微積分第一章第一節(jié)課件.ppt

微積分,教 室： C教2015 星期二. 第1、2節(jié) 星期四. 第3、4節(jié) 星期五. 第3、4節(jié),課程簡(jiǎn)介 教師姓名 參考書 交作業(yè)時(shí)間 最后成績(jī) 答疑時(shí)間,教材：微積分（四川大學(xué)）,本課程主要內(nèi)容有極限論，微分學(xué)，積分學(xué) 和級(jí)數(shù)論等，它包括： 1.數(shù)學(xué)分析：一元函數(shù)微積分學(xué) 多元函數(shù)微積分學(xué) 級(jí)數(shù)； 2. 向量代數(shù)，空間解析幾何； 3. 常微分方程，差分方程,第一冊(cè)：函數(shù)，極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，微分，不 定積分，定積分及其應(yīng)用，常微分方程； 差分方程 第二冊(cè)：向量代數(shù)和空間解析幾何，多元函 數(shù)微分學(xué)，重積分，線面積分和級(jí)數(shù)。 返回,引 言,一、什么叫微積分?,初等數(shù)學(xué), 研究對(duì)象為常量,以靜止觀點(diǎn)研究問題.,微積分, 研究對(duì)象為變量,運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).,數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù).,有了變數(shù) , 運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué) ,有了變數(shù) , 微分和積分也就立刻成 為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生.,恩格斯,1. 分析基礎(chǔ): 函數(shù) , 極限, 連續(xù),2. 微積分學(xué): 一元微積分,(上冊(cè)),(下冊(cè)),3. 空間解析幾何,4. 無窮級(jí)數(shù),5. 常微分方程和差分方程,主要內(nèi)容,多元微積分,二、如何學(xué)習(xí)微積分 ?,1. 認(rèn)識(shí)微積分的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.,2. 學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué).,聰明在于學(xué)習(xí) , 天才在于積累 .,學(xué)而優(yōu)則用 , 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,馬克思,恩格斯,要辨證而又唯物地了解自然 , 就必須熟悉數(shù)學(xué).,一門科學(xué), 只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí), 才能達(dá)到真正完善的地步 .,華羅庚,給出了幾何問題的統(tǒng)一,笛卡兒 (15961650),法國(guó)哲學(xué)家, 數(shù)學(xué)家, 物理學(xué)家,他,是解析幾何奠基人之一 .,1637年他發(fā),表的幾何學(xué)論文分析了幾何學(xué)與,代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn),進(jìn)而提出了 “ 另外,一種包含這兩門科學(xué)的優(yōu)點(diǎn)而避免其缺點(diǎn)的方法”,從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法,恩格斯把它稱為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn).,把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,華羅庚(19101985),我國(guó)在國(guó)際上享有盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家.,他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,程,都作出了卓越的貢獻(xiàn) ,發(fā)表專著與學(xué)術(shù)論文近 300 篇.,偏微分方,多復(fù)變函數(shù)論,矩陣幾何學(xué),典型群,他對(duì)青年學(xué)生的成長(zhǎng)非常關(guān)心,他提出治學(xué)之道是,“ 寬, 專, 漫 ”,即基礎(chǔ)要寬,專業(yè)要專,要使自己的專業(yè),知識(shí)漫到其它領(lǐng)域.,1984年來中國(guó)礦業(yè)大學(xué)視察時(shí)給,給師生題詞: “ 學(xué)而優(yōu)則用, 學(xué)而優(yōu)則創(chuàng) ”.,教師姓名： 方小萍 Tel. 84659240(o),參考書：吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集 分析中的反例,返回,Email address:,交作業(yè)時(shí)間與地點(diǎn)： 每周二上午 教室,作業(yè)要求全交。,最后成績(jī)： 平時(shí)30%+期末70% 答疑時(shí)間： 待定,preview + review + exercise,要求：不遲到不早退，不中途退場(chǎng)。,幾個(gè)常用符號(hào),存在(exist)；,任意(arbitary)；,屬于。,第一章,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù), 研究對(duì)象, 研究方法, 研究橋梁,函數(shù)與極限,二 、函數(shù),一、集合,第一節(jié),函數(shù),元素 a 屬于集合 M , 記作,元素 a 不屬于集合 M , 記作,一、 集合,1. 