高中數(shù)學第二章拋物線課時提升作業(yè)（十七）2.3.2.2拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用檢測（含解析）.docx

課時提升作業(yè)(十七)拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.拋物線y=14x2的焦點關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點的坐標是()A.(2,-1)B.(1,-1)C.14,-14D.116,-116【解析】選A.y=x2x2=4y,焦點為(0,1),其關(guān)于x-y-1=0的對稱點為(2,-1).2.(2015全國卷)已知橢圓E的中心為坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,點A,B是C的準線與E的兩個交點,則AB=()A.3B.6C.9D.12【解析】選B.設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),右焦點為(c,0),依題意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為+=1,因為拋物線C:y2=8x的準線為x=-2,將x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.3.已知拋物線C:x2=12y,過點A(0,-1)和點B(t,3)的直線與拋物線C沒有公共點,則實數(shù)t的取值范圍是()A.(-,-1)(1,+)B.C.(-,-22)(22,+)D.(-,-2)(2,+)【解析】選D.顯然t0,直線AB的方程為y=x-1,代入拋物線方程得2tx2-4x+t=0.由題意=16-8t20,解得t.【補償訓練】設(shè)拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線與拋物線有公共點,則直線斜率的取值范圍是()A.B.-2,2C.-1,1D.-4,4【解析】選C.準線x=-2,Q(-2,0),設(shè)y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,當k=0時,x=0,即交點為(0,0),當k0時,0,-1k0或00)上,另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n,則()A.n=0B.n=1C.n=2D.n3【解題指南】借助拋物線及正三角形的對稱性求解本題,注意數(shù)形結(jié)合.【解析】選C.根據(jù)拋物線的對稱性,正三角形的兩個頂點一定關(guān)于x軸對稱,且過焦點的兩條直線傾斜角分別為30和150,如圖,所以正三角形的個數(shù)n=2.二、填空題(每小題5分,共15分)6.沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=ax反射后,與x軸相交于點A(2,0),則拋物線的準線方程為(拋物線的光學性質(zhì):從焦點發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后與軸平行).【解析】由直線y=-2平行于拋物線的對稱軸知A(2,0)為焦點,故準線方程為x=-2.答案:x=-27.直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標是.【解析】設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中點為P(x0,y0),由題意得消去y,整理得(x-1)2=4x,即x2-6x+1=0.所以x0=3,y0=x0-1=2.所以P(3,2).答案:(3,2)【一題多解】=4x2,=4x1,-=4x2-4x1,=4.所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0+1=3.故中點為P(3,2).答案:(3,2)8.(2015吉林高二檢測)已知拋物線y2=2px(p0)的準線為l,過M(1,0)且斜率為3的直線與l相交于點A,與拋物線的一個交點為B,若=,則p=.【解析】由題知準線l為x=-(p0),過點M且斜率為的直線為y=(x-1),則A,設(shè)B(x,0),由=可知M為AB的中點,又M(1,0),所以即代入y2=2px可知,p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,直線l:y=x+b與拋物線C:x2=4y相切于點A.(1)求實數(shù)b的值.(2)求以點A為圓心,且與拋物線C的準線相切的圓的方程.【解題指南】利用直線l與拋物線C相切,聯(lián)立方程,由=0求實數(shù)b的值;由直線與圓相切求圓的方程.【解析】(1)由得x2-4x-4b=0.(*)因為直線l與拋物線C相切,所以=(-4)2-4(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)為x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故點A(2,1).因為圓A與拋物線C的準線相切,所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離,即r=|1-(-1)|=2,所以圓A的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.10.(2015濟南高二檢測)如圖,已知點P(-3,0),點Q在x軸上,點A在y軸上,且=0,=2.當點A在y軸上移動時,求動點M的軌跡方程.【解題指南】設(shè)出點M的坐標,利用=0,=2,求動點M的軌跡方程.