學(xué)科教育論文-論概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的作用.doc

學(xué)科教育論文-論概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡(luò)在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的作用摘要：數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，任一數(shù)學(xué)概念都由若干數(shù)學(xué)概念聯(lián)系而成；只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)概念的不同表示之間的聯(lián)系，才能透徹理解數(shù)學(xué)概念；概念學(xué)習(xí)實(shí)際上就是通過建立概念之間內(nèi)在的以及概念的不同表象之間的各種聯(lián)系，使之形成概念網(wǎng)絡(luò)。只有透徹了解概念聯(lián)系與概念網(wǎng)絡(luò)的含義、特征、類型、對數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的影響，才能有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。關(guān)鍵詞：聯(lián)系；網(wǎng)絡(luò)；數(shù)學(xué)概念；學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教育研究者已逐漸認(rèn)識到，數(shù)學(xué)概念之間具有聯(lián)系性，任一數(shù)學(xué)概念都由若干數(shù)學(xué)概念聯(lián)系而成；只有建立數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)概念的不同表示之間的聯(lián)系，才能透徹理解數(shù)學(xué)概念。概念學(xué)習(xí)實(shí)際上就是通過建立概念之間內(nèi)在的以及概念的不同表象之間的各種聯(lián)系，使之形成概念網(wǎng)絡(luò)。一、概念聯(lián)系（一）概念聯(lián)系的含義“概念聯(lián)系”可分為兩種：不同概念之間的聯(lián)系與同一概念的各種聯(lián)系。這兩種聯(lián)系又各有數(shù)學(xué)角度的聯(lián)系與心理學(xué)角度的聯(lián)系。這些理解互有重疊，有時互相沖突，因而給“聯(lián)系”的理解與建立帶來困難。1.不同概念之間的聯(lián)系。因?yàn)閷W(xué)生大多接觸的不是一個獨(dú)立的概念，而是以某概念為中心的一個概念群，所以，建立概念之間的邏輯聯(lián)系就十分重要。這些聯(lián)系包括數(shù)學(xué)中各種關(guān)系（運(yùn)算、邏輯連接、變換等）以及各種抽象（強(qiáng)抽象、弱抽象、廣義抽象等）。從心理學(xué)角度看，這些不同概念之間的聯(lián)系，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念的意義是從多種情境中提取出來的，但是，要分析每一種情境又不能只用一種概念，而要用到好幾種概念。這就是“概念域”的思想。因此，“學(xué)習(xí)概念不是學(xué)習(xí)一個個孤立的概念，而同時是建立眾多概念之間的聯(lián)系”，“每一概念都具有一定的復(fù)雜程度，特別是，只有在與其他概念所形成的網(wǎng)絡(luò)中才能全面理解它”。1(125)2.同一概念的相關(guān)聯(lián)系。在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為同一概念的內(nèi)部邏輯結(jié)構(gòu)、同一概念和各種等價表示之間的聯(lián)系以及與具體模型相聯(lián)系的外部表示之間的抽象。在心理學(xué)上表現(xiàn)為三種聯(lián)系，即所謂的外部聯(lián)系、內(nèi)部聯(lián)系、內(nèi)外聯(lián)系。外部聯(lián)系指同一概念的不同表示（圖形的、符號的、語言的、實(shí)物的）之間的聯(lián)系。內(nèi)部聯(lián)系指內(nèi)部表征將表象進(jìn)行相連的內(nèi)容，包括不同心理表征之間的轉(zhuǎn)換并進(jìn)而整合出概念意象。這種聯(lián)系也是對外部概念表象進(jìn)行辨認(rèn)、識別、加工的過程。它是一種動態(tài)的、變化的、活躍的、沒有結(jié)構(gòu)的、不牢固的過程，具有場性、彌散性、歪曲性。