回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

111 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第 1 課時(shí)）教案教材： 人民教育出版社 A 版選修 1-2 第 2 頁到第 4 頁授課教師： 廣東省惠州市第一中學(xué) 劉 健【教學(xué)目標(biāo)】在數(shù)學(xué)（必修） 之后，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，包括畫散點(diǎn)圖，最小二乘法求回歸直線方程等內(nèi)容.在人教 A 版選修 1-2 第一章第一節(jié)“回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用”這一節(jié)中進(jìn)一步介紹回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用.這部分內(nèi)容教師用書共計(jì) 4 課時(shí)，第一課時(shí)：介紹線性回歸模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，解釋隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生的原因，使學(xué)生能正確理解回歸方程的預(yù)報(bào)結(jié)果；第二課時(shí)：從相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)和殘差分析角度探討回歸模型的擬合效果，以及建立回歸模型的基本步驟；第三課時(shí)：介紹兩個(gè)變量非線性相關(guān)關(guān)系；第四課時(shí)：回歸分析的應(yīng)用. 本節(jié)課是第一課時(shí)的內(nèi)容.1、知識(shí)目標(biāo)認(rèn)識(shí)隨機(jī)誤差；2、能力目標(biāo)（1）會(huì)使用函數(shù)計(jì)算器求回歸方程；（2）能正確理解回歸方程的預(yù)報(bào)結(jié)果.3、情感目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)兩個(gè)變量的相關(guān)性，理解處理問題的方法，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題的能力.教學(xué)中適當(dāng)?shù)乩脤W(xué)生合作與交流，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時(shí)，體會(huì)與他人合作的重要性.【教學(xué)重點(diǎn)】隨機(jī)誤差 的認(rèn)識(shí)【教學(xué)難點(diǎn)】隨機(jī)誤差的來源和對(duì)預(yù)報(bào)變量的影響【教學(xué)方法】 啟發(fā)式教學(xué)法 【教學(xué)手段】多媒體輔助教學(xué)2【教學(xué)流程】教師操作復(fù)習(xí)引入 小結(jié)新課,學(xué)生分四組操作 師生共同分析結(jié)果學(xué)生閱讀課本作業(yè)3【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】雙邊活動(dòng)教學(xué)過程教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)說明備注創(chuàng)設(shè)情境：2007 年 5 月，中共中央國務(wù)院關(guān)于加強(qiáng)青少年體育、增強(qiáng)青少年體質(zhì)的意見指出城市超重和肥胖青少年的比例明顯增加.“身高標(biāo)準(zhǔn)體重”該指標(biāo)對(duì)于學(xué)生形成正確的身體形態(tài)觀具有非常直觀的教育作用.提問：“身高標(biāo)準(zhǔn)體重”從何而來？我們?yōu)槭裁匆嘈乓粡埍砀?？提出將要研究的問題“本年級(jí)女生身高與體重之間的關(guān)系”.閱讀思考 引導(dǎo)學(xué)生思考.2分鐘復(fù)習(xí)：讓學(xué)生回憶統(tǒng)計(jì)學(xué)的步驟和隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣.復(fù)習(xí)抽樣方法，畫散點(diǎn)圖，利用函數(shù)計(jì)算器求回歸方程給出最小二乘法的計(jì)算公式：xbyayxniiiii)(12求出回歸方程 a其中 ，nix1niy1稱為樣本點(diǎn)的中心.),(x師：在正式研究之前，我們先一起回憶一下必修所學(xué)過的內(nèi)容.師：我提供 5 組身高與體重的數(shù)據(jù)，請(qǐng)同學(xué)們畫散點(diǎn)圖，并用函數(shù)計(jì)算器求線性回歸方程.學(xué)生做完后教師用 Excel 展示散點(diǎn)圖和所求回歸方程.yi01020304050607015 160 165 170 175 180xiyi yi（函數(shù)計(jì)算器的使用方法見后附說明）編號(hào) 1 2 3 4 5身高/cm 165 165 157 170 175體重/kg 49 58 51 53 65回憶必修中相關(guān)知識(shí)，參照投影展示的計(jì)算器的使用方法，練習(xí)使用函數(shù)計(jì)算器求回歸方程.