數(shù)學(xué)建模2011年c試題.doc

企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革論文摘要為了適應(yīng)社會(huì)主義市場經(jīng)濟(jì)體制改革的需要，同時(shí)也是為了應(yīng)對老齡化社會(huì)的風(fēng)險(xiǎn),本文通過差分阻滯模型，模型對職工未來年平均工資進(jìn)行預(yù)測，并在此基礎(chǔ)上對企業(yè)退休職工養(yǎng)老金的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。 對于問題一，采用符合增長特征的阻滯模型為預(yù)測模型，且根據(jù)我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)和目前我國職工工資的實(shí)際發(fā)放情況以及現(xiàn)階段中等發(fā)達(dá)國家的職工年平均工資，利用經(jīng)驗(yàn)估計(jì)方法確定工資最大值=20萬元，再利用差值作圖求出方程系數(shù)0.0000007，即求得差分方程式。利用山東省職工年平均工資的歷史數(shù)據(jù)，matlb，擬合出模型的參數(shù)。最后利用方程式和matlab預(yù)測出的20112035年山東省職工歷年平均工資與我國的國情基本吻合。在此模型的檢驗(yàn)圖中我們可發(fā)現(xiàn)19782010年的工資預(yù)測值與實(shí)際值無太大差別。對于問題二計(jì)算出各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，再使用加權(quán)平均得出繳費(fèi)指數(shù)參考值。對于問題三，利用問題二的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)該職工自2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金到65歲、70歲、74歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡，并且出現(xiàn)缺口。參考附錄3的計(jì)發(fā)月數(shù)表列出題中所給3種情況，再利用matlab判斷3種情況是否出現(xiàn)缺口并求得缺口及維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡時(shí)的退休年齡。對于問題四，既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡，我們提出以下措施:適當(dāng)增加繳費(fèi)年限;適當(dāng)提高征收比例;穩(wěn)定物價(jià)，保持工資的平穩(wěn)增長；適當(dāng)?shù)靥岣吣昀?建立專門部門管理職工上繳個(gè)人賬戶養(yǎng)老金，為基金做投資增加基金收益率。關(guān)鍵詞：差分阻滯模型 養(yǎng)老金 收支平衡 matlab Excel1. 問題重述養(yǎng)老金也稱退休金，用于保障職工退休后的基本生活需要。我國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險(xiǎn)實(shí)行“社會(huì)統(tǒng)籌”與“個(gè)人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會(huì)統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個(gè)人工資按一定比例（8%）繳納到個(gè)人賬戶。這兩個(gè)賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險(xiǎn)基金。個(gè)人賬戶儲存額以銀行當(dāng)時(shí)公布的一年期存款利率計(jì)息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時(shí)的工資及社會(huì)平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟(jì)增長相關(guān)。近30年來我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達(dá)國家的經(jīng)濟(jì)和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀(jì)中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平。問題一，對未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的形勢做出簡化、合理的假設(shè)，并通過山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)，預(yù)測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二，根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比，并把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，計(jì)算該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲）各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三，假設(shè)該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計(jì)算養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的缺口情況，并計(jì)算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時(shí)，其繳存的養(yǎng)老保險(xiǎn)基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達(dá)到收支平衡。問題四，如果既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡，你認(rèn)為可以采取什么措施。請給出你的理由。2.