定義及表示法,定義 1.,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.,組成集合的事物稱為元素.,不含任何元素的集合稱為空集 ,記作 .,注: M 為數(shù)集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 與負(fù)數(shù)的集 .,表示法：,(1) 列舉法：,按某種方式列出集合中的全體元素 .,例:,有限集合,自然數(shù)集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整數(shù)集合,或,有理數(shù)集,p 與 q 互質(zhì),實(shí)數(shù)集合,x 為有理數(shù)或無理數(shù),開區(qū)間,閉區(qū)間,無限區(qū)間,點(diǎn)的 鄰域,其中, a 稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑 .,半開區(qū)間,去心 鄰域,左 鄰域 :,右 鄰域 :,是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2. 集合之間的關(guān)系及運(yùn)算,定義2 .,則稱 A,若,且,則稱 A 與 B 相等,例如 ,顯然有下列關(guān)系 :,若,設(shè)有集合,記作,記作,必有,定義 3 . 給定兩個(gè)集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定義下列運(yùn)算:,余集,直積,特例:,為平面上的全體點(diǎn)集,或,二實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值,2) 數(shù)軸: 規(guī)定了原點(diǎn),方向,取了單位長(zhǎng)的,有向線段.,3)絕對(duì)值,0,4)絕對(duì)值的基本性質(zhì):,3),4),初等數(shù)學(xué)：研究對(duì)象為常量，是常量的數(shù)學(xué)； 高等數(shù)學(xué)：研究對(duì)象是事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和現(xiàn)象的 變化規(guī)律，是變量的數(shù)學(xué)。,三 函數(shù)(function),16世紀(jì)，機(jī)械學(xué)，航海學(xué)，物理學(xué)，力學(xué)提出 許多新的問題：,運(yùn)動(dòng)物體的速度和它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的關(guān)系；,天體沿怎樣的軌道運(yùn)行；,不規(guī)則圖形的面積如何計(jì)算等等。,Gallillo在“兩門新學(xué)科”中，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)；,Newton于1665年開始微積分工作后，用“fluent”表示變量間關(guān)系；,Leibnize1673年后首次使用function表示變量間的關(guān)系；,Euler于1734年引進(jìn)函數(shù)符號(hào)f(x)。,實(shí)例,2. 某氣象站自動(dòng)記錄器畫的當(dāng)?shù)啬骋惶斓臍鉁刈兓?定義1. 假定在某個(gè)變化過程中有x和y兩個(gè)變量，x的變化域?yàn)閄 。假如對(duì)X中的每一個(gè)x值，根據(jù)某種對(duì)應(yīng)規(guī)則f ，變量y有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)(function)， 記作：y=f(x),例4. 已知函數(shù),求,及,解:,函數(shù)無定義,并寫出定義域及值域 .,定義域,值 域,2. 函數(shù)的幾種特性,設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,(1) 有界性,使,稱,使,稱,說明: 還可定義有上界、有下界、無界,(見上冊(cè) P11 ),(2) 單調(diào)性,為有界函數(shù).,在 I 上有界.,使,若對(duì)任意正數(shù) M , 均存在,則稱 f ( x ) 無界.,稱 為有上界,稱 為有下界,當(dāng),時(shí),稱,為 I 上的,稱,為 I 上的,單調(diào)增函數(shù) ;,單調(diào)減函數(shù) .,(3) 奇偶性,且有,若,則稱 f (x) 為偶函數(shù);,若,則稱 f (x) 為奇函數(shù).,說明: 若,在 x = 0 有定義 ,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng),必有,例如,偶函數(shù),雙曲余弦,記,又如,奇函數(shù),雙曲正弦,記,再如,奇函數(shù),雙曲正切,記,(4) 周期性,且,則稱,為周期函數(shù) ,若,稱 l 為周期,( 一般指最小正周期 ).,周期為 ,周期為,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函數(shù),狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無理數(shù),3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),(1) 反函數(shù)的概念及性質(zhì),設(shè)函數(shù),習(xí)慣上,的反函數(shù)記成,其反函數(shù),(減),(減) .,1) yf (x) 單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,是定義在D,上的一個(gè)函數(shù),其值域,如果對(duì)每一個(gè),都有唯一的對(duì)應(yīng)值,滿足,則x是定義在,上以 y,為自變量的函數(shù),記此函數(shù)為,2) 函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對(duì)稱 .,例如 ,對(duì)數(shù)函數(shù),互為反函數(shù) ,它們都單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù),(2) 復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱為由, 確定的復(fù)合函數(shù) ,u 稱為中間變量.,注意: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如, 函數(shù)鏈 :,函數(shù),但函數(shù)鏈,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .,可定義復(fù)合,兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).,例如,可定義復(fù)合函數(shù):,1. 