學(xué)生抄寫數(shù)據(jù)后，畫散點(diǎn)圖，并互相幫助，學(xué)習(xí)使用計(jì)算器的方法利用“先行組織者” ，給出學(xué)生一個(gè)知識(shí)的大背景，順便幫助學(xué)生復(fù)習(xí)必修所學(xué)內(nèi)容，包括抽樣方法，畫散點(diǎn)圖，讓學(xué)生熟悉利用函數(shù)計(jì)算器求回歸方程，為本節(jié)課作好知識(shí)上和技術(shù)上的準(zhǔn)備.5分鐘學(xué)生分組操作： 分配任務(wù)：通過隨機(jī)抽樣已經(jīng)獲得高二年級(jí)女生身高體 先分別將四個(gè)組的數(shù)據(jù)要抄寫在練習(xí)本上， 不同的人作不同的事， 8分41、抽樣（隨機(jī)抽取）2、樣本數(shù)據(jù)（電腦展示）3、畫散點(diǎn)圖4、計(jì)算5、預(yù)測身高為 172cm 的女生的體重（目的：使學(xué)生了解回歸分析的一般步驟 ）重的數(shù)據(jù)共 45 組，用電腦顯示出來，學(xué)生分四組操作 操作 1 第一組使用前面 15 組數(shù)據(jù)求；第二組使用中間 15組數(shù)據(jù)；第三組使用最后 15組數(shù)據(jù)；操作 2 第四組用課本例題 1中女大學(xué)生的身高體重的 8組數(shù)據(jù)每個(gè)小組要求完成三幅散點(diǎn)圖 （四個(gè)小組同時(shí)操作）方便參考學(xué)生分工操作：有的畫散點(diǎn)圖；有的用函數(shù)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算；有的做檢驗(yàn)老師在這里把學(xué)生之間的差異作為一種資源，由能力較強(qiáng)的學(xué)生帶著能力較弱的學(xué)生，幫助及時(shí)到位體現(xiàn)建構(gòu)性教學(xué)中的“合作” 鐘結(jié)果的比較：、比較散點(diǎn)圖分布形態(tài)、比較樣本點(diǎn)中心及它和回歸方程的關(guān)系、比較回歸方程系數(shù)、比較散點(diǎn)圖與回歸直線的關(guān)系、比較四個(gè) 172cm 女生體重的預(yù)測值（目的：給學(xué)生一個(gè)關(guān)注方向）傾聽并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)言 第四組派學(xué)生代表用投影儀展示本組散點(diǎn)圖和回歸方程，并作簡單講解其他三組派學(xué)生代表板書，寫出本組的線性回歸方程，并把所預(yù)測的體重值寫出來以方便比較利用課本例題女大學(xué)生的身高體重和高二女生形成明顯對(duì)比讓學(xué)生用自己了解到的知識(shí)進(jìn)行描述和交流，提高學(xué)生參加數(shù)學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情5分鐘結(jié)果的分析：1、為什么回歸直線過樣本點(diǎn)中心？（目的：加強(qiáng)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)）2、都是高二女生為什么所求回歸方程不同？（目的：認(rèn)識(shí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的不確定性）3、樣本點(diǎn)為什么不都落在啟發(fā)與講解1、教師展示由小二乘法求回歸系數(shù)的公式講解：就是將 代xbya),(y入求出，進(jìn)而得到回歸方程 2、 受樣本點(diǎn)的不同而影響，b如果是不同事件（如課本例1 女大學(xué)生和高二女生） ，則統(tǒng)計(jì)結(jié)果自然不同；但是，同一事件（如都是高二女生） ，采樣不同結(jié)果也不同 3、請(qǐng)一位同學(xué)拿自己小組的討論回答老師提問1、學(xué)生計(jì)算得到樣本點(diǎn)中心在回歸直線上2、體會(huì)隨機(jī)數(shù)學(xué)與確定性數(shù)學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系知道最小二乘法估計(jì)回歸方程已經(jīng)是最好估計(jì)，但還是會(huì)受采樣的影響形成一些差異3、某同學(xué)拿自己小1、認(rèn)識(shí)樣本點(diǎn)中心與回歸方程的關(guān)系2、這個(gè)問題的產(chǎn)生水到渠成，不是強(qiáng)加給學(xué)生的問題的解決合情合理，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)是自然的3、逐步靠近15分鐘5我們求得回歸方程上？ （目的：引出線性回歸模型 y=bx+a+e ,討論隨機(jī)誤差 e 的來源）4、預(yù)測出的體重都不同，那么它還有參考價(jià)值嗎？（目的：讓學(xué)生感知預(yù)報(bào)變量的變化受解析變量和隨機(jī)誤差的共同影響）散點(diǎn)圖和回歸方程展示并講解小組討論結(jié)果.教師啟發(fā)：沒有人知道身高和體重之間的真正關(guān)系是什么，我們?cè)趯ふ乙环N回歸方程來近似這種關(guān)系這里存在一種誤差是由選擇模型近似所應(yīng)起的講解：線性回歸模型y=bx+a+e 增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e. 