問題的分析問題一，先對未來中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和工資增長的形勢做出客觀、合理的假設(shè)，然后然后利用Excel分別作出1978-2011年份與工資的散點(diǎn)圖及關(guān)于差值的散點(diǎn)圖，先求出差分方程，再求出20112035年的工資預(yù)測值。問題二，要用各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比作為作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值，為了讓數(shù)據(jù)更具有合理性，使用加權(quán)平均得出繳費(fèi)指數(shù)參考值，再算出替代率。問題三，結(jié)合前兩問，先判斷不同情況下是否會(huì)出現(xiàn)缺口，再計(jì)算出缺口。問題四，結(jié)合問題二和問題三對比不同情況下所求的的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析，得出會(huì)影響替代率的因素，提出合理措施。3.模型假設(shè)與符號說明3.1模型的假設(shè)根據(jù)前三十年我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r和經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)，我國的經(jīng)濟(jì)增長速度在2010年前越來越快，假設(shè)2010年后經(jīng)濟(jì)增長速度越來越慢，最后趨向平穩(wěn)；假設(shè)國家未來宏觀調(diào)控政策好，社會(huì)因素穩(wěn)定，國家沒有戰(zhàn)爭和暴動(dòng)，國民經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步增長；假設(shè)工資水平與經(jīng)濟(jì)水平呈同方向增長；假設(shè)職工在一年內(nèi)的月工資不會(huì)發(fā)生變動(dòng)；假設(shè)個(gè)人工資的增長是由于職工個(gè)人的特長和經(jīng)驗(yàn)；銀行利率沒有發(fā)生變化，始終以年利率3%進(jìn)行計(jì)算。3.2符號的說明符號說明表示21世紀(jì)中葉平均工資的最大值表示職工第年度的年平均工資表示第+1年度與第年度的年平均工資差值表示（-）的值表示與擬合函數(shù)的斜率表示個(gè)人賬戶存儲額表示基礎(chǔ)養(yǎng)老金表示職工退休前職工上年度的年平均工資表4.模型的建立與求解4.1 問題1的模型建立與求解 對年份和平均工資作散點(diǎn)圖：根據(jù)年份和平均工資做出了1978-2025年的散點(diǎn)圖，二者散點(diǎn)圖的曲線關(guān)系如下圖，（數(shù)據(jù)見附件1，利用Excel作圖）平均工資0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 197519801985199019952000200520102015年份平均工資平均工資 圖 ：職工年平均繳費(fèi)工資的基本形狀從散點(diǎn)圖中可以看出，工資的增長速率越來越快，顯然由于差分阻滯不可能越來越快，再根據(jù)我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo)和過去發(fā)達(dá)國家的經(jīng)濟(jì)水平和工資水平的增長規(guī)律，未來我國職工工資增長速度會(huì)越來越慢最終達(dá)到一定速度穩(wěn)步增長。由此，考慮使用差分阻滯增長模型來預(yù)測未來工資的數(shù)據(jù)?？梢酝茰y出2010后職工年平均工資增長速率會(huì)逐漸趨以穩(wěn)定。因此，我們考慮使用差分阻滯增長模型來預(yù)測未來的職工年平均工資。差分阻滯模型的基本模式是： 公式（1）參數(shù)估計(jì)根據(jù)我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)是要在21世紀(jì)中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平，因此對于參數(shù)的估計(jì)，通過上網(wǎng)查閱資料，查閱目前中等發(fā)達(dá)國家的工資水平可知，現(xiàn)在的中等發(fā)達(dá)國家年平均工資約為 2.8萬美元即人民幣20萬元。因此可將20萬元作為本方程中的。由差分阻滯的基本模式： = 公式（2）根據(jù)附件1中1978-2010年的年平均工資及預(yù)測的值利用Excel做出與的散點(diǎn)圖如下圖圖2再利用matlab對圖2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合求得斜率 據(jù)所預(yù)測的值與得出的值代入差分阻滯模型得： 公式即得出關(guān)于的通項(xiàng)公式為： 公式 利用matlab對2011-2035年的職工年平均工資進(jìn)行預(yù)測如下表（程序見附錄中問題一）年 份2011201220132014201520162017平均工資35844.2439963.0744439.9649279.1254478.360027.7465909.29年 份2018201920202021202220232024平均工資72095.7778550.7285228.6792075.9399031.98106031.3113005.9年 份2025202620272028202920303031平均工資119887.5126610.6133114.9139347.3145263.5150829.4156020.9年 份2032203320342035平均工資160824165234.3169255.5172898表：20112035年的職工年平均工資預(yù)測值根據(jù)各年的職工年平均工資預(yù)測值利用matlab擬合得到如下圖的擬合曲線預(yù)測的年平均工資的增長0500001000001500002000002500001970198019902000201020202030204020502060年份年平均工資系列1圖 4.2問題二的求解根據(jù)附件2計(jì)算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。