基于UKF的非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題研究 畢業(yè)論文.docx

基于ukf的非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題研究 摘 要：介紹了卡爾曼濾波器的理論，ut (unscented transformation) 的基本思路與基本算法、以及ukf（unscented kalman filtering）的理論分析和算法。針對(duì)非線(xiàn)性、高精度測(cè)量的環(huán)境，文中選用了一個(gè)雷達(dá)對(duì)目標(biāo)跟蹤的非線(xiàn)性估計(jì)的例子進(jìn)行研究, 并對(duì)ukf和ekf(extended kalman filtering)兩種跟蹤算法進(jìn)行了仿真，比較了兩者在非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)中的濾波性能和特點(diǎn)，結(jié)果表明：在強(qiáng)非線(xiàn)性高斯系統(tǒng),ukf的濾波精度要高于 ekf。關(guān)鍵詞 : 卡爾曼濾波器; ut; ukf；非線(xiàn)性；ekf1 緒論1.1 引言在濾波器的發(fā)展過(guò)程中，早期的維納濾波器涉及到對(duì)不隨時(shí)間變化的統(tǒng)計(jì)特性的處理，即靜態(tài)處理。在這種信號(hào)處理過(guò)程中，有用信號(hào)和無(wú)用噪聲的統(tǒng)計(jì)特性可與它們的頻率特性聯(lián)系起來(lái)，因此與經(jīng)典濾波器在概念上還有一定的聯(lián)系。維納濾波采用頻域設(shè)計(jì)法，運(yùn)算復(fù)雜，解析求解困難，整批數(shù)據(jù)處理要求存儲(chǔ)空間大，造成其適用范圍極其有限，僅適用于一維平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程信號(hào)濾波。維納濾波的缺陷促使人們尋求時(shí)域內(nèi)直接設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器的新方法，其中美國(guó)學(xué)者r.e.kalman的研究最具代表性。1960年，r.e.kalman提出了離散系統(tǒng)的kalman濾波;次年，他又與布西 (r.5bucy)合作，把這一濾波方法推廣到連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，從而形成kalman濾波估計(jì)理論1。與維納濾波不同，卡爾曼濾波是對(duì)時(shí)變統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行處理，他不是從頻域，而是從時(shí)域的角度出發(fā)來(lái)考慮問(wèn)題?？柭鼮V波是屬于現(xiàn)代濾波技術(shù)的一種狀態(tài)估計(jì)手段，本質(zhì)上來(lái)講濾波就是一個(gè)信號(hào)處理與變換，去除或減弱不想要的成分，增強(qiáng)所需成分的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程既可以通過(guò)硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)，也可以通過(guò)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)?？柭鼮V波屬于一種軟件濾波方法，其基本思想是以最小均方誤差為最佳估計(jì)準(zhǔn)則，采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值，根據(jù)該算法建立的系統(tǒng)方程和觀測(cè)方程對(duì)需要處理的信號(hào)做出滿(mǎn)足最小均方誤差的估計(jì)。目前，卡爾曼濾波理論廣泛應(yīng)用于航空航天、導(dǎo)航定位、目標(biāo)跟蹤、控制等各種領(lǐng)域。由于實(shí)際系統(tǒng)大多數(shù)是非線(xiàn)性系統(tǒng)，而最初提出的卡爾曼濾波算法僅適用于線(xiàn)性觀測(cè)的線(xiàn)性系統(tǒng)。為了解決這一問(wèn)題，人們開(kāi)始研究把卡爾曼濾波器應(yīng)用到非線(xiàn)性系統(tǒng)中，為此bucy等人提出了非線(xiàn)性條件下的ekf (extended kalman filtering) 2。應(yīng)用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的ekf算法對(duì)于非線(xiàn)性的系統(tǒng)方程或觀測(cè)方程進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并取其一階近似項(xiàng)。