基于UKF的非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題研究 畢業(yè)論文.docx_第1頁(yè)
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基于ukf的非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題研究 摘 要:介紹了卡爾曼濾波器的理論,ut (unscented transformation) 的基本思路與基本算法、以及ukf(unscented kalman filtering)的理論分析和算法。針對(duì)非線(xiàn)性、高精度測(cè)量的環(huán)境,文中選用了一個(gè)雷達(dá)對(duì)目標(biāo)跟蹤的非線(xiàn)性估計(jì)的例子進(jìn)行研究, 并對(duì)ukf和ekf(extended kalman filtering)兩種跟蹤算法進(jìn)行了仿真,比較了兩者在非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)中的濾波性能和特點(diǎn),結(jié)果表明:在強(qiáng)非線(xiàn)性高斯系統(tǒng),ukf的濾波精度要高于 ekf。關(guān)鍵詞 : 卡爾曼濾波器; ut; ukf;非線(xiàn)性;ekf1 緒論1.1 引言在濾波器的發(fā)展過(guò)程中,早期的維納濾波器涉及到對(duì)不隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性的處理,即靜態(tài)處理。在這種信號(hào)處理過(guò)程中,有用信號(hào)和無(wú)用噪聲的統(tǒng)計(jì)特性可與它們的頻率特性聯(lián)系起來(lái),因此與經(jīng)典濾波器在概念上還有一定的聯(lián)系。維納濾波采用頻域設(shè)計(jì)法,運(yùn)算復(fù)雜,解析求解困難,整批數(shù)據(jù)處理要求存儲(chǔ)空間大,造成其適用范圍極其有限,僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程信號(hào)濾波。維納濾波的缺陷促使人們尋求時(shí)域內(nèi)直接設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器的新方法,其中美國(guó)學(xué)者r.e.kalman的研究最具代表性。1960年,r.e.kalman提出了離散系統(tǒng)的kalman濾波;次年,他又與布西 (r.5bucy)合作,把這一濾波方法推廣到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中,從而形成kalman濾波估計(jì)理論1。與維納濾波不同,卡爾曼濾波是對(duì)時(shí)變統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行處理,他不是從頻域,而是從時(shí)域的角度出發(fā)來(lái)考慮問(wèn)題??柭鼮V波是屬于現(xiàn)代濾波技術(shù)的一種狀態(tài)估計(jì)手段,本質(zhì)上來(lái)講濾波就是一個(gè)信號(hào)處理與變換,去除或減弱不想要的成分,增強(qiáng)所需成分的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程既可以通過(guò)硬件來(lái)實(shí)現(xiàn),也可以通過(guò)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)??柭鼮V波屬于一種軟件濾波方法,其基本思想是以最小均方誤差為最佳估計(jì)準(zhǔn)則,采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型,利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì),求出當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值,根據(jù)該算法建立的系統(tǒng)方程和觀測(cè)方程對(duì)需要處理的信號(hào)做出滿(mǎn)足最小均方誤差的估計(jì)。目前,卡爾曼濾波理論廣泛應(yīng)用于航空航天、導(dǎo)航定位、目標(biāo)跟蹤、控制等各種領(lǐng)域。由于實(shí)際系統(tǒng)大多數(shù)是非線(xiàn)性系統(tǒng),而最初提出的卡爾曼濾波算法僅適用于線(xiàn)性觀測(cè)的線(xiàn)性系統(tǒng)。為了解決這一問(wèn)題,人們開(kāi)始研究把卡爾曼濾波器應(yīng)用到非線(xiàn)性系統(tǒng)中,為此bucy等人提出了非線(xiàn)性條件下的ekf (extended kalman filtering) 2。