該企業(yè)平均工資：20-24歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：1726.95/2580.23=0.67;25-29歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2077.00/2580.23=0.80;30-34歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2535.12/2580.23=0.98;35-39歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2752.21/2580.23=1.07;40-44歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：3026.02/2580.23=1.17;45-49歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：3268.04/2580.23=1.27;50-54歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2567.07/2580.23=0.99;55-59歲職工工資與該企業(yè)平均工資之比：2980.20/2580.23=1.16;綜上情況得各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比見表3：年齡段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59工資比0.670.800.981.071.171.270.991.16表3 各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比把這些比值看作職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值, 該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險(xiǎn)，一直繳費(fèi)到退休（55歲，60歲，65歲），職工退休時(shí)的養(yǎng)老金由兩部分組成： 養(yǎng)老金（A）=基礎(chǔ)養(yǎng)老金（B）+個(gè)人賬戶養(yǎng)老金（D)個(gè)人賬戶養(yǎng)老金（D）=個(gè)人賬戶儲存額（D）計(jì)發(fā)月數(shù)（y）基礎(chǔ)養(yǎng)老金（B）=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資）2繳費(fèi)年限1%本人指數(shù)化月平均繳費(fèi)工資=全省上年度在崗職工月平均工資本人平均繳費(fèi)指數(shù) ；實(shí)發(fā)工資，則應(yīng)發(fā)工資。（1）、30歲繳費(fèi)到55歲：個(gè)人賬戶養(yǎng)老金：30歲到55歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率：；編程計(jì)算得：=36.38%程序見附錄（3）（2）、30歲繳費(fèi)到60歲： 個(gè)人賬戶儲存額：個(gè)人賬戶養(yǎng)老金：30歲到60歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率：；同理計(jì)算可得：=45.57%（3）、30歲繳費(fèi)到65歲：個(gè)人賬戶儲存額：個(gè)人賬戶養(yǎng)老金：30歲到65歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金：養(yǎng)老金： 養(yǎng)老金替代率:；同理計(jì)算可得：=59.37%（4）、40歲繳費(fèi)到55歲：個(gè)人賬戶儲存額:個(gè)人賬戶養(yǎng)老金:40歲到55歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，利用加權(quán)平均得： 基礎(chǔ)養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率:；同理計(jì)算可得：=24.09%（5）、40歲繳費(fèi)到60歲：個(gè)人賬戶儲存額:個(gè)人賬戶養(yǎng)老金:40歲到60歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率；同理計(jì)算可得：=32.64%（6）、40歲繳費(fèi)到65歲：個(gè)人賬戶儲存額:個(gè)人賬戶養(yǎng)老金:40歲到65歲的職工繳費(fèi)指數(shù)，加權(quán)平均得：基礎(chǔ)養(yǎng)老金:養(yǎng)老金: 養(yǎng)老金替代率；同理計(jì)算可得：=44.05%綜上得到所有情況的替代率，如表4個(gè)人賬戶儲存額：參保年齡退休年齡55歲60歲65歲30歲36.38%45.57%59.37%40歲24.09%32.64%44.05%表4 各種情況的替代率4.4問題4的求解對于本題所給出的問題既要達(dá)到目標(biāo)替代率，又要維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡，我們就必須得考慮影響替代率的因素，因此我們可以根據(jù)問題二求得的結(jié)果及在求解過程中所用到的公式來進(jìn)行分析:從表的數(shù)據(jù)中中我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)從三十歲開始繳納保險(xiǎn)金時(shí)，退休較晚替代率較高；當(dāng)從四十歲開始繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金時(shí)，也是如此；而且還可以發(fā)現(xiàn)從三十歲開始交保險(xiǎn)金，在每一年齡段所求得的替代率大于從四十歲開始交保險(xiǎn)金所求得的每一年齡段的替代率，所以從中我們可以得出影響替代率的因素之一為繳費(fèi)年限，我們可以通過適當(dāng)增加繳費(fèi)年限來實(shí)現(xiàn)目標(biāo)替代率由題中我們可知替代率較低，退休職工的生活水準(zhǔn)低，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準(zhǔn)就高，養(yǎng)老保險(xiǎn)基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。