這樣做之后，不可避免地引入了線(xiàn)性化誤差，當(dāng)線(xiàn)性化假設(shè)不成立時(shí)，采用這種算法會(huì)導(dǎo)致濾波器性能下降甚至造成發(fā)散。另外，在一般情況下計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測(cè)方程的jacobian矩陣或hessians矩陣是很困難的，增加了算法的計(jì)算復(fù)雜度。為了解決ekf中存在的問(wèn)題。julier和ohlmann提出了一種新的適合于非線(xiàn)性系統(tǒng)的濾波器ukf 3。ukf是針對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的一種改進(jìn)型卡爾曼濾波器。ukf處理非線(xiàn)性系統(tǒng)的基本思路在于無(wú)味變換，而無(wú)味變換從根本上講是一種描述高斯隨機(jī)變量在非線(xiàn)性化變換后的概率分布情況的方法。ukf認(rèn)為，與其將一個(gè)非線(xiàn)性化變換線(xiàn)性化、近似化，還不如將高斯隨機(jī)變量經(jīng)非線(xiàn)性變換后的概率分布情況用高斯分布來(lái)近似那樣簡(jiǎn)單，因而ukf算法沒(méi)有非線(xiàn)性化這一步驟。ukf按照一套公式產(chǎn)生一系列樣點(diǎn)(sigma點(diǎn))，每一樣點(diǎn)均配有一個(gè)相應(yīng)的權(quán)重，而這些帶權(quán)的樣點(diǎn)被用來(lái)完整地描述系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)值的分布情況，它們替代了原先卡爾曼濾波器中的狀態(tài)向量估計(jì)值及協(xié)方差。ukf讓這些樣點(diǎn)一一經(jīng)歷非線(xiàn)性狀態(tài)方程與測(cè)量方程，然后再將這些經(jīng)非線(xiàn)性變換后的樣點(diǎn)按照它們的權(quán)重而綜合出對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量估計(jì)值。準(zhǔn)確的、穩(wěn)定的、高精度的卡爾曼濾波器，是獲取系統(tǒng)狀態(tài)以及各種信息的必要條件。然而由于種種原因，正如前面所說(shuō)，一般的ukf濾波器在復(fù)雜多變的環(huán)境中，現(xiàn)有的卡爾曼濾波器難以起到良好的效果。為了能夠在各種復(fù)雜環(huán)境下，使得傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器的應(yīng)用領(lǐng)域得到延伸，人們對(duì)傳統(tǒng)的卡爾曼濾波器做出了許多改進(jìn)。高精度、高穩(wěn)定性的卡爾曼濾波器是實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)之一，因此提高ukf濾波器的精確性、跟蹤能力具有重要意義。1.2本文的主要研究?jī)?nèi)容及結(jié)構(gòu)本文主要針對(duì)ukf的基礎(chǔ)理論及其在非線(xiàn)性系統(tǒng)中應(yīng)用做了一些研究。在介紹ukf論的基礎(chǔ)上，對(duì)其在跟蹤目標(biāo)等方面的濾波性能進(jìn)行了有益的研究。各小節(jié)的主要內(nèi)容安排如下:論文的主要研究?jī)?nèi)容如下：第一部分簡(jiǎn)述了估計(jì)理論及卡爾曼濾波理論的提出、發(fā)展及應(yīng)用，以及無(wú)味變換的提出及發(fā)展過(guò)程。第二部分主要介紹ukf基礎(chǔ)理論，依次講述了隨機(jī)非線(xiàn)性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論，并給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)模型，接著詳細(xì)介紹了ut (unscented transformation)的理論和算法分析，并在此基礎(chǔ)上詳細(xì)推導(dǎo)了ukf基本方程。第三部分對(duì)卡爾曼濾波技術(shù)在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用課題進(jìn)行了研究。一方面，利用卡爾曼濾波良好的跟蹤性能，實(shí)現(xiàn)了對(duì)目標(biāo)位置的狀態(tài)估計(jì);另一方面，從分析ukf和ekf的對(duì)目標(biāo)跟蹤性能的研究，進(jìn)一步歸納和分析了ukf對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的性能和濾波特點(diǎn)。