應(yīng)用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的ekf算法對(duì)于非線(xiàn)性的系統(tǒng)方程或觀測(cè)方程進(jìn)行泰勒展開(kāi),并取其一階近似項(xiàng)。這樣做之后,不可避免地引入了線(xiàn)性化誤差,當(dāng)線(xiàn)性化假設(shè)不成立時(shí),采用這種算法會(huì)導(dǎo)致濾波器性能下降甚至造成發(fā)散。另外,在一般情況下計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程的jacobian矩陣或hessians矩陣是很困難的,增加了算法的計(jì)算復(fù)雜度。為了解決ekf中存在的問(wèn)題。julier和ohlmann提出了一種新的適合于非線(xiàn)性系統(tǒng)的濾波器ukf 3。ukf是針對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的一種改進(jìn)型卡爾曼濾波器。ukf處理非線(xiàn)性系統(tǒng)的基本思路在于無(wú)味變換,而無(wú)味變換從根本上講是一種描述高斯隨機(jī)變量在非線(xiàn)性化變換后的概率分布情況的方法。ukf認(rèn)為,與其將一個(gè)非線(xiàn)性化變換線(xiàn)性化、近似化,還不如將高斯隨機(jī)變量經(jīng)非線(xiàn)性變換后的概率分布情況用高斯分布來(lái)近似那樣簡(jiǎn)單,因而ukf算法沒(méi)有非線(xiàn)性化這一步驟。ukf按照一套公式產(chǎn)生一系列樣點(diǎn)(sigma點(diǎn)),每一樣點(diǎn)均配有一個(gè)相應(yīng)的權(quán)重,而這些帶權(quán)的樣點(diǎn)被用來(lái)完整地描述系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)值的分布情況,它們替代了原先卡爾曼濾波器中的狀態(tài)向量估計(jì)值及協(xié)方差。ukf讓這些樣點(diǎn)一一經(jīng)歷非線(xiàn)性狀態(tài)方程與測(cè)量方程,然后再將這些經(jīng)非線(xiàn)性變換后的樣點(diǎn)按照它們的權(quán)重而綜合出對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)值。準(zhǔn)確的、穩(wěn)定的、高精度的卡爾曼濾波器,是獲取系統(tǒng)狀態(tài)以及各種信息的必要條件。然而由于種種原因,正如前面所說(shuō),一般的ukf濾波器在復(fù)雜多變的環(huán)境中,現(xiàn)有的卡爾曼濾波器難以起到良好的效果。為了能夠在各種復(fù)雜環(huán)境下,使得傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器的應(yīng)用領(lǐng)域得到延伸,人們對(duì)傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器做出了許多改進(jìn)。高精度、高穩(wěn)定性的卡爾曼濾波器是實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一,因此提高ukf濾波器的精確性、跟蹤能力具有重要意義。1.2本文的主要研究?jī)?nèi)容及結(jié)構(gòu)本文主要針對(duì)ukf的基礎(chǔ)理論及其在非線(xiàn)性系統(tǒng)中應(yīng)用做了一些研究。在介紹ukf論的基礎(chǔ)上,對(duì)其在跟蹤目標(biāo)等方面的濾波性能進(jìn)行了有益的研究。各小節(jié)的主要內(nèi)容安排如下:論文的主要研究?jī)?nèi)容如下:第一部分簡(jiǎn)述了估計(jì)理論及卡爾曼濾波理論的提出、發(fā)展及應(yīng)用,以及無(wú)味變換的提出及發(fā)展過(guò)程。第二部分主要介紹ukf基礎(chǔ)理論,依次講述了隨機(jī)非線(xiàn)性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論,并給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)模型,接著詳細(xì)介紹了ut (unscented transformation)的理論和算法分析,并在此基礎(chǔ)上詳細(xì)推導(dǎo)了ukf基本方程。第三部分對(duì)卡爾曼濾波技術(shù)在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用課題進(jìn)行了研究。一方面,利用卡爾曼濾波良好的跟蹤性能,實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)位置的狀態(tài)估計(jì);另一方面,從分析ukf和ekf的對(duì)目標(biāo)跟蹤性能的研究,進(jìn)一步歸納和分析了ukf對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的性能和濾波特點(diǎn)。