如何建立外部的學(xué)習(xí)內(nèi)容與內(nèi)部的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系（內(nèi)外聯(lián)系），一直是數(shù)學(xué)教育的研究課題，也是教育心理學(xué)研究的重要內(nèi)容，皮亞杰、奧蘇貝爾、布魯納、建構(gòu)主義學(xué)說已有很多理論與假設(shè)。但這一切都是建立在假設(shè)“學(xué)生內(nèi)在已有一個認(rèn)知結(jié)構(gòu)”基礎(chǔ)上的。內(nèi)外聯(lián)系實(shí)際上是思維的轉(zhuǎn)換，包括監(jiān)控、調(diào)節(jié)、組合、評價、決策等，指從內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)中排出序狀的聯(lián)系提供給外部，同時把外部的內(nèi)容轉(zhuǎn)換給內(nèi)部，激活內(nèi)部相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)。這是對概念內(nèi)外聯(lián)系的一種理解。概念的內(nèi)外聯(lián)系還表現(xiàn)為外部表示形式與內(nèi)部的表示之間的轉(zhuǎn)換上。這就是GerardVergnaud提到的被表示物（思維對象）和表示物（外部表示）之間的聯(lián)系。這些聯(lián)系尤其表現(xiàn)在外部語言、書寫記號所構(gòu)成的外部表示系統(tǒng)與學(xué)生個人的內(nèi)部表征形式之間的聯(lián)系上。“書寫的記號必須在內(nèi)部表示為數(shù)學(xué)的對象而不是在紙上代表了別的東西的記號”。2(147)關(guān)于概念內(nèi)外聯(lián)系的第三種理解是社會建構(gòu)主義的思想。鑒于過去研究只是對概念的“客觀意義”（教材中的標(biāo)準(zhǔn)定義）的把握，這種理論提出對概念的理解要從“主觀”的角度進(jìn)行，“理解一件事物表示把這件事物同化入一個適當(dāng)?shù)膕chema之中”，3(36)從而獲得該事物的確切的意義。究竟如何才能使“外化”了的數(shù)學(xué)對象重新轉(zhuǎn)化成思維的內(nèi)在成分呢？“顯然，這并非是在頭腦中機(jī)械地重復(fù)有關(guān)對象的形式定義，而主要是一個意義賦予的過程，也即應(yīng)當(dāng)把新的概念納入到主體已有的認(rèn)知框架之中，從而成為可以理解的和有意義的”。1(94)實(shí)際上，所謂的內(nèi)外聯(lián)系就是個體對外部的解釋過程，使外部內(nèi)容變成個體的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)的一部分。（二）概念聯(lián)系的方式由于對概念的聯(lián)系的理解有多層意義，因而有關(guān)概念聯(lián)系的方式也是多樣的：1.在不同概念之間，從數(shù)學(xué)角度看，聯(lián)系的方式有抽象，包括強(qiáng)抽象、弱抽象、廣義抽象等。從心理學(xué)角度看，不同概念之間的聯(lián)系還包括描述、類比、比喻等。2.對于同一數(shù)學(xué)概念，從數(shù)學(xué)角度考察，外部不同表示之間的聯(lián)系方式有變換，系統(tǒng)內(nèi)為等價變換，系統(tǒng)之間為同構(gòu)變換，非系統(tǒng)之間有擬同構(gòu)變換（含比喻、類比等）。從心理學(xué)角度考察：“同一概念的不同表示形式之間的聯(lián)系通常是基于相似關(guān)系和判別關(guān)系”，在建成概念內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)時，其內(nèi)部聯(lián)系包括包含關(guān)系與歸類關(guān)系等。2(134-140)（三）概念聯(lián)系的特征概念聯(lián)系的特征與聯(lián)系的含義緊密相連。反映數(shù)學(xué)概念形式化、結(jié)構(gòu)化方面的聯(lián)系實(shí)際上是數(shù)學(xué)的關(guān)系與抽象，這些聯(lián)系是穩(wěn)定的。而反映數(shù)學(xué)概念的各種表象之間的聯(lián)系，又多與變換緊密相連，它反映數(shù)學(xué)概念心理表征的特征，這些聯(lián)系是活躍的、變化的、不穩(wěn)定的。這里只討論后一種概念聯(lián)系的特征。1.概念聯(lián)系的靈活性數(shù)學(xué)概念的內(nèi)部聯(lián)系并不是呆板的、機(jī)械的、固定的，而是靈活的、變化的。這種靈活性表現(xiàn)為對“熟悉”概念能迅速建立聯(lián)系，對“陌生”概念采取“回避”的態(tài)度。