函數的最大值與最小值(10).ppt

函數的最大值 與最小值,一、復習與引入,1.當函數f(x)在x0處連續(xù)時,判別f(x0)是極大(小)值的方 法是: 如果在x0附近的左側 右側 ,那么,f(x0) 是極大值; 如果在x0附近的左側 右側 ,那么,f(x0) 是極小值.,2.導數為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充 分條件.極值只能在函數不可導的點或導數為零的點 取到.,3.在某些問題中,往往關心的是函數在一個定義區(qū)間上, 哪個值最大,哪個值最小,而不是極值.,二、新課函數的最值,觀察右邊一個定義在區(qū)間a,b上的函數y=f(x)的圖象.,發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，_是極大值，在區(qū)間上的函數的最大值是_，最小值是_。,問題在于如果在沒有給出函數圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,設函數f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內可導,則求f(x) 在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：,:求y=f(x)在(a，b)內的極值(極大值與極小值);,:將函數y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)作比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.,求函數的最值時,應注意以下幾點:,(1)函數的極值是在局部范圍內討論問題,是一個局部概 念,而函數的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍 內討論問題,是一個整體性的概念.,(2)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數一定有最值.開區(qū)間(a,b)內 的可導函數不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極 值必是函數的最值.,(3)函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個, 而函數的極值則可能不止一個,也可能沒有極值,并且 極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值),但除端點 外在區(qū)間內部的最大值(或最小值),則一定是極大值 (或極小值).,(4)如果函數不在閉區(qū)間a,b上可導,則在確定函數的最 值時,不僅比較該函數各導數為零的點與端點處的值, 還要比較函數在定義域內各不可導的點處的值.,(5)在解決實際應用問題中,如果函數在區(qū)間內只有一個 極值點(這樣的函數稱為單峰函數),那么要根據實際 意義判定是最大值還是最小值即可,不必再與端點的 函數值進行比較.,三、例題選講,例1:求函數y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小 值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,當x變化時, 的變化情況如下表:,從上表可知,最大值是13,最小值是4.,例2:求函數 在區(qū)間-1,3上的最大值與 最小值.,解:,令 ,得,相應的函數值為:,又f(x)在區(qū)間端點的函數值為:f(-1)=6,f(3)=0,比較得, f(x)在點 處取得最大值 在點 處取得最小值,延伸 :設 ,函數 的最 大值為1,最小值為 ,求常數a,b.,解:令 得x=0或a.,當x變化時, ,f(x)的變化情況如下表:,由表知,當x=0時,f(x)取得極大值b,而f(0)f(a),f(0) f(-1),f(1)f(-1).故需比較f(1)與f(0)的大小.,f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值為f(0)=b,故b =1.,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值為f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以,四、應用,1.實際問題中的應用.,在日常生活、生產和科研中,常常會遇到求函數的 最大(小)值的問題.建立目標函數,然后利用導數的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路.,在建立目標函數時,一定要注意確定函數的定義域.,在實際問題中,有時會遇到函數在區(qū)間內只有一個點使 的情形,如果函數在這個點有極大(小)值, 那么不與端點值比較,也可以知道這就是最大(小)值. 這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間.,滿足上述情況的函數我們稱之為“單峰函數”.,例1:在邊長為60cm的正 方形鐵皮的四角切去相等 的正方形,再把它的邊沿虛 線折起(如圖),做成一個無 蓋的方底箱子,箱底邊長為 多少時,箱子的容積最大?最大容積是多少?,解:設箱底邊長為x,則箱高h=(60-x)/2.箱子容積 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).,令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 16000.,由題意可知,當x過小(接近0)或過大(接近60)時,箱子的容積很小,因此,16000是最大值.,答:當x=40cm時,箱子容積最大,最大容積是16000cm3.,類題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時,它的高與底半徑 應怎樣選取,才能使所用的材料最省?,解:設圓柱的高為h,底半徑為r,則表面積S=2rh+2r2.,由V=r2h,得 ,則,令 ,解得 ,從而 ,即h=2r.,由于S(r)只有一個極值,所以它是最小值.,答:當罐的高是底半徑兩倍時,所用的材料最省.,解:設DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.,又設鐵路上每噸千米的運費為3t元,則公路上每噸千米的運費為5t元.這樣,每噸原料從供應站B運到工廠C的總運費為,令 ,在 的范圍內有 唯一解x=15.,所以,當x=15(km),即D點選在距A點15千米時,總運費最省.,注:可以進一步討論,當AB的距離大于15千米時,要找的 最優(yōu)點總在距A點15千米的D點處;當AB之間的距離 不超過15千米時,所選D點與B點重合.,練習:已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內接于這個圓 錐體并且體積最大的圓柱體的高h.,答:設圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當h=H/3 時, 圓柱體的體積最大.,解:設細桿與另一走廊一邊夾角為 又設另一走 廊的寬為y.,令,由于y()只有一個極大值,所以它是最大值,這時,故另一走廊的寬度至少是,解:設B(x,0)(0x2), 則 A(x, 4x-x2).,從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積 為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令 ,得,所以當 時,因此當點B為 時,矩形的最大面積是,2.與數學中其它分支的結合與應用,例2:已知x,y為正實數,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.,解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.,設 ,由x,y為正實數得:,設,令 ,得 又,又f(0)=f()=0,故當 時,例3:證明不等式:,證:設,則,令 ,結合x0得x=1.,而01時, ,所以x=1是f(x)的極小值點.,所以當x=1時,f(x)取最小值f(1)=1.,從而當x0時,f(x)1恒成立,即: 成立.,五、小結,1.求在a,b上連續(xù),(a,b)上可導的函數f(x)在a,b上的 最值的步驟: (1)求f(x)在(a,b)內的極值; (2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個 是最大值,最小的一個是最小值.,2.求函數的最值時,應注意以下幾點:,(1)要正確區(qū)分極值與最值這兩個概念.,(2)在a,b上連續(xù),(a,b)上可導的函數f(x)在(a,b)內未 必有最大值與最小值.,(3)一旦給出的函數在(a,b)上有個別不可導點的話,不 要忘記在步驟(2)中,要把這些點的函數值與各極值 和f(a)、f(b)放在一起比較.,3