第四部分在前文研究的基礎(chǔ)上對(duì)全文內(nèi)容作了總結(jié)。2 ukf的基本思想及理論研究2.1 非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)原理如果對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)不作任何假設(shè),那么最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計(jì)為條件均值3 (2-1) 其中是n時(shí)刻以前的觀測(cè)序列。估計(jì)這個(gè)期望值需要知道先驗(yàn)概率密度。由它不僅能夠確定最小均方誤差估計(jì)器,而且不論任何特定的性能估計(jì)都能得到最優(yōu)值。而對(duì)非線(xiàn)性狀態(tài)濾波過(guò)程的實(shí)現(xiàn)包括一步預(yù)測(cè)與測(cè)量修正兩個(gè)階段。2.1.1一步預(yù)測(cè):根據(jù)所有過(guò)去時(shí)刻的測(cè)量信息對(duì)狀態(tài)作最小方差估計(jì) (2-2) 狀態(tài)估計(jì)質(zhì)量的優(yōu)劣利用一步預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣描述 (2-3)2.1.2測(cè)量修正:獲得當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量信息后,對(duì)狀態(tài)預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正,得到狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì) (2-4) (2-5) (2-6) (2-7) (2-8)描述最優(yōu)狀態(tài)估值質(zhì)量?jī)?yōu)劣的誤差協(xié)方差陣確定如下 (2-9)2.2非線(xiàn)性的卡爾曼濾波 卡爾曼濾波器估計(jì)一個(gè)用線(xiàn)性隨機(jī)差分方程描述的離散時(shí)間過(guò)程的狀態(tài)變量。但是在實(shí)際的應(yīng)用中所有的系統(tǒng)都是非線(xiàn)性的,其中許多還是強(qiáng)非線(xiàn)性的,在非線(xiàn)性系中被估計(jì)的觀測(cè)變量與過(guò)程變量的關(guān)系是非線(xiàn)性的。這時(shí)我們可以應(yīng)用非線(xiàn)性估計(jì)領(lǐng)域的經(jīng)典算法ekf 4-5,15來(lái)處理非線(xiàn)性的問(wèn)題,它是將期望和方差線(xiàn)性化的卡爾曼濾波器??紤]一般的非線(xiàn)性系統(tǒng),狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為: (2-10a) (2-10b)式中為維狀態(tài)向量,為維觀測(cè)向量,為維控制向量,為系統(tǒng)噪聲,且 ,為觀測(cè)噪聲,且。與相互獨(dú)立且與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān),并且均可以假設(shè)為高斯白噪聲,即:均值為零,方差分別為和。我們的目的就是要遞推地在每次獲得觀測(cè)量后, 估計(jì)狀態(tài)量。定義狀態(tài)量的一步預(yù)測(cè)為,其它類(lèi)推,則上述問(wèn)題在線(xiàn)性最小均方誤差意義上的線(xiàn)性最優(yōu)估計(jì)子為: (2-11)其中最的最優(yōu)預(yù)測(cè), 為的最優(yōu)預(yù)測(cè),稱(chēng)為卡爾曼濾波增益,卡爾曼濾波器使用來(lái)反映新息對(duì)估計(jì)的重要程度。完整的濾波公式如下所示:2.2.1擴(kuò)展卡爾曼濾波器時(shí)間更新方程: (2-12) (2-13)就像基本的離散卡爾曼濾波器,時(shí)間更新方程將狀態(tài)和協(xié)方差估計(jì)從 時(shí)刻向前推算到時(shí)刻。和是時(shí)刻的過(guò)程雅可比矩陣,是時(shí)刻的過(guò)程激勵(lì)噪聲協(xié)方差矩陣。2.2.2擴(kuò)展卡爾曼濾波器狀態(tài)更新方程: (2-14) (2-15) (2-16)就像基本的離散卡爾曼濾波器,上面三式中的測(cè)量更新方程利用觀測(cè)值變量的值校正狀態(tài)估計(jì)和協(xié)方差估計(jì)。和 是 時(shí)刻的測(cè)量雅可比矩陣,是中時(shí)刻的觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣。2.2.3通過(guò)分析,ekf算法具有如下的優(yōu)點(diǎn):(1)未知分布的均值和協(xié)方差的獲得僅需要保存較少的信息量,但卻能支持大多數(shù)的操作過(guò)程,如確定搜索目標(biāo)的區(qū)域等。(2)均值和協(xié)方差具有線(xiàn)性傳遞性。(3)均值和協(xié)方差估計(jì)的集合能用來(lái)表征分布的附加特征,例如重要模式等。正是由于以上優(yōu)點(diǎn),人們?nèi)匀幌M诜蔷€(xiàn)性濾波方法中應(yīng)用ekf線(xiàn)性估形式。同時(shí),作為對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)線(xiàn)性化所帶來(lái)的副作用,ekf濾波器的缺點(diǎn)也非常的明顯:(1)必須滿(mǎn)足小擾動(dòng)假設(shè),即假設(shè)非線(xiàn)性方程的理論解與實(shí)際解之差為小量。也就是說(shuō)ekf只適合弱非線(xiàn)性系統(tǒng),對(duì)于強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng),該假設(shè)不成立,此時(shí)ekf濾波性能極不穩(wěn)定,甚至發(fā)散; (2)必須計(jì)算jacobian矩陣及其冪,這是一件計(jì)算復(fù)雜、極易出錯(cuò)的工作。(3)ekf的另外一個(gè)缺點(diǎn)是初始狀態(tài)不太好確定,如果假設(shè)的初始狀態(tài)和初始協(xié)方差誤差較大,也容易導(dǎo)致濾波器發(fā)散。2.3 uscented變換(ut)卡爾曼濾波方法為非線(xiàn)性高斯濾波提供了一種次優(yōu)的遞推式實(shí)現(xiàn)方法,它在每一步的迭代過(guò)程中均需求出隨機(jī)分布經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性變換(函數(shù))后的均值和方差,其中ekf濾波方法等非線(xiàn)性濾波器是采用近似非線(xiàn)性函數(shù)的方法來(lái)求得。有別于傳統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法。ut變換的主要思想是“近似概率分布要比近似非線(xiàn)性函數(shù)更容易”6,它采用具有確定性的點(diǎn)集sigma點(diǎn),來(lái)表征輸入狀態(tài)的分布(或部分統(tǒng)計(jì)特征),然后就是對(duì)每個(gè)sigma點(diǎn)分別進(jìn)行非線(xiàn)性變換,通過(guò)加權(quán)計(jì)算捕捉到變換后的統(tǒng)計(jì)特性7,它的基本步驟可概括為: 關(guān)于 x 的 點(diǎn)( sigma- point) 集的產(chǎn)生不確定性的非線(xiàn)性變換與傳遞關(guān)于 y的統(tǒng)計(jì)特性的推算。這種方法把系統(tǒng)當(dāng)作“黑盒來(lái)處理,因而不依賴(lài)于具體的非線(xiàn)性,也不必計(jì)算jacobian矩陣。種方法的本質(zhì),可以用圖2-1來(lái)表達(dá):圖2-1 sigam點(diǎn)的非線(xiàn)性傳遞2.3.1構(gòu)造sigma點(diǎn):采用對(duì)稱(chēng)采樣點(diǎn)策略時(shí),其所選取的 sigma點(diǎn)集關(guān)于 x 的均值對(duì)稱(chēng)分布。對(duì)于均值,方差為 的n維隨機(jī)變量x,產(chǎn)生2n+1個(gè)列向量(sigma)為 , , , (2-17)其中表示矩陣的第n行向量或者列向量, 而矩陣平方根的常見(jiàn)求法就是用 cholesky 8-9分解來(lái)獲得。為尺度參數(shù),調(diào)整它可以提高逼近精度,用這組采樣點(diǎn) 可以近似表示狀態(tài) x 的高斯分布。2.3.2對(duì)sigma點(diǎn)進(jìn)行非線(xiàn)性變換 對(duì)所構(gòu)造的點(diǎn)集 進(jìn)行非線(xiàn)性變換,得到變換后的sigma點(diǎn)集 i=0,1,2n (2-18)變換后的sigma點(diǎn)集 即可近似地表示的分布。2.3.3計(jì)算y的均值和方差對(duì)變換后的sigma點(diǎn)集 進(jìn)行加權(quán)處理,從而得到輸出量y 的均值和方差。 (2-19) (2-20) (2-21) (2-22) ,i=1,2,2n (2-23)其中其中和 分別為計(jì)算的均值和方差所用加權(quán)值 ,標(biāo)量是自由參數(shù),可以用來(lái)捕捉給定分布的高階信息,對(duì)于高斯分布,考慮到4階距的統(tǒng)計(jì)量,通常的取值為。可以證明,該sigma點(diǎn)集的輸入變量x具有相同的均值,方差和高階奇次中心距10。