第四部分在前文研究的基礎(chǔ)上對(duì)全文內(nèi)容作了總結(jié)。2 ukf的基本思想及理論研究2.1 非線(xiàn)性狀態(tài)估計(jì)原理如果對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)不作任何假設(shè)，那么最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計(jì)為條件均值3 （2-1） 其中是n時(shí)刻以前的觀測(cè)序列。估計(jì)這個(gè)期望值需要知道先驗(yàn)概率密度。由它不僅能夠確定最小均方誤差估計(jì)器，而且不論任何特定的性能估計(jì)都能得到最優(yōu)值。而對(duì)非線(xiàn)性狀態(tài)濾波過(guò)程的實(shí)現(xiàn)包括一步預(yù)測(cè)與測(cè)量修正兩個(gè)階段。2.1.1一步預(yù)測(cè)：根據(jù)所有過(guò)去時(shí)刻的測(cè)量信息對(duì)狀態(tài)作最小方差估計(jì) （2-2） 狀態(tài)估計(jì)質(zhì)量的優(yōu)劣利用一步預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣描述 （2-3）2.1.2測(cè)量修正：獲得當(dāng)前時(shí)刻的測(cè)量信息后，對(duì)狀態(tài)預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，得到狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì) （2-4） （2-5） （2-6） （2-7） （2-8）描述最優(yōu)狀態(tài)估值質(zhì)量?jī)?yōu)劣的誤差協(xié)方差陣確定如下 （2-9）2.2非線(xiàn)性的卡爾曼濾波 卡爾曼濾波器估計(jì)一個(gè)用線(xiàn)性隨機(jī)差分方程描述的離散時(shí)間過(guò)程的狀態(tài)變量。但是在實(shí)際的應(yīng)用中所有的系統(tǒng)都是非線(xiàn)性的，其中許多還是強(qiáng)非線(xiàn)性的，在非線(xiàn)性系中被估計(jì)的觀測(cè)變量與過(guò)程變量的關(guān)系是非線(xiàn)性的。這時(shí)我們可以應(yīng)用非線(xiàn)性估計(jì)領(lǐng)域的經(jīng)典算法ekf 4-5,15來(lái)處理非線(xiàn)性的問(wèn)題，它是將期望和方差線(xiàn)性化的卡爾曼濾波器?？紤]一般的非線(xiàn)性系統(tǒng)，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為: （2-10a） （2-10b）式中為維狀態(tài)向量，為維觀測(cè)向量，為維控制向量，為系統(tǒng)噪聲，且 ，為觀測(cè)噪聲，且。與相互獨(dú)立且與系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，并且均可以假設(shè)為高斯白噪聲，即：均值為零，方差分別為和。我們的目的就是要遞推地在每次獲得觀測(cè)量后, 估計(jì)狀態(tài)量。定義狀態(tài)量的一步預(yù)測(cè)為，其它類(lèi)推,則上述問(wèn)題在線(xiàn)性最小均方誤差意義上的線(xiàn)性最優(yōu)估計(jì)子為: （2-11）其中最的最優(yōu)預(yù)測(cè)， 為的最優(yōu)預(yù)測(cè)，稱(chēng)為卡爾曼濾波增益，卡爾曼濾波器使用來(lái)反映新息對(duì)估計(jì)的重要程度。完整的濾波公式如下所示：2.2.1擴(kuò)展卡爾曼濾波器時(shí)間更新方程： （2-12） （2-13）就像基本的離散卡爾曼濾波器，時(shí)間更新方程將狀態(tài)和協(xié)方差估計(jì)從 時(shí)刻向前推算到時(shí)刻。和是時(shí)刻的過(guò)程雅可比矩陣，是時(shí)刻的過(guò)程激勵(lì)噪聲協(xié)方差矩陣。2.2.2擴(kuò)展卡爾曼濾波器狀態(tài)更新方程: （2-14） （2-15） （2-16）就像基本的離散卡爾曼濾波器，上面三式中的測(cè)量更新方程利用觀測(cè)值變量的值校正狀態(tài)估計(jì)和協(xié)方差估計(jì)。和 是 時(shí)刻的測(cè)量雅可比矩陣，是中時(shí)刻的觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣。2.2.3通過(guò)分析，ekf算法具有如下的優(yōu)點(diǎn)：(1)未知分布的均值和協(xié)方差的獲得僅需要保存較少的信息量，但卻能支持大多數(shù)的操作過(guò)程，如確定搜索目標(biāo)的區(qū)域等。