人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第17章《勾股定理》講義第6講勾股定理－逆定理（有答案）

第6講 勾股定理逆定理第一部分 知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理的逆定理如果三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中為斜邊 .勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形知識(shí)點(diǎn)二：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)） （，為正整數(shù)）知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問(wèn)題或具體的幾何問(wèn)題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過(guò)逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問(wèn)題的解決：知識(shí)點(diǎn)四：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。知識(shí)點(diǎn)歸納： 互逆命題:題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題為互逆命題. 互逆定理:一般地，如果一個(gè)定理的逆命她經(jīng)過(guò)證明是正確的它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理注意：（1）任何一個(gè)命題都有逆命題. （2）原命題成立，它的逆命題不一定成立.也就是說(shuō)一個(gè)定理它有逆命題，但它不一定有逆定理（3）找一個(gè)命題的逆命題時(shí)只需要把原命題的題設(shè)和結(jié)論換過(guò)來(lái).第二部分 考點(diǎn)精講精練考點(diǎn)1、利用逆定理判斷直角三角形例1、下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）A、 B、 C、 D、例2、適合下列條件的ABC中, 直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ） A=450; A=320,B=580; A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)例3、下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A、三個(gè)角度之比為123的三角形是直角三角形 B、三條邊長(zhǎng)之比為345的三角形是直角三角形C、三條邊長(zhǎng)之比為81617的三角形是直角三角形 D、三個(gè)角度之比為112的三角形是直角三角形例4、已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷ABC是否為直角三角形.例5、三邊長(zhǎng)為，滿足，的三角形是什么形狀？舉一反三：1、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，402、下列各組線段中的三個(gè)長(zhǎng)度：9、12、15；7、24、25；32、42、52；3a、4a、5a（a0）；m2-n2、2mn、m2+n2（m、n為正整數(shù)，且mn）其中可以構(gòu)成直角三角形的有（ ）A、5組 B、4組 C、3組 D、2組3、現(xiàn)有兩根木棒的長(zhǎng)度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個(gè)直角三角形框架，那么所需木棒的長(zhǎng)一定為（）A、30厘米 B、40厘米 C、50厘米 D、以上都不對(duì)4、四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。5、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。考點(diǎn)2、逆定理的應(yīng)用例1、如圖所示的一塊地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積。例2、已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且A=90，求四邊形ABCD的面積。例3、已知中，邊上的中線，求證：例4、某港口位于東西方向的海岸線上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？例5、如圖所示，在四邊形ABCD中，已知：2：2：3：1，且B90，求的度數(shù)舉一反三：1、如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（ ） A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF2、如圖，AD=7，AB25，BC10，DC26，DB24，求四邊形ABCD的面積.3、如圖，正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且CE=BC，求證：AFFE4、如圖，已知在ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AC=20，BC=15，DB=9，CD=12求ABC的面積5、已知：如圖，ABC中，C90，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF2考點(diǎn)3、命題與逆命題例1、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確（1）原命題：對(duì)頂角相等（2）原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等 （3）原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等例2、下列命題中是假命題的是（ ） A、ABC中,若B=CA,則ABC是直角三角形 B、ABC中,若a2=(b+c)(bc),則ABC是直角三角形 C、ABC中,若ABC=345則ABC是直角三角形 D、ABC中,若abc=543則ABC是直角三角形例3、下列命題中的假命題是（ ）A、在ABC中，若A=CB，則ABC是直角三角形B、在ABC中，若a2+b2=c2，則ABC是直角三角形C、在ABC中，若A、B、C的度數(shù)比是523，則ABC是直角三角形D、在ABC中，若三邊長(zhǎng)abc=223，則ABC是直角三角形例4、“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”這個(gè)命題的逆命題是_，它是一個(gè)_命題（填“真”或“假”）例5、寫出符合下列條件的一個(gè)原命題： （1）原命題和逆命題都是真命題 （2）原命題是假命題，但逆命題是真命題 （3）原命題是真命題，但逆命題是假命題 （4）原命題和逆命題都是假命題舉一反三：1、下列說(shuō)法正確的是（ ） A、每個(gè)命題都有逆命題 B、每個(gè)定理都有逆定理 C、不正確的命題的逆命題也是不正確的 D、正確的命題的逆命題也是正確的2、下列各命題的逆命題不成立的是（ ） A、兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ) B、若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)也相等. C、對(duì)頂角相等D、如果，那么3、下列說(shuō)法正確的是（ ） A、若 a、b、c是ABC的三邊，則a2b2c2 B、若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2 C、若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2 D、若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c24、下列命題 如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么0.5a、0.5b、0.5c仍是勾股數(shù)；如果直角三角形的兩邊是3、4，那么另一邊必是5；如果一個(gè)三角形的三邊是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（ab=c），那么a2b2c2=211。