高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課件：隨機(jī)數(shù)與幾何概型-2.ppt

1.如圖，一只轉(zhuǎn)盤(pán)均勻分成8部分，每一部分標(biāo)有18個(gè)數(shù).現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，則轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向偶數(shù)的概率是（ ）,D,A.,B.,C.,D.,根據(jù)標(biāo)有偶數(shù)與奇數(shù)所占面積相等,由幾何概型公式易得指針指向偶數(shù)的概率是 ,選D.,2.在2升的水中有一個(gè)草履蟲(chóng)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出0.3升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲(chóng)的概率是（ ） A. B. C. D. 由于取水樣的隨機(jī)性，所求事件“在取出0.3升的水樣中有草履蟲(chóng)”的概率等于水樣的體積與總體積之比,B,3.某公共汽車(chē)站每隔5分鐘有一輛汽車(chē)到達(dá)，乘客到達(dá)汽車(chē)站的時(shí)刻是任意的，則一個(gè)乘客候車(chē)時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率是（ ） A. B. C. D. 因?yàn)殡x上一次公共汽車(chē)通過(guò)后的2分鐘到5分鐘的任一時(shí)刻乘客到站，候車(chē)都不超過(guò)3分鐘，所以P(A)= ，故選C.,C,4.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓.在圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆，則黃豆落到圓內(nèi)的概率是 .,正方形的面積為4，圓的面積為，所以黃豆落到圓內(nèi)的概率為 ，填 .,5.設(shè)P為圓周上一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與P連接，則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率為 . 當(dāng)弦長(zhǎng)等于半徑時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，設(shè)事件A為“弦長(zhǎng)超過(guò)半徑”， 則 填 . 易錯(cuò)點(diǎn)：事件區(qū)域的確定.本題是與角度有關(guān)的幾何概型.,1.幾何概型 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型. 幾何概型有如下特點(diǎn) (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)； (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.,2.幾何概型的概率公式： 3.隨機(jī)數(shù) 隨機(jī)數(shù)就是在一定的范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣.,P(A)=,構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積),試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積),重點(diǎn)突破：與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 在長(zhǎng)為10 cm的線段AB上取一點(diǎn)G，并以AG為半徑作一個(gè)圓，則圓的面積介于 36 cm2到64 cm2的概率為 . 點(diǎn)G隨機(jī)地落在線段AB上，故試驗(yàn)所有點(diǎn)所在的區(qū)域?yàn)榫€段AB.圓的面積介于36 cm2到64 cm2，即圓的半徑介于6 cm到8 cm之間，與A相距6 cm到8 cm的區(qū)域即為構(gòu)成圓的面積介于36 cm2到64 cm2的事件.,因?yàn)槭录M(mǎn)足幾何概型，事件發(fā)生的總區(qū)域?yàn)榫€段AB，其長(zhǎng)度為10cm. 設(shè)“圓的面積介于36 cm2到64 cm2”為事件B，當(dāng)點(diǎn)G與A相距6 cm到8 cm時(shí)，以AG為半徑的圓，其面積介于36 cm2到64 cm2，故滿(mǎn)足“圓的面積介于36 cm2到64 cm2”的點(diǎn)所在的區(qū)域的線段長(zhǎng)度為2 cm. 所以,我們將每一個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解.解答本類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將基本事件的全部及其事件A包含的基本事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解.,如圖，A、B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問(wèn)A與C，B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少? 記事件E為：“A與C，B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，事件E構(gòu)成的區(qū)域?yàn)橹虚g這一部分，由于中間長(zhǎng)度為30 =10米，所以,重點(diǎn)突破：與面積(體積)有關(guān)的幾何概型 一只螞蟻在邊長(zhǎng)分別為6,8,10的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的地方的概率為（ ） A. B. C. D.,D,事件發(fā)生的區(qū)域?yàn)锳BC平面區(qū)域，“恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2”的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分區(qū)域，屬于幾何概型中的面積比問(wèn)題.,由題意可知三角形為直角三角形.