(2)均值和協(xié)方差具有線(xiàn)性傳遞性。(3)均值和協(xié)方差估計(jì)的集合能用來(lái)表征分布的附加特征，例如重要模式等。正是由于以上優(yōu)點(diǎn)，人們?nèi)匀幌Ｍ诜蔷€(xiàn)性濾波方法中應(yīng)用ekf線(xiàn)性估形式。同時(shí)，作為對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)線(xiàn)性化所帶來(lái)的副作用，ekf濾波器的缺點(diǎn)也非常的明顯：(1)必須滿(mǎn)足小擾動(dòng)假設(shè),即假設(shè)非線(xiàn)性方程的理論解與實(shí)際解之差為小量。也就是說(shuō)ekf只適合弱非線(xiàn)性系統(tǒng),對(duì)于強(qiáng)非線(xiàn)性系統(tǒng),該假設(shè)不成立,此時(shí)ekf濾波性能極不穩(wěn)定,甚至發(fā)散; (2)必須計(jì)算jacobian矩陣及其冪,這是一件計(jì)算復(fù)雜、極易出錯(cuò)的工作。(3)ekf的另外一個(gè)缺點(diǎn)是初始狀態(tài)不太好確定，如果假設(shè)的初始狀態(tài)和初始協(xié)方差誤差較大，也容易導(dǎo)致濾波器發(fā)散。2.3 uscented變換（ut）卡爾曼濾波方法為非線(xiàn)性高斯濾波提供了一種次優(yōu)的遞推式實(shí)現(xiàn)方法，它在每一步的迭代過(guò)程中均需求出隨機(jī)分布經(jīng)過(guò)非線(xiàn)性變換(函數(shù))后的均值和方差，其中ekf濾波方法等非線(xiàn)性濾波器是采用近似非線(xiàn)性函數(shù)的方法來(lái)求得。有別于傳統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法。ut變換的主要思想是“近似概率分布要比近似非線(xiàn)性函數(shù)更容易”6，它采用具有確定性的點(diǎn)集sigma點(diǎn)，來(lái)表征輸入狀態(tài)的分布(或部分統(tǒng)計(jì)特征)，然后就是對(duì)每個(gè)sigma點(diǎn)分別進(jìn)行非線(xiàn)性變換，通過(guò)加權(quán)計(jì)算捕捉到變換后的統(tǒng)計(jì)特性7，它的基本步驟可概括為: 關(guān)于 x 的 點(diǎn)( sigma- point) 集的產(chǎn)生不確定性的非線(xiàn)性變換與傳遞關(guān)于 y的統(tǒng)計(jì)特性的推算。這種方法把系統(tǒng)當(dāng)作“黑盒來(lái)處理，因而不依賴(lài)于具體的非線(xiàn)性，也不必計(jì)算jacobian矩陣。種方法的本質(zhì)，可以用圖2-1來(lái)表達(dá)：圖2-1 sigam點(diǎn)的非線(xiàn)性傳遞2.3.1構(gòu)造sigma點(diǎn)：采用對(duì)稱(chēng)采樣點(diǎn)策略時(shí)，其所選取的 sigma點(diǎn)集關(guān)于 x 的均值對(duì)稱(chēng)分布。對(duì)于均值，方差為 的n維隨機(jī)變量x，產(chǎn)生2n+1個(gè)列向量（sigma）為 ， ， ， （2-17）其中表示矩陣的第n行向量或者列向量, 而矩陣平方根的常見(jiàn)求法就是用 cholesky 8-9分解來(lái)獲得。為尺度參數(shù)，調(diào)整它可以提高逼近精度，用這組采樣點(diǎn) 可以近似表示狀態(tài) x 的高斯分布。2.3.2對(duì)sigma點(diǎn)進(jìn)行非線(xiàn)性變換 對(duì)所構(gòu)造的點(diǎn)集 進(jìn)行非線(xiàn)性變換，得到變換后的sigma點(diǎn)集 i=0,1,2n （2-18）變換后的sigma點(diǎn)集 即可近似地表示的分布。2.3.3計(jì)算y的均值和方差對(duì)變換后的sigma點(diǎn)集 進(jìn)行加權(quán)處理，從而得到輸出量y 的均值和方差。 （2-19） （2-20） （2-21） （2-22） ,i=1,2,2n （2-23）其中其中和 分別為計(jì)算的均值和方差所用加權(quán)值 ，標(biāo)量是自由參數(shù)，可以用來(lái)捕捉給定分布的高階信息，對(duì)于高斯分布，考慮到4階距的統(tǒng)計(jì)量，通常的取值為。可以證明，該sigma點(diǎn)集的輸入變量x具有相同的均值，方差和高階奇次中心距10。在均值和方差加權(quán)中需要確定 ，和 共3個(gè)參數(shù)，它們的取值范圍分別為：確定 周?chē)鷖igma點(diǎn)的分布，通常設(shè)為一個(gè)較小的正數(shù)；為第二個(gè)尺度參數(shù)，通常設(shè)置為0或3-n；為狀態(tài)分布參數(shù)，對(duì)于高斯分布 是最優(yōu)的，如果狀態(tài)變量是單變量，則最佳的選擇是。