在學(xué)習(xí)運(yùn)用中，常常自覺地與距離較遠(yuǎn)的熟悉概念建立聯(lián)系，而不愿與較近的陌生概念建立聯(lián)系。因此，在內(nèi)部表征中，每個學(xué)生的概念網(wǎng)絡(luò)也不相同，在理解概念與運(yùn)用概念時，各個學(xué)生啟用的“聯(lián)系”也有很大的差別。2.概念聯(lián)系的穩(wěn)定性概念聯(lián)系的穩(wěn)定性指概念之間的聯(lián)系程度有強(qiáng)弱之分。相對來說，每一概念都由一批與之有較強(qiáng)聯(lián)系的概念支持著。對于不同學(xué)生來說，這些概念是不同的。然而，聯(lián)系程度較強(qiáng)的概念愈豐富，所建立的概念就愈容易理解。在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，有一些概念容易發(fā)生理解困難，究其原因，可能與同這個概念聯(lián)系密切的概念太少有關(guān)。研究表明，建立一個概念的穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)有利于概念的學(xué)習(xí)與理解，但也會造成理解的障礙。這是由于聯(lián)系較強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)相對穩(wěn)定，定勢不易打破，會帶來發(fā)展變化上的阻礙，影響新的概念學(xué)習(xí)。3.概念聯(lián)系的變化性概念聯(lián)系幾乎隨概念與背景的改變而發(fā)生變化。同樣，一種聯(lián)系在不同的兩組概念中的作用差異很大。當(dāng)概念本身的內(nèi)容發(fā)生變化時，概念之間的聯(lián)系也發(fā)生變化，包括聯(lián)系的強(qiáng)弱程度、距離長短的選擇等。當(dāng)新的聯(lián)系建立后，原有的聯(lián)系會自動地改變或消失，但在建立新的聯(lián)系時，舊有的聯(lián)系在起促進(jìn)作用的同時，也阻礙著新的聯(lián)系的建立。4.概念聯(lián)系的整合性概念之間聯(lián)系的靈活性、變化性、穩(wěn)定性，并非是自由散亂的，而是有目標(biāo)的，它們時刻保持系統(tǒng)的整合性。調(diào)查表明，當(dāng)學(xué)生接觸一個數(shù)學(xué)概念時，即使他只建立極少的聯(lián)系，也會由這些聯(lián)系整合出概念的一個表象來，盡管這個表象是不完整的、扭曲的、錯誤的。在概念表征調(diào)查中，有大量的事例可以說明這一點(diǎn)。這種自覺的整合有利于整個概念的獲得，隨著新的聯(lián)系的建立、不斷整合，概念便不斷獲得新的理解，進(jìn)而達(dá)到完善。然而，這種整合，也會造成過早的不恰當(dāng)?shù)谋硐蠼?，造成學(xué)生理解上的滯?；蝈e誤。5.概念聯(lián)系的生長性學(xué)生學(xué)習(xí)是主動建構(gòu)的，而非被動接受已經(jīng)形式化的內(nèi)容。這種建構(gòu)是通過和外部的表象的不斷聯(lián)系來完成的，“學(xué)生創(chuàng)造出自己的內(nèi)部表示和建立自己的表示網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生在構(gòu)造過程中關(guān)鍵的一面是他們的創(chuàng)造發(fā)明”。2(152)實(shí)際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，會不斷地發(fā)明出許多方法，這些方法“聰明”地建立與外界的聯(lián)系，并“巧妙”地建立自己的內(nèi)部聯(lián)系與網(wǎng)絡(luò)。在概念表征的調(diào)查中，我們見到學(xué)生很少論述概念的形式定義，他們創(chuàng)造出各種巧妙的表征概念的方式，建立概念之間的聯(lián)系。這種發(fā)明對學(xué)生學(xué)習(xí)概念具有積極作用，發(fā)明使得概念聯(lián)系具有生長力或繁殖性。然而，聯(lián)系的生長性、理解的創(chuàng)造性發(fā)明，也有其消極的一面，學(xué)生會根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，盲目地進(jìn)行發(fā)明創(chuàng)造，建立不恰當(dāng)?shù)穆?lián)系。例如將實(shí)數(shù)概念推廣到復(fù)數(shù)中去，在x的調(diào)查中，學(xué)生把實(shí)數(shù)中的性質(zhì)推廣到了復(fù)數(shù)中。在差生的概念表征中，許多錯誤就在于建立這種錯誤的發(fā)明，使聯(lián)系錯誤地不恰當(dāng)?shù)厣L著。