2）表示法：①符號表示法：a,b,c，（3）向量的模：空間向量a的大?。ɑ蜷L度）稱為a的模，記為．（4）幾類特殊向量概念定義單位向量長度為的向量零向量模為的向量，記作零向量的方向可以是任意的相等向量方向且長度的向量相反向量方向相反、長度相等的向量共線向量（平行向量）對于空間任意兩個向量a,b(a≠0)，若，其中λ為實數(shù)，則答案：既有大小又有方向a100相同相等b=λa2.向量數(shù)乘運算定義任何一個向量a都可看作某平面上的向量，它與實數(shù)λ相乘可類比平面向量數(shù)乘的法則進行，因而有λa幾何意義λ>0λa與a方向λa的長度是a的倍λ<0λa與a方向λ=0λa=0運算律對實數(shù)加法的分配律λ1對向量加法的分配律λa答