2.3.4 ut變換的特點(diǎn)如下：（1）對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，而不是對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行近似，即使系統(tǒng)的模型復(fù)雜，也不增加算法實(shí)現(xiàn)的難度。（2）所得到的非線(xiàn)性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的準(zhǔn)確性可以達(dá)到三階（泰勒展開(kāi)）。（3）不需要計(jì)算jacobin矩陣，可以處理不可導(dǎo)非線(xiàn)性函數(shù)。2.4 ukf濾波算法以上討論了在一次實(shí)現(xiàn)中如何用無(wú)味變換估計(jì)隨機(jī)量經(jīng)非線(xiàn)性映射后的統(tǒng)計(jì)特性, 但實(shí)際中更多的是要求能夠在線(xiàn)、實(shí)時(shí)、 反復(fù)地進(jìn)行估計(jì), 這就涉及到無(wú)味變換的遞推實(shí)現(xiàn)無(wú)味濾波 ( uf, unscented filtering ) 。無(wú)味濾波的實(shí)現(xiàn)很簡(jiǎn)單,是將無(wú)味變換對(duì)隨機(jī)變量經(jīng)非線(xiàn)性映射后統(tǒng)計(jì)信息的估計(jì)嵌到其它的濾波算法中。雖然并不局限于卡爾曼濾波, 但與無(wú)味變換最常見(jiàn)的結(jié)合還是卡爾曼濾波, 并被稱(chēng)為ukf。ukf濾波方法對(duì)噪聲的處理包含擴(kuò)展和非擴(kuò)展兩種方式15，前者在系統(tǒng)模型不變的情況下，將過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲隱含在系統(tǒng)中，一次迭代過(guò)程只需要產(chǎn)生一次sigma點(diǎn)集，但運(yùn)算量明顯增大；而非擴(kuò)展法則可以簡(jiǎn)化sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)，濾波實(shí)時(shí)性更好，較適合于處理加性高斯噪聲11-13。本文主要采用非擴(kuò)展形式的ukf濾波算法，對(duì)于式(2-10)描述的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，假設(shè)其狀態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲均為高斯白噪聲，方差分別為和，則濾波過(guò)程如下：2.4.1初始化根據(jù)輸入變量x的統(tǒng)計(jì)量和，選擇一種sigma點(diǎn)采樣策略，得到輸入變量的sigma點(diǎn)集，以及相對(duì)應(yīng)的均值加權(quán)值和方差加權(quán)值： （2-24）2.4.2 狀態(tài)估計(jì)(1)計(jì)算sigma點(diǎn)：其中n為選定特定的采樣策略所產(chǎn)生的sigma點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中均值附近的sigma點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離表達(dá)式將會(huì)隨著不同的采樣策略而不同：i=0 （2-25） i=1,2,n （2-26） i=n+1,2n （2-27）(2)時(shí)間更新方程（預(yù)測(cè)方程）：由系統(tǒng)狀態(tài)方程對(duì)各個(gè)采樣的輸入變量sigma點(diǎn)集中的每一個(gè)sigma點(diǎn)進(jìn)行非線(xiàn)性變換，得到變換后的sigma點(diǎn)集： （2-28）對(duì)變換后的sigma點(diǎn)集進(jìn)行加權(quán)處理，從而得到一步預(yù)測(cè)狀態(tài): （2-29）使用同樣的方法求取狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)方差陣： （2-30）根據(jù)一步預(yù)測(cè)值，再次使用ut變換，產(chǎn)生新的sigma點(diǎn)集： （2-31） , i=1,2,n （2-32） , i=n+1,2n （2-33）由非線(xiàn)性觀測(cè)方程對(duì)sigma點(diǎn)集進(jìn)行非線(xiàn)性變換： （2-34）使用加權(quán)求和計(jì)算得到系統(tǒng)的預(yù)測(cè)觀測(cè)值： （2-35）(3)測(cè)量更新方程：計(jì)算協(xié)方差 （2-36）求得系統(tǒng)量測(cè)輸出變量的方差陣： （2-37）計(jì)算濾波增益陣： （2-38）得到狀態(tài)更新后的濾波值： （2-39）求解狀態(tài)后驗(yàn)方差陣： （2-40）從以上實(shí)現(xiàn)過(guò)程可以清楚地看出，ukf濾波方法在式(2-29)、(2-30)、（2-35）、(2-36)以及(2-37)這5個(gè)均值和方差的求解上，均通過(guò)ut變換方法加權(quán)求和得到；而2.2.2小節(jié)中的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法則是對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和觀測(cè)方程進(jìn)行線(xiàn)性化求得，這便是兩者的最大不同。基于該基本ukf濾波算法，還可以構(gòu)造平方根ukf濾波器(square rootukf，srukf)6,14，它可以有效避免濾波誤差方差陣和一步預(yù)報(bào)誤差方差陣失去對(duì)稱(chēng)性和正定性，較好地解決了計(jì)算字長(zhǎng)不夠而導(dǎo)致的濾波器數(shù)值發(fā)散等問(wèn)題。2.4.3通過(guò)分析，ukf算法具有如下的特點(diǎn)： (1) ukf是對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，用一系列確定樣本來(lái)逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度，而不是對(duì)非線(xiàn)性函數(shù)進(jìn)行近似，不需要求導(dǎo)計(jì)算jacobian矩陣。（2）ukf沒(méi)有線(xiàn)性化忽略高階項(xiàng)，因此非線(xiàn)性分布統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算精度較高（3）系統(tǒng)函數(shù)可以不連續(xù)。（4）隨機(jī)狀態(tài)可以不是高斯的。3 ukf對(duì)目標(biāo)位置的狀態(tài)估計(jì)3.1 問(wèn)題提出考慮一個(gè)在二維平面x-y內(nèi)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)m，假設(shè)m在水平方向（x）作近似勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，垂直方向（y）上亦作近似勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。首先，在直角坐標(biāo)系中建立目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，在仿真中，觀測(cè)站和目標(biāo)都用質(zhì)點(diǎn)表示。觀測(cè)站與目標(biāo)的相對(duì)位置關(guān)系如圖3-1所示： 圖 3-1目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型則在笛卡爾坐標(biāo)系下該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為： (3-1) 式中其在前兩個(gè)變量表示觀測(cè)站與目標(biāo)之間的位置，中間兩個(gè)變量表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，后面兩個(gè)變量表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度。是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)噪聲向量，系統(tǒng)矩陣如下:假設(shè)一坐標(biāo)位置為（0,0）的雷達(dá)在觀測(cè)站對(duì)m進(jìn)行測(cè)距和測(cè)角，實(shí)際測(cè)量中雷達(dá)具有加性測(cè)量噪，則在笛卡爾極坐標(biāo)系下，系統(tǒng)的觀測(cè)方程為： (3-2) 顯然在笛卡爾坐標(biāo)系下，該模型運(yùn)動(dòng)觀測(cè)方程為非線(xiàn)性的。我們根據(jù)雷達(dá)測(cè)量值使用ukf算法對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，并與ekf算法結(jié)果進(jìn)行比較。