6.概念聯(lián)系的相依性概念只有在概念網(wǎng)絡(luò)中才能獲得意義，單獨(dú)一個概念是無法理解的。概念聯(lián)系也是這樣，它們必須在與概念相連的網(wǎng)絡(luò)中才能存在。概念之間的聯(lián)系、概念內(nèi)部表象與外部表示之間的聯(lián)系都依賴于整個網(wǎng)絡(luò)的豐富與靈活程度。單獨(dú)的或少量的聯(lián)系是無法存在的，而且容易發(fā)生改變，這時與之相聯(lián)的信息也容易變質(zhì)。相反，當(dāng)一個信息與一個較大的網(wǎng)絡(luò)建立豐富的聯(lián)系時，聯(lián)系可得以存在，與之相聯(lián)的信息才容易得到恢復(fù)。概念是靠概念間聯(lián)系建立的，而聯(lián)系又同樣依存于它所聯(lián)系的概念之間。二、概念網(wǎng)絡(luò)（一）概念網(wǎng)絡(luò)的含義關(guān)于概念網(wǎng)絡(luò)（conceptnetwork）的理解也是在多種意義下進(jìn)行的。第一類是關(guān)于知識邏輯建構(gòu)的系統(tǒng)，這是相對穩(wěn)定的。第二類是心理內(nèi)部表征的系統(tǒng)，是比較靈活的、變化的，是一種過程。本文只討論后一類。這一類又含有兩種意義。一種是思想，即概念是與各種概念或其他事物、背景相聯(lián)系的整體。概念不是孤立的，而是處于一個復(fù)雜的聯(lián)系的系統(tǒng)中。談及概念時，不僅指一個詞，一個對象，也指激活有關(guān)這個概念所在的一個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。皮亞杰的認(rèn)知圖式、認(rèn)知結(jié)構(gòu)理論也含有這種思想。另一種是具體建立的各種內(nèi)部表征的網(wǎng)絡(luò)模型（networkmodel），用以解釋概念內(nèi)部表征?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)中廣泛使用的是語義網(wǎng)絡(luò)或符號網(wǎng)絡(luò)模型?！胺柧W(wǎng)絡(luò)模型中的概念通常用節(jié)點(diǎn)（nodes）來表示，這里所顯示的節(jié)點(diǎn)通過箭頭與另一個節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)。這個簡單的規(guī)定表明概念之間所有可能的聯(lián)系”。4(155)如下頁圖就是符號網(wǎng)絡(luò)模型的一小部分，“為了表示記憶中的概念，圖形給出兩種東西：框面和箭頭，框面表示概念”，箭頭有兩個重要的特性：“第一，它們是有方向的”，方向不同，理論意義不同；“第二，它們是有名稱的，至今有三類名稱特性、例子和類別”。5現(xiàn)代研究者反復(fù)提醒，概念內(nèi)部的網(wǎng)絡(luò)不同于外部知識的形式網(wǎng)絡(luò)，盡管他們不得已用語詞或符號來描述這種網(wǎng)絡(luò)，“雖然我（們）所看到的所有模型好像都由詞和箭頭組成，但是節(jié)點(diǎn)被認(rèn)為是表象概念而不是詞心理事件的表象（不是復(fù)制），一定比單詞本身復(fù)雜得多”。4(155)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)通過大量研究證實(shí)：“在幾乎每一個從永久記憶的提取活動中都包括情景記憶和語義記憶”。4(156)將概念的相關(guān)性信息用上面的圖逐級相連，便形成記憶或內(nèi)部表征中有意義（語義）的各成分之間相互聯(lián)結(jié)的網(wǎng)，這就構(gòu)成概念網(wǎng)絡(luò)。語義網(wǎng)絡(luò)是通過指示符或關(guān)系把節(jié)點(diǎn)彼此相聯(lián)結(jié)而成的。（二）概念網(wǎng)絡(luò)的形式概念網(wǎng)絡(luò)的模型有多種，如TLC層次模型，激活擴(kuò)散模型等。TLC網(wǎng)絡(luò)模型認(rèn)為，“貯存在知識系統(tǒng)里的信息是由單位、特征和指向聯(lián)結(jié)所組成的，并以分層形式構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)”。7語義知識便可以表征為一種由相互聯(lián)結(jié)的概念組成的網(wǎng)絡(luò)。而這個網(wǎng)絡(luò)又是具有層次性的。層次網(wǎng)絡(luò)模型對語句的加工，主要通過搜尋，即將語句中所涉及的主項(xiàng)概念與賓項(xiàng)概念放入記憶網(wǎng)絡(luò)，尋找這兩個節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來的通道，看與語句中的論斷是否相符。