（黃岡名師）高考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升練四十六9.7利用向量求空間角和距離理（含解析）新人教A版.docx

核心素養(yǎng)提升練四十六利用向量求空間角和距離(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知向量m,n分別是直線l和平面的方向向量和法向量,若cos=-,則l與所成的角為()A.30B.60C.120D.150【解析】選A.設(shè)線面角為,則sin =|cos|=,=30.2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.【解析】選A.如圖,連接AC,交BD于點O,連接C1O,過C作CHC1O于點H.因為CH平面C1BD,所以HDC為CD與平面BDC1所成的角.設(shè)AA1=2AB=2,則OC=,C1O=.由等面積法,得C1OCH=OCCC1,即CH=2,所以CH=.所以sinHDC=.3.二面角的棱上有A,B兩點,直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的大小為()A.150B.45C.60D.120【解析】選C.因為=0,=0,所以由=+,兩邊平方得,=+2(+),所以= 62+42+82+268cos,所以cos=-,所以=120,因為二面角的大小為銳角,所以該二面角的大小為60.4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點O為線段BD的中點.設(shè)點P在線段CC1上,直線OP與平面A1BD所成的角為,則sin 的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選B.如圖,以D為原點,以DA,DC,DD1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則O, C(0,1,0),C1(0,1,1),設(shè)=(0,0,1),所以=+=+(0,0,)=,容易得到平面A1BD的法向量為n=(-1,1,1),所以sin =,因為0,1,所以sin .5.(2018全國卷)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等,則截此正方體所得截面面積的最大值為()A.B.C.D.【解析】選A.由于平面與每條棱所在直線所成的角都相等,所以平面與平面AB1D1平行或重合(如圖),而在與平面AB1D1平行的所有平面中,面積最大的為由各棱的中點構(gòu)成的截面EFGHMN,而平面EFGHMN的面積S=6=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小為60,則AD的長為_.【解析】如圖,以C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CC1所在的直線分別為x軸,y軸,z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),設(shè)AD=a,則D點坐標(biāo)為(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),設(shè)平面B1CD的一個法向量為m=(x,y,z).則由m=0,m=0,得到取z=-1,所以m= ,又平面C1DC的一個法向量為n= (0,1,0),由cos 60=,得=,即a=,所以AD=.答案:7.在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點,G為棱A1B1上的一點,且A1G=(01),則點G到平面D1EF的距離為_.【解析】如圖所示,以射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則G(1,1),E,D1(0,0,1),F,=,=(0,1,0),=.過點G向平面D1EF作垂線,垂足為H,由于點H在平面D1EF內(nèi),故存在實數(shù)x,y,使=+x+y=,由于GHEF,GHED1,所以解得故=,所以|=,即點G到平面D1EF的距離是.答案:8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點,且A1F平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值的取值范圍是_.【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系,令A(yù)B=1,則A(0,0,0),E,D1(0,1,1),B(1,0,0),C1(1,1,1),A1(0,0,1),F(1,t,s),平面D1AE的法向量為n=(x,y,z),則=(1,t,s-1),=,=(0,1,1),所以n=0,n=0,即令z=2,則所以n=(1,-2,2).又因為A1F平面D1AE,所以n=0,即1-2t+2(s-1)=0,即s-1=t-,所以=.由于n1=(1,0,0)是平面BCC1B1的一個法向量,且n1=1,所以cos=,記A1F與平面BCC1B1所成角為,則sin =,cos =,所以tan =,因為s=t+1,所以t,故t,所以tan 2,2.答案:2,2三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,PAD為正三角形,且E,F分別為AD,AB的中點,PE平面ABCD,BE平面PAD.(1)求證:BC平面PEB.(2)求EF與平面PDC所成角的正弦值.【解析】(1)因為PE平面ABCD,BE平面PAD,所以PEAD,BEAD,又PEBE=E,PE平面PEB,BE平面PEB,所以AD平面PEB,由四邊形ABCD為菱形,得ADBC,所以BC平面PEB.