3.2 問(wèn)題分析3.2.1ukf濾波跟蹤分析：考慮一般的非線(xiàn)性系統(tǒng)，狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可表示為： （3-3a） （3-3b）設(shè)具有協(xié)方差陣，具有協(xié)方差陣，ukf算法為（2-24）至（2-40）。3.2.2 ekf算法分析：對(duì)于式（2-10）討論的非線(xiàn)性系統(tǒng)，由于狀態(tài)方程為線(xiàn)性的，可以定義： （3-4a） （3-4b）由于系統(tǒng)狀態(tài)方程為線(xiàn)性的，則，而量測(cè)方程為非線(xiàn)性的，對(duì)其關(guān)于求偏導(dǎo)，則ekf算法為（2-12）至（2-16）。 （3-5）3.3實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析假設(shè)設(shè)系統(tǒng)噪聲具有協(xié)方差陣: 具有協(xié)方差陣: 二者是不相關(guān)。觀測(cè)次數(shù)n=50，采樣時(shí)間為t=0.5。初始狀態(tài)。則生成的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3-2所示。圖3-2 m的軌跡圖3.3.1 t=0.1和t=0.5時(shí)將ukf和ekf濾波結(jié)果進(jìn)行比較我們將ukf和ekf濾波算法進(jìn)行比較，如圖3-3所示。為了方便對(duì)比，我們將測(cè)量值得到的距離和角度換算到笛卡爾坐標(biāo)系中得到x-y測(cè)量值，通過(guò)分別比較值t=0.1和t=0.5時(shí)的濾波值，我們可以直觀的看到ukf算法濾波結(jié)果優(yōu)于ekf算法。 圖3-3 濾波結(jié)果對(duì)比圖3.3.2下面定量分析濾波結(jié)果首先計(jì)算ukf和ekf濾波值得到的位置、與該時(shí)刻的實(shí)際位置的距離、。為了定量地比較 ukf和ekf性能,我們定義一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的均方根誤差15為: （3-6）其中,t 表示一次實(shí)驗(yàn)的時(shí)間步長(zhǎng), 表示時(shí)刻的估計(jì)值,表示時(shí)刻的真值。對(duì)該模型做50次蒙特卡洛仿真，得到各個(gè)測(cè)量點(diǎn)（時(shí)刻）的距離均方根誤差，如圖3-4所示。在各個(gè)測(cè)量時(shí)刻ekf濾波的rmse值為3.5,ukf濾波的rmse值為2.5,由此得出ukf濾波結(jié)果優(yōu)于ekf。圖3-4 t=0.5時(shí)各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的距離rmse對(duì)比圖3.3.3采樣間隔t對(duì)濾波結(jié)果的影響下面討論不同的采樣間隔t對(duì)濾波結(jié)果的影響。我們分別取x軸方向和y軸方向預(yù)測(cè)軌跡值的距離均方根誤差，取t=0.5,1.0,1.5，得到rmse仿真結(jié)果。如下圖所示。圖3-5 采樣時(shí)間t=0.5時(shí)結(jié)果圖3-6 采樣時(shí)間t=1.0時(shí)結(jié)果圖 3-7 采樣時(shí)間t=1.5時(shí)結(jié)果從圖3-5可以看到，在采樣間隔t不太大時(shí)（t=0.5），ekf和ukf算法均能跟蹤目標(biāo)，且ukf算法濾波精度優(yōu)于ekf算法。從圖3-6可以看到，當(dāng)t=1.0時(shí)在x方向，ekf和ukf算法均能跟蹤目標(biāo)，在y方向ukf能跟蹤目標(biāo)，而ekf算法濾波發(fā)散，在圖3-7中可以看到，當(dāng)t=1.5時(shí)ukf算法跟蹤精度變化不大，ekf濾波在x方向和y方向均發(fā)散。3.3.4濾波協(xié)方差陣對(duì)角線(xiàn)比較對(duì)于ekf和ukf算法，在不同的t時(shí)，我們分別取其濾波協(xié)方差陣對(duì)角線(xiàn)的第二個(gè)元素（即y軸方向位置方差），作出位置方差變化圖如下。圖3-8 不同采樣間隔的y方向位置濾波方差變化圖出現(xiàn)上述現(xiàn)象的原因?yàn)楫?dāng)采樣間隔t增大時(shí)，非線(xiàn)性函數(shù)taylor展開(kāi)式的高階項(xiàng)無(wú)法忽略，ekf算法線(xiàn)性化（一階展開(kāi)）使得系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差，導(dǎo)致了濾波的不穩(wěn)定。由于ukf算法可以精確到二階或者三階taylor展開(kāi)項(xiàng)，所以這種現(xiàn)象不明顯，但是當(dāng)t進(jìn)一步增大，尤其是跟蹤目標(biāo)的狀態(tài)變化劇烈時(shí)，更高階項(xiàng)誤差影響不可忽略，進(jìn)而ukf算法也會(huì)發(fā)散導(dǎo)致無(wú)法跟蹤目標(biāo)。