我們把自變量 x 稱作解釋變量，因變量 y 稱作預(yù)報(bào)變量.、啟發(fā)：參考預(yù)測值時(shí)，我們希望高中組的三個(gè)值接近點(diǎn)好還是區(qū)別大點(diǎn)好？啟發(fā)：怎樣就能更接近？學(xué)生回答“樣本多一些”后教師電腦展示：用所有 45 組高二女生數(shù)據(jù)所求回歸方程，以方便學(xué)生比較哪一個(gè)小組的預(yù)測值更接近老師的較多數(shù)據(jù)的預(yù)測值，相對(duì)而言，這個(gè)組的模擬效果就越好 啟發(fā)：為什么隨著數(shù)據(jù)的增多，三組的預(yù)測值有可能會(huì)越接近？組的散點(diǎn)圖和回歸方程展示并講解小組討論結(jié)果（小組其他成員可以補(bǔ)充）：一個(gè)人的體重受身高影響外，還受生理因素、飲食鍛煉、測量工具、等其他因素影響受啟發(fā)后討論得到e 產(chǎn)生的主要原因：(1)所用確定性函數(shù)模擬不恰當(dāng).如：使用一次函數(shù)模型還是使用二次函數(shù)模型；(2)忽略了某些因素的影響，如遺傳因素、生活習(xí)慣等；(3)觀測誤差，如使用的測量工具不同等、回答：接近點(diǎn)好回答：樣本多一些回答：（接受啟發(fā)）預(yù)測時(shí)解釋變量取定x=172cm，要想預(yù)報(bào)本課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn).實(shí)現(xiàn)知識(shí)由生活化向數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)變學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，與其說是“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)” ，不如說是“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化” ，本問題的提出，實(shí)質(zhì)上是在催促學(xué)生進(jìn)行“超越生活”的提煉.4、突破本節(jié)課的難點(diǎn)，充分認(rèn)識(shí)隨機(jī)誤差 e 的來源和對(duì)預(yù)報(bào)變量的影響.對(duì)思維受阻的地方，教師通過層層鋪墊，給予必要的引導(dǎo)，做到“引而不灌” ，教師的引是為了學(xué)生更好地思考啟發(fā)學(xué)生時(shí)涉及的問題層層6（回應(yīng)本課開始的提問“身高標(biāo)準(zhǔn)體重”從何而來？）解釋變量x（身高）的變化 bx+a隨機(jī)誤差 e預(yù)報(bào)變量 y（體重）的變化 y=bx+a+e師問：隨機(jī)誤差 e 變小體現(xiàn)在哪里？師講解：所以，有參考價(jià)值，它們的值越接近，就說明隨機(jī)誤差越小，當(dāng)然就擬合的越好. 當(dāng)數(shù)據(jù)足夠多，使用科學(xué)的方法，是能夠制作出一份值得參考的“身高標(biāo)準(zhǔn)體重”的回到剛才的問題，如果條件有限，只能獲得 15 組數(shù)據(jù)，那么怎樣知道這三組同學(xué)所得的回歸方程哪個(gè)更好？ 請(qǐng)同學(xué)們帶著以下問題閱讀課本，時(shí)間 5 分鐘！變量的值接近，只有使隨機(jī)誤差 e 變小了.回答：體現(xiàn)在函數(shù)模擬有機(jī)會(huì)更貼切；更容易貼近普遍的生活方式、飲食與運(yùn)動(dòng)等共性.深入，環(huán)環(huán)相扣，非常巧妙學(xué)生閱讀1、若通過一條回歸方程預(yù)測，是不是身高 172cm 的所有女生體重都一樣呢？（目的：讓學(xué)生正確理解用線性回歸方程預(yù)測結(jié)果的含義）2、怎樣知道自己模擬的回歸方程中隨機(jī)誤差有多大？（目的：為后繼課程作鋪墊）巡視與解答個(gè)人問題 學(xué)生閱讀后回答：1、答案是否定的因?yàn)轭A(yù)測出的不是真實(shí)體重，而是體重的平均值2、 （部分閱讀較快的同學(xué)可以回答出）使用相關(guān)指數(shù) 來解釋讓學(xué)生知道，獲得回歸方程并不是最終目的，我們希望用它進(jìn)行預(yù)測或決策再次感受隨機(jī)誤差 e 的存在，強(qiáng)化重點(diǎn)內(nèi)容回歸課本，實(shí)現(xiàn)了對(duì)知識(shí)技能目標(biāo)的明晰，又有效地利用了課本資源分鐘小結(jié)與作業(yè)：1、函數(shù)模型與線性回歸模1、函數(shù)模型：y=bx+a線性回歸模型：y=bx+a+e當(dāng)理想化，使所有人的遺傳傾聽并思考1、得到結(jié)論：一次函數(shù)模型是線性回歸1、由小結(jié)再次明確了隨機(jī)誤差的存5分鐘7型之間有何異同？2、在本節(jié)課中，我們運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？3、多個(gè)模型，怎樣知道哪個(gè)效果更好？作業(yè)：1、閱讀相關(guān)材料，對(duì)以上問題有所認(rèn)識(shí).2、試做：課本 P11（習(xí)題1.1 ）第 1 題因素都一樣、所有人的生活方式都一樣、所有測量都沒有誤差等等，e=0 線性回歸模型就變成函數(shù)模型了.2、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想3、如果沒有額外的數(shù)據(jù)可以使用，能不能比較出剛才三個(gè)小組誰的回歸方程模擬效果更好？