【解析】設(shè)動點M(x,y),A(0,b),Q(a,0),因為P(-3,0),所以=(3,b),=(a,-b),=(x-a,y),因為=0,所以(3,b)(a,-b)=0,即3a-b2=0.因為=2,所以(x-a,y)=2(a,-b),即x=3a,y=-2b.由得y2=4x.所以動點M的軌跡方程為y2=4x.【補償訓練】若動點P在y=2x2+1上移動,求點P與Q(0,-1)連線中點的軌跡方程.【解析】設(shè)PQ中點為M(x,y),P(x0,y0),則所以又因為y0=2+1,所以2y+1=8x2+1.即y=4x2為所求的軌跡方程.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2014遼寧高考)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準線上,過點A的直線與C在第一象限相切于點B,記C的焦點為F,則直線BF的斜率為()A.12B.23C.34D.43【解題指南】由直線與C相切求B點的坐標,由斜率公式求直線BF的斜率.【解析】選D.因為拋物線C:y2=2px的準線為x=-,且點A(-2,3)在準線上,所以p=4.設(shè)直線AB的方程為x+2=m(y-3),與拋物線方程y2=8x聯(lián)立得到y(tǒng)2-8my+24m+16=0,由題易知=0,解得m=-(舍)或m=2,這時B點的坐標為(8,8),而焦點F的坐標為(2,0),故直線BF的斜率kBF=.2.(2014四川高考)已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),=2(其中O為坐標原點),則ABO與AFO面積之和的最小值是()A.2B.3C.1728D.10【解析】選B.由題意可知,F.設(shè)A(,y1),B(,y2),所以=y1y2+=2,解得y1y2=1或y1y2=-2.又因為A,B兩點位于x軸兩側(cè),所以y1y23,故最小值為3.【誤區(qū)警示】本題在求解時常因忽略條件“點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)”導致解題錯誤.二、填空題(每小題5分,共10分)3.平面上有三個點A(-2,y),B0,y2,C(x,y),若ABBC,則動點C的軌跡方程為.【解析】=0,y2-(-2,y)=2,-y2,=(x,y)-0,y2=x,y2.因為ABBC,所以=0,所以2,-y2x,y2=0,即y2=8x.所以動點C的軌跡方程為y2=8x.答案:y2=8x4.(2015漳州高二檢測)已知過拋物線y2=4x焦點的一條弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直線與y軸的交點坐標為(0,2),則1y1+1y2=.【解析】弦AB是過焦點F(1,0)的弦,又過點(0,2),所以其方程為x+=1,2x+y-2=0與y2=4x聯(lián)立得y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,+=.答案:【補償訓練】線段AB是拋物線y2=x的一條焦點弦,且|AB|=4,則線段AB的中點C到直線x+12=0的距離是.【解析】線段AB的中點C到準線x=-的距離為|AB|長的一半,則中點C到直線x+=0的距離為.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)5.如圖,過拋物線y2=x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB,AC,交拋物線于B,C兩點,求證:直線BC的斜率是定值.【證明】設(shè)kAB=k(k0),因為直線AB,AC的傾斜角互補,所以kAC=-k(k0),AB的方程是y=k(x-4)+2.由方程組消去y后,整理得k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.因為A(4,2),B(xB,yB)的橫坐標是上述方程的解,所以4xB=,即xB=.以-k代換xB中的k,得xC=,所以kBC=-.所以直線BC的斜率是定值.【補償訓練】如圖,已知AOB的一個頂點為拋物線y2=2x的頂點O,A,B兩點都在拋物線上,且AOB=90.(1)證明直線AB必過一定點.(2)求AOB面積的最小值.【解析】(1)設(shè)OA所在直線的方程為y=kx(k0),則直線OB的方程為y=-x,由解得或即A點的坐標為.同理由解得B點的坐標為(2k2,-2k).所以AB所在直線的方程為y+2k=(x-2k2),化簡并整理,得y=x-2.不論實數(shù)k取任何不等于0的實數(shù),當x=2時,恒有y=0.故直線過定點P(2,0).(2)由于AB所在直線過定點P(2,0),所以可設(shè)AB所在直線的方程為x=my+2.由消去x并整理得y2-2my-4=0.所以y1+y2=2m,y1y2=-4.于是|y1-y2|=2.SAOB=|OP|(|y1|+|y2|)=|OP|y1-y2|=22=2.所以當m=0時,AOB的面積取得最小值為4.6.(2014安徽高考)如圖,已知兩條拋物線E1:y2=2p1x(p10)和E2:y2=2p2x(p20),過原點O的兩條直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點,l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點.(1)證明:A1B1A2B2.(2)過原點O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點.記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2,求S1S2的值.【解題指南】(1)設(shè)出兩條直線的方程,聯(lián)立拋物線方程,求出點A1,A2,B1,B2的