在均值和方差加權(quán)中需要確定 ,和 共3個(gè)參數(shù),它們的取值范圍分別為:確定 周?chē)鷖igma點(diǎn)的分布,通常設(shè)為一個(gè)較小的正數(shù);為第二個(gè)尺度參數(shù),通常設(shè)置為0或3-n;為狀態(tài)分布參數(shù),對(duì)于高斯分布 是最優(yōu)的,如果狀態(tài)變量是單變量,則最佳的選擇是。2.3.4 ut變換的特點(diǎn)如下:(1)對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似,而不是對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行近似,即使系統(tǒng)的模型復(fù)雜,也不增加算法實(shí)現(xiàn)的難度。(2)所得到的非線(xiàn)性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確性可以達(dá)到三階(泰勒展開(kāi))。(3)不需要計(jì)算jacobin矩陣,可以處理不可導(dǎo)非線(xiàn)性函數(shù)。2.4 ukf濾波算法以上討論了在一次實(shí)現(xiàn)中如何用無(wú)味變換估計(jì)隨機(jī)量經(jīng)非線(xiàn)性映射后的統(tǒng)計(jì)特性, 但實(shí)際中更多的是要求能夠在線(xiàn)、實(shí)時(shí)、 反復(fù)地進(jìn)行估計(jì), 這就涉及到無(wú)味變換的遞推實(shí)現(xiàn)無(wú)味濾波 ( uf, unscented filtering ) 。無(wú)味濾波的實(shí)現(xiàn)很簡(jiǎn)單,是將無(wú)味變換對(duì)隨機(jī)變量經(jīng)非線(xiàn)性映射后統(tǒng)計(jì)信息的估計(jì)嵌到其它的濾波算法中。雖然并不局限于卡爾曼濾波, 但與無(wú)味變換最常見(jiàn)的結(jié)合還是卡爾曼濾波, 并被稱(chēng)為ukf。ukf濾波方法對(duì)噪聲的處理包含擴(kuò)展和非擴(kuò)展兩種方式15,前者在系統(tǒng)模型不變的情況下,將過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲隱含在系統(tǒng)中,一次迭代過(guò)程只需要產(chǎn)生一次sigma點(diǎn)集,但運(yùn)算量明顯增大;而非擴(kuò)展法則可以簡(jiǎn)化sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù),濾波實(shí)時(shí)性更好,較適合于處理加性高斯噪聲11-13。本文主要采用非擴(kuò)展形式的ukf濾波算法,對(duì)于式(2-10)描述的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng),假設(shè)其狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均為高斯白噪聲,方差分別為和,則濾波過(guò)程如下:2.4.1初始化根據(jù)輸入變量x的統(tǒng)計(jì)量和,選擇一種sigma點(diǎn)采樣策略,得到輸入變量的sigma點(diǎn)集,以及相對(duì)應(yīng)的均值加權(quán)值和方差加權(quán)值: (2-24)2.4.2 狀態(tài)估計(jì)(1)計(jì)算sigma點(diǎn):其中n為選定特定的采樣策略所產(chǎn)生的sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中均值附近的sigma點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離表達(dá)式將會(huì)隨著不同的采樣策略而不同:i=0 (2-25) i=1,2,n (2-26) i=n+1,2n (2-27)(2)時(shí)間更新方程(預(yù)測(cè)方程):由系統(tǒng)狀態(tài)方程對(duì)各個(gè)采樣的輸入變量sigma點(diǎn)集中的每一個(gè)sigma點(diǎn)進(jìn)行非線(xiàn)性變換,得到變換后的sigma點(diǎn)集: (2-28)對(duì)變換后的sigma點(diǎn)集進(jìn)行加權(quán)處理,從而得到一步預(yù)測(cè)狀態(tài): (2-29)使用同樣的方法求取狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)方差陣: (2-30)根據(jù)一步預(yù)測(cè)值,再次使用ut變換,產(chǎn)生新的sigma點(diǎn)集: (2-31) , i=1,2,n (2-32) , i=n+1,2n (2-33)由非線(xiàn)性觀測(cè)方程對(duì)sigma點(diǎn)集進(jìn)行非線(xiàn)性變換: (2-34)使用加權(quán)求和計(jì)算得到系統(tǒng)的預(yù)測(cè)觀測(cè)值: (2-35)(3)測(cè)量更新方程:計(jì)算協(xié)方差 (2-36)求得系統(tǒng)量測(cè)輸出變量的方差陣: (2-37)計(jì)算濾波增益陣: (2-38)得到狀態(tài)更新后的濾波值: (2-39)求解狀態(tài)后驗(yàn)方差陣: (2-40)從以上實(shí)現(xiàn)過(guò)程可以清楚地看出,ukf濾波方法在式(2-29)、(2-30)、(2-35)、(2-36)以及(2-37)這5個(gè)均值和方差的求解上,均通過(guò)ut變換方法加權(quán)求和得到;而2.2.2小節(jié)中的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法則是對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測(cè)方程進(jìn)行線(xiàn)性化求得,這便是兩者的最大不同。基于該基本ukf濾波算法,還可以構(gòu)造平方根ukf濾波器(square rootukf,srukf)6,14,它可以有效避免濾波誤差方差陣和一步預(yù)報(bào)誤差方差陣失去對(duì)稱(chēng)性和正定性,較好地解決了計(jì)算字長(zhǎng)不夠而導(dǎo)致的濾波器數(shù)值發(fā)散等問(wèn)題。2.4.3通過(guò)分析,ukf算法具有如下的特點(diǎn): (1) ukf是對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似,用一系列確定樣本來(lái)逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度,而不是對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行近似,不需要求導(dǎo)計(jì)算jacobian矩陣。(2)ukf沒(méi)有線(xiàn)性化忽略高階項(xiàng),因此非線(xiàn)性分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算精度較高(3)系統(tǒng)函數(shù)可以不連續(xù)。(4)隨機(jī)狀態(tài)可以不是高斯的。3 ukf對(duì)目標(biāo)位置的狀態(tài)估計(jì)3.1 問(wèn)題提出考慮一個(gè)在二維平面x-y內(nèi)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)m,假設(shè)m在水平方向(x)作近似勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),垂直方向(y)上亦作近似勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。首先,在直角坐標(biāo)系中建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型,在仿真中,觀測(cè)站和目標(biāo)都用質(zhì)點(diǎn)表示。觀測(cè)站與目標(biāo)的相對(duì)位置關(guān)系如圖3-1所示: 圖 3-1目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型則在笛卡爾坐標(biāo)系下該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為: (3-1) 式中其在前兩個(gè)變量表示觀測(cè)站與目標(biāo)之間的位置,中間兩個(gè)變量表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度,后面兩個(gè)變量表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度。是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲向量,系統(tǒng)矩陣如下:假設(shè)一坐標(biāo)位置為(0,0)的雷達(dá)在觀測(cè)站對(duì)m進(jìn)行測(cè)距和測(cè)角,實(shí)際測(cè)量中雷達(dá)具有加性測(cè)量噪,則在笛卡爾極坐標(biāo)系下,系統(tǒng)的觀測(cè)方程為: (3-2) 顯然在笛卡爾坐標(biāo)系下,該模型運(yùn)動(dòng)觀測(cè)方程為非線(xiàn)性的。我們根據(jù)雷達(dá)測(cè)量值使用ukf算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤,并與ekf算法結(jié)果進(jìn)行比較。