(2)以E為原點,EA,EB,EP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)菱形ABCD的邊長為2,則AE=ED=1,PA=2,PE=,BE=,則點A(1,0,0),B(0,0),C(-2,0),D(-1,0,0),P(0,0,),F,=(-1,0),=(1,0,),設(shè)平面PDC的法向量為n=(x,y,z),則由n=-x+y=0,n=x+z=0,解得取z=1,得n=;又=,所以EF與平面PDC所成角的正弦值為=.10.(2018南寧模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PD平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,DAB=60.(1)求證:直線AM平面PNC.(2)求二面角D-PC-N的余弦值.【解析】(1)在PC上取一點F,使PF=2FC,連接MF,NF,因為PM=2MD,AN=2NB,所以MFDC,MF=DC,ANDC,AN=AB=DC.所以MFAN,MF=AN.所以四邊形MFNA為平行四邊形,即AMNF.又NF平面PNC,所以直線AM平面PNC.(2)取AB中點E,底面四邊形ABCD是菱形,DAB=60,所以AED=90.因為四邊形ABCD為菱形,所以EDC=90,即CDDE.又PD平面ABCD,所以CDPD.又DEPD=D,所以直線CD平面PDE.故DP,DE,DC相互垂直,以D為原點,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則P,N,C,A,B,D,平面PDC的法向量為m=,設(shè)平面PNC的法向量為n=,由n=0,n=0,得n=,所以cos=,所以二面角D-PC-N的余弦值為.(20分鐘40分)1.(5分)(2018全國卷)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.【解析】選C.以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為,則cos =|cos|=.【一題多解】選C.如圖.連接A1D交AD1于點E.取A1B1中點F,連接EF,則EFB1D,連接D1F,在D1FE中,D1EF為異面直線AD1與DB1所成的角.由已知EF=DB1=,D1E=AD1=1,D1F=,所以cosD1EF=.2.(5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形,若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為()A.B.C.D.【解析】選B.因為三棱柱的底面面積為S底=,所以=AA1,所以AA1=.因為P為底面A1B1C1的中心,所以PA1=1,設(shè)PA與平面ABC所成角的大小為,所以tan =,所以=.3.(5分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為_.【解析】如圖,過E作EE1B1C1于E1,連接D1E1,過P作PQD1E1于Q,在同一個平面EE1D1內(nèi),EE1E1D1, PQD1E1,所以PQEE1,又因為CC1EE1,所以CC1PQ,因為CC1平面A1B1C1D1,所以點P到CC1的距離就是QC1的長度,所以當(dāng)且僅當(dāng)C1QD1E1時,所求的距離最小值為C1Q=.答案:4.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA底面ABCD,E,F分別為AB,PC的中點.(1)求證:EF平面PAD.(2)若PA=2,試問在線段EF上是否存在點Q,使得二面角Q-AP-D的余弦值為?若存在,確定點Q的位置;若不存在,請說明理由.【解析】(1)取PD中點M,連接MF,MA,在PCD中,F為PC的中點,所以MFDC,在正方形ABCD中,E為AB中點,所以AEDC,所以AEMF,故四邊形EFMA為平行四邊形,所以EFAM,又因為EF平面PAD,AM平面PAD,所以EF平面PAD.(2)結(jié)論:滿足條件的點Q存在,是EF的中點.理由如下:如圖:以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E,F,由題易知平面PAD的法向量為n=(0,1,0),假設(shè)存在Q滿足條件:設(shè)=,因為=,所以Q,=,0,1,設(shè)平面PAQ的法向量為m=(x,y,z),由可得m=(1,-,0),所以|cos|=,由已知:=,解得:=,所以滿足條件的點Q存在,是EF的中點.5.(13分)(2018濟(jì)南模擬)如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF平面ABCD,點G為AB的中點,AB=BE=2.(1)求證:EG平面ADF.(2)求二面角O-EF-C的正弦值.(3)設(shè)H為線段AF上的點,且AH=HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【解析】依題意,OF平面ABCD,如圖,以O(shè)為原點,分別以,的方向為x軸,y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得O(0,0,0),A(-1,1,0), B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)依題意,=(2,0,0),=(1,-1,2).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ADF的法向量,則即不妨設(shè)z=1,可得n1=(0,2,1),又=(0,1,-2),可得n1=0,又因為直線