其中正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 5、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ） A、在ABC中，若ACB，則ABC是直角三角形； B、在ABC中，若，則ABC是直角三角形； C、在ABC中，若A、B、C的度數(shù)比是7：3：4，則ABC是直角三角形； D、在ABC中，若三邊長(zhǎng)a：b：c2：2：3，則ABC是直角三角形第三部分 課堂小測(cè)1、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（ ） A、2，3，4 B、10，8，4 C、7，25，24 D、7，15，122、滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A、三內(nèi)角之比為123 B、三邊長(zhǎng)的平方之比為123C、三邊長(zhǎng)之比為345 D、三內(nèi)角之比為3453、如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，則ABC是（ ） A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、以上答案都不對(duì)4、三角形的三邊長(zhǎng)為,則這個(gè)三角形是（ ） A、等邊三角形 B、鈍角三角形 C、直角三角形 D、銳角三角形5、將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是（ ） A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、以上三種情況都有可能6、若一個(gè)三角形的三邊之比為452853，則這個(gè)三角形是 （按角分類）7、寫出下列命題的逆命題，它們的逆命題一定成立嗎? (1)、如果兩個(gè)角是直角.那么它們相等. (2)、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等. (3)、如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等.那么它們的平方也相等. (4)、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.8、已知a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)，且（+）2=3（+），試說(shuō)明這個(gè)三角形是什么三角形9、已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀10、如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作，且BQ=BP，連結(jié)CQ（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連接PQ，試判斷PQC的形狀，并說(shuō)明理由第四部分 提高訓(xùn)練1、已知a，b，c是直角三角形的三條邊，且abc，斜邊上的高為h，則下列說(shuō)法中正確的是 （只填序號(hào)） a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；b4+c2h2=b2c2；由， ，可以構(gòu)成三角形；直角三角形的面積的最大值是 2、若a，b，c是直角三角形的三條邊長(zhǎng)，斜邊c上的高的長(zhǎng)是h，給出下列結(jié)論：、以a2，b2，c2的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成一個(gè)三角形、以，的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成一個(gè)三角形、以a+b，c+h，h的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成直角三角形、以 ， 的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成直角三角形 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 。3、在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊，當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2c2時(shí)，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究ABC的形狀（按角分類）（1）當(dāng)ABC三邊分別為6、8、9時(shí)，ABC為 銳角 三角形；當(dāng)ABC三邊分別為6、8、11時(shí)，ABC為 三角形（2）猜想，當(dāng)a2+b2 c2時(shí)，ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2 c2時(shí)，ABC為鈍角三角形（3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，ABC的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍4、某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造，測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)。5、已知，ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t=_（s）時(shí)，PBC是直角三角形；（2）如圖2，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，PBQ是直角三角形？（3）如圖3，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)連接PQ交AC于D如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，DCQ是等腰三角形？（4）如圖4，若另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)連接PQ交AC于D，連接PC如果動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)請(qǐng)你猜想：在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PCD和QCD的面積有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由第五部分 課后作業(yè)1、分別有下列幾組數(shù)據(jù)：6、8、10 12、13、5 17、8 、15 4、11、9其中能構(gòu)成直角三形的有（ ）A、4組 B、3組 C、2組 D、1組2、下列三角形中不是直角三角形的是（ ）A、三個(gè)內(nèi)角之比為561 B、其中一邊上的中線等于這一邊的一半C、三邊之長(zhǎng)為9、40、41 D、三邊之比為1.5 : 2 : 33、若ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則ABC是（ ） A、等腰三角形 B、等邊三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形4、三角形的三邊長(zhǎng)分別為（都是正整數(shù)）則這個(gè)三角形是（ ） A、直角三角形 B、鈍角三角形 C、銳角三角形 D、不能確定5、下列命題的逆命題正確的是（ ） A、如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等 B、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 C、如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方也相等 D、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上6、下列五個(gè)命題：（1）若直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為5和12，則第三邊長(zhǎng)是13；（2）如果a0，那么=a（3）若點(diǎn)P（a，b）在第三象限，則點(diǎn)P（a，b+1）在第一象限；（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；（5）兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（） A、2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)7、已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，試判定ABC的形狀，并說(shuō)明你的理由.8、如圖所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過(guò)3秒時(shí)，BPQ的面積為多少cm2？9、如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)際的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截。已