3.2 問(wèn)題分析3.2.1ukf濾波跟蹤分析:考慮一般的非線(xiàn)性系統(tǒng),狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為: (3-3a) (3-3b)設(shè)具有協(xié)方差陣,具有協(xié)方差陣,ukf算法為(2-24)至(2-40)。3.2.2 ekf算法分析:對(duì)于式(2-10)討論的非線(xiàn)性系統(tǒng),由于狀態(tài)方程為線(xiàn)性的,可以定義: (3-4a) (3-4b)由于系統(tǒng)狀態(tài)方程為線(xiàn)性的,則,而量測(cè)方程為非線(xiàn)性的,對(duì)其關(guān)于求偏導(dǎo),則ekf算法為(2-12)至(2-16)。 (3-5)3.3實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析假設(shè)設(shè)系統(tǒng)噪聲具有協(xié)方差陣: 具有協(xié)方差陣: 二者是不相關(guān)。觀測(cè)次數(shù)n=50,采樣時(shí)間為t=0.5。初始狀態(tài)。則生成的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3-2所示。圖3-2 m的軌跡圖3.3.1 t=0.1和t=0.5時(shí)將ukf和ekf濾波結(jié)果進(jìn)行比較我們將ukf和ekf濾波算法進(jìn)行比較,如圖3-3所示。為了方便對(duì)比,我們將測(cè)量值得到的距離和角度換算到笛卡爾坐標(biāo)系中得到x-y測(cè)量值,通過(guò)分別比較值t=0.1和t=0.5時(shí)的濾波值,我們可以直觀的看到ukf算法濾波結(jié)果優(yōu)于ekf算法。 圖3-3 濾波結(jié)果對(duì)比圖3.3.2下面定量分析濾波結(jié)果首先計(jì)算ukf和ekf濾波值得到的位置、與該時(shí)刻的實(shí)際位置的距離、。為了定量地比較 ukf和ekf性能,我們定義一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的均方根誤差15為: (3-6)其中,t 表示一次實(shí)驗(yàn)的時(shí)間步長(zhǎng), 表示時(shí)刻的估計(jì)值,表示時(shí)刻的真值。對(duì)該模型做50次蒙特卡洛仿真,得到各個(gè)測(cè)量點(diǎn)(時(shí)刻)的距離均方根誤差,如圖3-4所示。在各個(gè)測(cè)量時(shí)刻ekf濾波的rmse值為3.5,ukf濾波的rmse值為2.5,由此得出ukf濾波結(jié)果優(yōu)于ekf。圖3-4 t=0.5時(shí)各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的距離rmse對(duì)比圖3.3.3采樣間隔t對(duì)濾波結(jié)果的影響下面討論不同的采樣間隔t對(duì)濾波結(jié)果的影響。我們分別取x軸方向和y軸方向預(yù)測(cè)軌跡值的距離均方根誤差,取t=0.5,1.0,1.5,得到rmse仿真結(jié)果。如下圖所示。圖3-5 采樣時(shí)間t=0.5時(shí)結(jié)果圖3-6 采樣時(shí)間t=1.0時(shí)結(jié)果圖 3-7 采樣時(shí)間t=1.5時(shí)結(jié)果從圖3-5可以看到,在采樣間隔t不太大時(shí)(t=0.5),ekf和ukf算法均能跟蹤目標(biāo),且ukf算法濾波精度優(yōu)于ekf算法。從圖3-6可以看到,當(dāng)t=1.0時(shí)在x方向,ekf和ukf算法均能跟蹤目標(biāo),在y方向ukf能跟蹤目標(biāo),而ekf算法濾波發(fā)散,在圖3-7中可以看到,當(dāng)t=1.5時(shí)ukf算法跟蹤精度變化不大,ekf濾波在x方向和y方向均發(fā)散。3.3.4濾波協(xié)方差陣對(duì)角線(xiàn)比較對(duì)于ekf和ukf算法,在不同的t時(shí),我們分別取其濾波協(xié)方差陣對(duì)角線(xiàn)的第二個(gè)元素(即y軸方向位置方差),作出位置方差變化圖如下。圖3-8 不同采樣間隔的y方向位置濾波方差變化圖出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因?yàn)楫?dāng)采樣間隔t增大時(shí),非線(xiàn)性函數(shù)taylor展開(kāi)式的高階項(xiàng)無(wú)法忽略,ekf算法線(xiàn)性化(一階展開(kāi))使得系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差,導(dǎo)致了濾波的不穩(wěn)定。由于ukf算法可以精確到二階或者三階taylor展開(kāi)項(xiàng),所以這種現(xiàn)象不明顯,但是當(dāng)t進(jìn)一步增大,尤其是跟蹤目標(biāo)的狀態(tài)變化劇烈時(shí),更高階項(xiàng)誤差影響不可忽略,進(jìn)而ukf算法也會(huì)發(fā)散導(dǎo)致無(wú)法跟蹤目標(biāo)。