3.3.5測(cè)量誤差對(duì)濾波結(jié)果的影響。取采樣間隔不變，如t=0.5s，對(duì)于不同的測(cè)量誤差，分析其對(duì)ekf和ukf算法濾波結(jié)果的影響。分別取，結(jié)果如下: 圖8 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果圖3-9 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果 圖3-10 測(cè)量誤差陣為時(shí)濾波結(jié)果由上面四張圖對(duì)比可知，當(dāng)測(cè)量誤差較小時(shí)，ukf濾波精度優(yōu)于ekf；當(dāng)測(cè)量誤差較大時(shí)，ukf和ekf濾波精度相差不大。3.3.6實(shí)驗(yàn)分析和總結(jié)： 綜合以上分析可以看到，ukf算法對(duì)于解決非線(xiàn)性模型濾波問(wèn)題時(shí)，相對(duì)于ekf算法，它不需要計(jì)算雅克比矩陣，具有較好的濾波精度，而且在非線(xiàn)性嚴(yán)重或者高階誤差引入時(shí)，會(huì)推遲或延緩濾波發(fā)散，在測(cè)量誤差較大或者采樣時(shí)間增大時(shí)，也會(huì)降低ukf的濾波精度。同時(shí) ukf利用確定的離散采樣點(diǎn)直接逼近狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度, 由于不需計(jì)算量測(cè)方程的jacobian矩陣, 實(shí)現(xiàn)也相對(duì)簡(jiǎn)單。以上仿真表明：ukf濾波方法算法較之ekf算法在相同仿真條件下對(duì)狀態(tài)的估計(jì)更準(zhǔn)確，定位精度更高，算法對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的適應(yīng)性更強(qiáng)。4 總結(jié)ukf是近年來(lái)興起的非線(xiàn)性濾波方法, 它是將無(wú)味變換對(duì)隨機(jī)量經(jīng)非線(xiàn)性映射后統(tǒng)計(jì)信息的估計(jì)嵌入到卡爾曼的濾波算法中。對(duì)于解決大部分問(wèn)題，它是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的，因此它被廣泛應(yīng)用于非線(xiàn)性估計(jì)領(lǐng)域及系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)等領(lǐng)域。本論文圍繞ukf的基礎(chǔ)理論，對(duì)ukf在非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)應(yīng)用展開(kāi)了研究?，F(xiàn)將本文所做工作總結(jié)如下(1)回顧了卡爾曼濾波的理論基礎(chǔ)、發(fā)展過(guò)程及應(yīng)用前景，依次講述了隨機(jī)非線(xiàn)性離散系統(tǒng)的卡爾曼濾波理論，并給出了擴(kuò)展卡爾曼濾波器的數(shù)學(xué)模型，接著詳細(xì)介紹了ut (unscented transformation)的理論和算法分析，并在此基礎(chǔ)上介紹了ukf的基礎(chǔ)理論并詳細(xì)推導(dǎo)了ukf基本方程。(2)針對(duì)一個(gè)強(qiáng)非線(xiàn)性、高斯的系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題進(jìn)行仿真,將ukf和ekf兩種算法的跟蹤效果進(jìn)行比較，從理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果兩方面表明：ukf濾波方法算法較之ekf算法在相同仿真條件下對(duì)狀態(tài)的估計(jì)更準(zhǔn)確，定位精度更高，算法對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的適應(yīng)性更強(qiáng)。(3) 由于研究時(shí)間比較短、水平有限，本文沒(méi)有從理論上深入研究ukf的建模問(wèn)題和系統(tǒng)特性，也沒(méi)有對(duì)ukf的濾波算法進(jìn)行改進(jìn)，在今后的研究中，要改善ukf算法，提高ukf濾波器的精確性、跟蹤能力。參考文獻(xiàn)1julier s,uhlmann j,durrant-whyte h f.a new methodfor the nonlinear transformation of means and 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