具體內(nèi)容，我們下節(jié)課講解模型的特殊形式，線性回歸模型是一次函數(shù)模型的一般形式.2、體會(huì)隨機(jī)數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 3、預(yù)習(xí)課本后回答：可以使用相關(guān)指 R 2在和影響，突出重點(diǎn)、難點(diǎn)；2、注重?cái)?shù)學(xué)教學(xué)中的思想性，它們是貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)過程的“靈魂” 3、這個(gè)問題的提出，給學(xué)生留下思維發(fā)展的時(shí)空和探索余地，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步渴望.【教學(xué)反思】通過本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，我再次體會(huì)到什么是由“關(guān)注知識(shí)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學(xué)生” ，在教學(xué)過程中，注意到了由“給出知識(shí)”轉(zhuǎn)向“引起活動(dòng)” ，由“完成教學(xué)任務(wù)”轉(zhuǎn)向“促進(jìn)學(xué)生發(fā)展” ，課堂上的真正主人應(yīng)該是學(xué)生一堂好課，師生一定會(huì)有共同的、積極的情感體驗(yàn)本節(jié)課的教學(xué)中，知識(shí)點(diǎn)均是學(xué)生通過探索“發(fā)現(xiàn)”的，學(xué)生充分經(jīng)歷了探索與發(fā)現(xiàn)的過程教學(xué)中沒有以練習(xí)為主，而是定位在知識(shí)形成過程的探索，注重?cái)?shù)學(xué)的思想性，如統(tǒng)計(jì)思想、隨機(jī)觀念、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想方法等，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的理性精神，加強(qiáng)數(shù)學(xué)形式下的思考和推理幾點(diǎn)注明：1、復(fù)習(xí)引入時(shí)教師做示范提供 5 組身高與體重的數(shù)據(jù)，用 Excel 展示如何畫散點(diǎn)圖、用最小二乘法求線性回歸方程.隨機(jī)抽樣并列表如下：82、計(jì)算機(jī)做散點(diǎn)圖的步驟如下：（1）進(jìn)入 Excel 軟件操作界面，在 A1,B1 分別輸入“身高”和“體重” ，在A,B 列輸入相應(yīng)的數(shù)據(jù).（2）點(diǎn)擊“圖表向?qū)А眻D標(biāo)，進(jìn)入“圖表類型”對(duì)話框，選擇“標(biāo)準(zhǔn)類型”中的“XY 散點(diǎn)圖” ，單擊“下一步”.（3）在“圖表向?qū)А敝械摹皥D表數(shù)據(jù)源”對(duì)話框中，選擇“系列”選項(xiàng)，單擊“添加”按鈕添加系列 1，在“X 值”欄中輸入身高所在數(shù)據(jù)區(qū)域，在“Y 值”欄中輸入體重所在數(shù)據(jù)區(qū)域，單擊“下一步”.（4）進(jìn)入“圖表向?qū)А敝械膱D表選項(xiàng)對(duì)話框，對(duì)圖表的一些屬性進(jìn)行設(shè)置.（5）單擊“完成”按鈕.注：也可以直接使用我們提供的文件來給學(xué)生演示，相對(duì)節(jié)約課堂時(shí)間.yi010203040506070155 160 165 170 175 180xiyi yi3、學(xué)生使用函數(shù)計(jì)算器求回歸方程的過程如下：編號(hào) 1 2 3 4 5身高/cm 165 165 157 170 175體重/kg 49 58 51 53 659MODESHIFT CLR =113， DT165 49， DT175 65， DT165 58， DT157 51， DT170 53SHIFT CLRSHIFT CLR 2 =1(進(jìn)入回歸計(jì)算模式)(清除統(tǒng)計(jì)存儲(chǔ)器)(輸入五組數(shù)據(jù))所以回歸方程為 0.673x-56.79y (計(jì)算參數(shù) a)(計(jì)算參數(shù) b)（學(xué)生還會(huì)使用更先進(jìn)的計(jì)算器）4、課堂使用的數(shù)據(jù)如下高二女生前 15 組數(shù)據(jù)列表：編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15身高/cm 165153157170152153157168154162160159148156163體重/kg 49 43 51 53 45 44 46 52 44 49 48 46 42 45 5010高二女生中間 15 組數(shù)據(jù)列表：高 二女生后 15 組數(shù)據(jù)列表：課本 P2例題 1 女大學(xué)生 8 組數(shù)據(jù)列表：例 1. 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170體重/kg 48 57 50 54 64 6