3.3.5測(cè)量誤差對(duì)濾波結(jié)果的影響。取采樣間隔不變,如t=0.5s,對(duì)于不同的測(cè)量誤差,分析其對(duì)ekf和ukf算法濾波結(jié)果的影響。分別取,結(jié)果如下: 圖8 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果圖3-9 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果 圖3-10 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果由上面四張圖對(duì)比可知,當(dāng)測(cè)量誤差較小時(shí),ukf濾波精度優(yōu)于ekf;當(dāng)測(cè)量誤差較大時(shí),ukf和ekf濾波精度相差不大。3.3.6實(shí)驗(yàn)分析和總結(jié): 綜合以上分析可以看到,ukf算法對(duì)于解決非線(xiàn)性模型濾波問(wèn)題時(shí),相對(duì)于ekf算法,它不需要計(jì)算雅克比矩陣,具有較好的濾波精度,而且在非線(xiàn)性嚴(yán)重或者高階誤差引入時(shí),會(huì)推遲或延緩濾波發(fā)散,在測(cè)量誤差較大或者采樣時(shí)間增大時(shí),也會(huì)降低ukf的濾波精度。同時(shí) ukf利用確定的離散采樣點(diǎn)直接逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度, 由于不需計(jì)算量測(cè)方程的jacobian矩陣, 實(shí)現(xiàn)也相對(duì)簡(jiǎn)單。以上仿真表明:ukf濾波方法算法較之ekf算法在相同仿真條件下對(duì)狀態(tài)的估計(jì)更準(zhǔn)確,定位精度更高,算法對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的適應(yīng)性更強(qiáng)。4 總結(jié)ukf是近年來(lái)興起的非線(xiàn)性濾波方法, 它是將無(wú)味變換對(duì)隨機(jī)量經(jīng)非線(xiàn)性映射后統(tǒng)計(jì)信息的估計(jì)嵌入到卡爾曼的濾波算法中。對(duì)于解決大部分問(wèn)題,它是最優(yōu),效率最高甚至是最有用的,因此它被廣泛應(yīng)用于非線(xiàn)性估計(jì)領(lǐng)域及系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)等領(lǐng)域。本論文圍繞ukf的基礎(chǔ)理論,對(duì)ukf在非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)應(yīng)用展開(kāi)了研究?,F(xiàn)將本文所做工作總結(jié)如下(1)回顧了卡爾曼濾波的理論基礎(chǔ)、發(fā)展過(guò)程及應(yīng)用前景,依次講述了隨機(jī)非線(xiàn)性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論,并給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)模型,接著詳細(xì)介紹了ut (unscented transformation)的理論和算法分析,并在此基礎(chǔ)上介紹了ukf的基礎(chǔ)理論并詳細(xì)推導(dǎo)了ukf基本方程。(2)針對(duì)一個(gè)強(qiáng)非線(xiàn)性、高斯的系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題進(jìn)行仿真,將ukf和ekf兩種算法的跟蹤效果進(jìn)行比較,從理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果兩方面表明:ukf濾波方法算法較之ekf算法在相同仿真條件下對(duì)狀態(tài)的估計(jì)更準(zhǔn)確,定位精度更高,算法對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的適應(yīng)性更強(qiáng)。(3) 由于研究時(shí)間比較短、水平有限,本文沒(méi)有從理論上深入研究ukf的建模問(wèn)題和系統(tǒng)特性,也沒(méi)有對(duì)ukf的濾波算法進(jìn)行改進(jìn),在今后的研究中,要改善ukf算法,提高ukf濾波器的精確性、跟蹤能力。參考文獻(xiàn)1julier s,uhlmann j,durrant-whyte h f.a new methodfor the nonlinear transformation of means and 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