針對TLC的缺點(diǎn)，激活擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò)模型認(rèn)為，“第一，聯(lián)結(jié)兩個概念的直線長度具有理論意義，直線越短，概念聯(lián)系越緊密。第二，類似于TLC，激活擴(kuò)散模型假設(shè)上級關(guān)系以是一種聯(lián)結(jié)來表示，然而這個模型比TLC先進(jìn)在于它也包括一些不是一種的聯(lián)結(jié)”。4(161)這種理論表明，在回答某問題時，首先進(jìn)入有關(guān)語義網(wǎng)絡(luò)中，使一個節(jié)點(diǎn)得以激活，激活的節(jié)點(diǎn)又向外激活其他概念節(jié)點(diǎn)。首先被激活的是與這個概念關(guān)系密切的直接相連的節(jié)點(diǎn)，然后又激活與之相連的節(jié)點(diǎn)，形成擴(kuò)散的網(wǎng)絡(luò)。同時，這種理論也表明，在學(xué)習(xí)與搜尋概念時往往并不是按TLC網(wǎng)絡(luò)那樣進(jìn)行逐級逐層搜尋的，有許多關(guān)系的知識是在網(wǎng)絡(luò)中直接預(yù)存的，以避免掃描記憶。這實(shí)質(zhì)上與傳統(tǒng)的認(rèn)知心理學(xué)中的圖式意義有些相近。在新手與專家的概念學(xué)習(xí)上，往往就體現(xiàn)這種層次搜尋上的差異，專家往往是對“塊”進(jìn)行搜尋，而新手往往是對單個概念進(jìn)行搜尋。在數(shù)學(xué)教育研究的現(xiàn)代文獻(xiàn)中，有關(guān)概念網(wǎng)絡(luò)的思想多與這兩種模型有關(guān)。對于內(nèi)部的聯(lián)系，研究者提出：“當(dāng)建成了概念的內(nèi)部表示之間關(guān)系時，就會產(chǎn)生知識的網(wǎng)絡(luò)”，“網(wǎng)絡(luò)可以像垂直的譜系或是像蜘蛛網(wǎng)一樣的結(jié)構(gòu)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)像譜系那樣時，有些表示法包括其他的表示法作為更一般的內(nèi)部的或下面的細(xì)節(jié)”，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)像蛛網(wǎng)時，“節(jié)點(diǎn)就可以認(rèn)為是所表示的各條信息，而中間的線就是它們的聯(lián)系或關(guān)系。蛛網(wǎng)中的全部節(jié)點(diǎn)最終是聯(lián)結(jié)著的，因而就可以按照已建立了的聯(lián)結(jié)在它們之間漫游”。2(134)這實(shí)質(zhì)就是TLC模型和激活擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò)模型的滲透與運(yùn)用。從縱向和橫向?qū)W(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，縱向（譜系）反映層次，反映不同水平（集合）上的概念，橫向（蛛網(wǎng)），反映同一水平上的結(jié)構(gòu)，構(gòu)成同一水平上整體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)?？v向反映著抽象、凝聚等特征，橫向反映著等價、同構(gòu)等變換。兩者之間的聯(lián)系也有本質(zhì)的不同。在前述文中，我們提到過概念概念群概念域概念系統(tǒng)的思想，也可以視做層次與結(jié)構(gòu)的思想。綜上分析，關(guān)于數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)的形式，我們可以給出下述五種模型。（三）概念網(wǎng)絡(luò)的特征針對數(shù)學(xué)概念的特征，數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)具有層次性、靈活性、兼融性、相依性、生長性。1.層次性。數(shù)學(xué)概念內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)盡管反映的是概念的內(nèi)部表征，其中概念的節(jié)點(diǎn)可以是表象等非形式成分，聯(lián)系也未必是數(shù)學(xué)關(guān)系，可以是比喻、模擬等關(guān)系。但這個內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)在不斷整合中仍是清晰地反映