如圖，陰影部分的面積為S= 68- 22=24-2，所以恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的地方的概率為 選D.,直接求陰影部分的面積比較困難，因此轉(zhuǎn)化為求三部分扇形面積，體現(xiàn)“正難則反”的化歸與轉(zhuǎn)化思想；緊接著，求三部分扇形面積時(shí)，考慮扇形的半徑均為2，且所對(duì)應(yīng)的圓心角的和為，剛好可組成半圓，基于此，利用“補(bǔ)形”思想方法，這都是解題常用的策略，需要加強(qiáng)訓(xùn)練.,在平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn)；A（0,0）、B（2,0）、C（1, ）、D（3,2），若向ABD內(nèi)隨機(jī)投擲一質(zhì)點(diǎn)，則它落在ACB內(nèi)的概率為（ ） A. B. C. D.,C,在平面直角坐標(biāo)系作出點(diǎn)的坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)ACB區(qū)域在ABD區(qū)域的內(nèi)部， 所以質(zhì)點(diǎn)落在ACB內(nèi)的概率為 ，,選C.,重點(diǎn)突破：隨機(jī)模擬 右圖的矩形，長(zhǎng)為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則可以估計(jì)出陰影部分的面 積約為 .,隨機(jī)撒一把黃豆，每個(gè)黃豆落在矩形內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的，落在每個(gè)區(qū)域的黃豆數(shù)與這個(gè)區(qū)域的面積近似成正比， 即 從此入手，即可估計(jì)出陰影部分的面積.,陰暗部分的面積,矩形的面積,落在陰暗部分的黃豆數(shù),落在矩形的黃豆數(shù),，,矩形面積為52=10，故陰影部分的面積約為 本例啟發(fā)我們，利用幾何概型，并通過(guò)隨機(jī)模擬方法可以近似估算不規(guī)則圖形的面積，這就是數(shù)學(xué)的價(jià)值.,y0 x+y-20 x-y+20 構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镈，又知區(qū)域D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都在區(qū)域M內(nèi).為了測(cè)算區(qū)域M的面積，向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋入10000個(gè)質(zhì)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，落在區(qū)域D內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)有2500個(gè)，則區(qū)域M的面積大約是16.,的點(diǎn)（x,y）,設(shè)滿(mǎn)足,y0 x+y-20 x-y+20 域?yàn)槿切?，其面積為 42=4， 故區(qū)域M的面積大約為 填16.,滿(mǎn)足,的點(diǎn)（x,y）構(gòu)成的區(qū),已知三個(gè)正數(shù)a,b,c滿(mǎn)足abc. ()若a,b,c是從 中任取的三 個(gè)數(shù)，求a,b,c能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的概率； ()若a,b,c是從(0,1)中任取的三個(gè)數(shù)，求a,b,c能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的概率.,注意到a,b,c取值范圍的不同，應(yīng)認(rèn)真探究概率模型.在第()問(wèn)中，a,b,c是從有限個(gè)數(shù)值中選取，故為古典概型；在第()問(wèn)中，a,b,c是從無(wú)限個(gè)數(shù)值中選取，故為幾何概型，且可轉(zhuǎn)化面積比的問(wèn)題. ()若a,b,c能構(gòu)成三角形，則a+bc,c . 若c= 時(shí)，b= ,a= ，有1種； 若c= 時(shí)，b= ,a= , ，有2種；,同理c= 時(shí)，有3+1=4種；c= 時(shí)，有4+2=6種； c= 時(shí)，有5+3+1=9種；c= 時(shí)，有6+4+2=12種. 于是共有1+2+4+6+9+12=34種. 從 中任取的三個(gè)數(shù)a,b,c（abc）的方法數(shù)有84種， 所以a,b,c能構(gòu)成三角形的概率,()a、b、c能構(gòu)成三角形的充要條件是 0c, 0c1.,在坐標(biāo)系aOb內(nèi)畫(huà)出滿(mǎn)足以上條件的區(qū)域(如圖陰影部分)，由幾何概型的,計(jì)算方法可知，求陰影部分的面積與圖中正方形的面積比即可. 又S陰影= ，于是所要求的概率,本題涉及幾何概型和古典概型，題目簡(jiǎn)捷明了，有助于認(rèn)識(shí)幾何概型和古典概型的區(qū)別與聯(lián)系；其次，在解決幾何概型問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先根據(jù)題意確定是與長(zhǎng)度、角度、面積還是體積有關(guān)的模型，然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的計(jì)算公式求解.,1.幾何概型與古典概型的異同點(diǎn) 幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型.兩者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的，不同點(diǎn)是基本事件數(shù)一個(gè)是有限的，一個(gè)是無(wú)限的.基本事件可以抽象為點(diǎn)，對(duì)于幾何概型，這些點(diǎn)盡管是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).,2.幾何概型概率的適用條件 使用幾何概型的概率計(jì)算公式時(shí)，一定要注意其適用條件：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例.同時(shí)要注意判斷基本事件的等可能性，這需要嚴(yán)謹(jǐn)思維，切忌想當(dāng)然，需要從問(wèn)題的實(shí)際背景中去判斷.,1.（2009福建卷）點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長(zhǎng)度小于1的概率為 . 圓周上使弧 的長(zhǎng)度為1的點(diǎn)M有兩個(gè)，設(shè)為M1、M2，則過(guò)A的圓弧 長(zhǎng)度為2，B點(diǎn)落在優(yōu)弧 上就能使劣弧 的長(zhǎng)度小于1，所以劣弧 的長(zhǎng)度小于1的概率為 ，填 .,幾何概型是高中新課程新增的內(nèi)容，考查形式多樣靈活，可以與現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題廣泛結(jié)合.利用幾何概型方法將概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度比、面積比、體積比問(wèn)題是解決該類(lèi)問(wèn)題的常用手段，簡(jiǎn)單線性規(guī)劃、解三角形及定積分是解決該類(lèi)問(wèn)題的主要工具.,2.（2009遼寧卷）ABCD為長(zhǎng)方形，AB=2，BC=1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形AB