從表的數(shù)據(jù)中我們替代率與繳費(fèi)年限有一定的影響，而替代率越大，缺口越大，因而既要達(dá)到目標(biāo)替代率又要維持養(yǎng)老白線基金的收支平衡可以適當(dāng)?shù)脑黾永U費(fèi)年限，從而達(dá)到目標(biāo)替代率，維持養(yǎng)老保險(xiǎn)基金的收支平衡。在此公式，個(gè)人賬戶存儲額：中，我們可以通過適當(dāng)?shù)奶岣呃⒖梢蕴岣邆€(gè)人賬戶存儲額，從而提高保險(xiǎn)金，進(jìn)而達(dá)到目標(biāo)替代率。在社會(huì)統(tǒng)籌基金中，可以通過適當(dāng)?shù)靥岣哒魇毡壤齺硖岣唣B(yǎng)老保險(xiǎn)金，從而達(dá)到目標(biāo)替代率。穩(wěn)定物價(jià)，保持職工工資穩(wěn)定增長。6.模型結(jié)果的分析與檢驗(yàn)6.1模型結(jié)果的分析問題一，阻滯增長模型的模擬數(shù)據(jù)與2010前的實(shí)際數(shù)據(jù)，雖有一定的誤差，但誤差并不大：2010年后預(yù)測的工資數(shù)據(jù)也比較符合我國的經(jīng)濟(jì)戰(zhàn)略目標(biāo)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展現(xiàn)實(shí)。模型二中企業(yè)各年齡段職工工資與企業(yè)平均工資之比采用加權(quán)平均法所算的數(shù)據(jù)來作為職工繳費(fèi)指數(shù)的參考值比較合理。問題三，在問題二的基礎(chǔ)上，根據(jù)附件三再次利用matlab編程求的缺口，很方便，但還是建立在前兩問的基礎(chǔ)上，所以問題一的數(shù)據(jù)處理就顯得至關(guān)重要了。問題四，通過分析問題二及問題三中求得的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)影響替代率的因素，從而可制定出達(dá)到目標(biāo)替代率可實(shí)施的適當(dāng)措施。從養(yǎng)老金計(jì)發(fā)模式及替代率計(jì)算公式可以看出，在一定個(gè)人賬戶記賬利率和社評工資增長條件下，基礎(chǔ)養(yǎng)老金與繳費(fèi)指數(shù)和繳費(fèi)年限呈遞增關(guān)系，也就是說當(dāng)繳費(fèi)指數(shù)與繳費(fèi)年限確定了，也就確定了基礎(chǔ)養(yǎng)老金和個(gè)人賬戶養(yǎng)老金水平，進(jìn)而確定了養(yǎng)老金結(jié)構(gòu)。6.2模型結(jié)果的檢驗(yàn)本題中主要針對問題一建立了差分阻滯模型一個(gè)模型，所以在此只需對這個(gè)模型進(jìn)行檢驗(yàn)即可。根據(jù)所求得的差分方程利用matlab(程序見附錄中問題一)可以重新計(jì)算出19782010年間的職工年平均工資預(yù)測值，再結(jié)合在此期間的實(shí)際值我們可以做出職工年平均工資的預(yù)測值、職工年平均工資的實(shí)際值和以年計(jì)時(shí)間的擬合圖像如下圖：8.模型的評價(jià)優(yōu)點(diǎn)：在模型方面，運(yùn)用差分阻滯模型既可預(yù)測出未來值，又可預(yù)測出現(xiàn)階段的值，與現(xiàn)階段已知的值中可以做擬合對比，此后發(fā)現(xiàn)并無太大誤差，可以充分說明預(yù)測的未來值的可靠性，因?yàn)楹筮叺膸讍柷蠼舛际墙⒃趩栴}一的基礎(chǔ)之上，所以我認(rèn)為本文中的一大優(yōu)點(diǎn)就是所建立的差分阻滯模型了；在算法方面，從問題一到問題三所有的計(jì)算中都是通過matlab程序來實(shí)現(xiàn)，結(jié)果準(zhǔn)確，計(jì)算方便。缺點(diǎn)：對于問題二，沒有充分發(fā)揮繳費(fèi)指數(shù)參考值的作用，僅僅采用了附件三中所給的養(yǎng)老金計(jì)算方法求出替代率，如果再利用參考值求解，讓兩者進(jìn)行對比，更有說服力；對于模型的推廣方面，沒有確切的數(shù)值充分說明可以應(yīng)用所列舉的例子中。9.參考文獻(xiàn)1 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姜啟源等，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003附錄：以年計(jì)的時(shí)間年份工資觀測值預(yù)測值11978566112879644665662197963212600057611365031980745148444975107404198175515042997514840519827691532086392095061983789157177479196109071984985196029775125124081985111022076790020314109198613132608760311151610101987142828356081635418301119881782353224476138208012198919203803136002302370131990215042537750014227001419912292453146736309307015199226015134347995483500161993314961988379911893980171994433884878175680745301819955145100300000066451401919965809112805551943258502019976241120924991961366402119986854132382268480275402219997656147258566411168560232000877216774520161235970024200110007190125995113671099025200211374214543212411931245026200312567235547051117651408027200414332266099377622821592028200516614304677500426141797029200619228347588401636162026030200722844404695166435602281031200826404458362878432842563032200929688505622265623862876033201032074322103420113599