冪函數(shù),，它的定義域隨不同的a而異，但無論a 為何值，在(0,) 內(nèi)冪函數(shù)總是有定義的。其圖形過點(diǎn)(1，1)，a0和a0時(shí)的圖形分別如圖1.2和圖1.3。,4.基本初等函數(shù),2.指數(shù)函數(shù),，它的定義域 ， 值域 ，其圖形均過（0，1）點(diǎn)。當(dāng)a 1時(shí)，ax 為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)0 a 1時(shí)， ax 為單調(diào)遞減函數(shù)，如圖1.4所示。,現(xiàn)在介紹一個(gè)特殊的無理數(shù) 。在科學(xué)技術(shù)中時(shí)常會(huì)用到以e為底的指數(shù)函數(shù) 。,3. 對(duì)數(shù)函數(shù),，對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其定義域 其圖形均過(1,0)點(diǎn)，當(dāng)a 1時(shí)， 為單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)0a 1時(shí)， 為單調(diào)遞減函數(shù)。如圖1.5。,函數(shù) 的反函數(shù) 為簡(jiǎn)記為 稱為自然對(duì)數(shù)。,4. 三角函數(shù),正弦函數(shù) 的定義域 ，它是以2為周期的周期函數(shù)，且 ，其圖形在直線 之間。,是奇函數(shù)，且在 上單調(diào)遞增，如圖1.6。,余弦函數(shù) 的定義域?yàn)?，且也以為2周期，因?yàn)?，所以，其圖形也在直線 之間。 是偶函數(shù)，且在0，上單調(diào)遞減。如圖1.6。,正切函數(shù) 的定義域 它是以為周期的周期函數(shù)。因?yàn)?，故為奇函數(shù)。如圖1.7。,余切函數(shù) 的定義域 也為周期函數(shù)，周期為，且為奇函數(shù)。如圖1.8。,5. 反三角函數(shù)(主值),y=arccosx是余弦函數(shù)y=cosx在0,上的反函數(shù),叫做反余弦函數(shù),其定義域是-1,1,值域是0,，并在定義域上單調(diào)遞減,如圖1.10。,y=arcsinx是正弦函數(shù)y=sinx在 上的反函數(shù)，叫做反正弦函數(shù)。其定義域是-1,1，值域是 ，并在定義域上單調(diào)遞增，如圖1.9。,y=arccotx是余切函數(shù)y=cotx在區(qū)間(0,)內(nèi)的反函數(shù),叫做反余切函數(shù),其定義域?yàn)?-,+),值域是(0,),并在定義域上單調(diào)遞減的。,y=arctanx是正切函數(shù)y=tanx在區(qū)間( )內(nèi)的反函數(shù),叫做反正切函數(shù),其定義域?yàn)?,+),值域是( ),并在定義域上單調(diào)遞增。,1）冪函數(shù),2）指數(shù)函數(shù),3）對(duì)數(shù)函數(shù),4）三角函數(shù),5）反三角函數(shù),基本初等函數(shù),y =,4. 初等函數(shù),(1) 基本初等函數(shù),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對(duì)數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2) 初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱為非初等函數(shù) .,例如 ,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù) ,經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成 ,稱為初等函數(shù) .,可表為,故為初等函數(shù).,又如 , 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù) .,非初等函數(shù)舉例:,符號(hào)函數(shù),當(dāng) x 0,當(dāng) x = 0,當(dāng) x 0,取整函數(shù),當(dāng),*例5. 求,的反函數(shù)及其定義域.,解:,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,反函數(shù),定義域?yàn)?內(nèi)容小結(jié),1. 集合概念,定義域 對(duì)應(yīng)規(guī)律,3. 函數(shù)的特性,有界性, 單調(diào)性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函數(shù)的結(jié)構(gòu),2. 函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素,且,備用題,證明,證: 令,則,由,消去,得,時(shí),其中,a, b, c 為常數(shù),且,為奇函數(shù) .,為奇函數(shù) .,1. 設(shè),2 . 設(shè)函數(shù),的圖形與,均對(duì)稱, 求證,是周期函數(shù).,證:,由,的對(duì)稱性知,于是,故,是周期函數(shù) ,周期為,5經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù),1)需求函數(shù),若把該商品的價(jià)格 p 看作自變量,需求量D看作因變量,則有需求函數(shù),記做,需求函數(shù)的圖形稱為需求曲線,需求一般是價(jià)格的遞減,函數(shù).,注: 例外:古畫,文物的需求,最常用的需求函數(shù):,線性函數(shù),D = f(p),其中a,b為正的常數(shù),a 為價(jià)格為零時(shí)的最大需求量,為最大銷售價(jià)格(這時(shí)需求量為零).,2) 供給函數(shù),在其他因素不變的條件下,供應(yīng)商品的價(jià)格 p 看作自,變量而把相應(yīng)的供給量Q作為因變量,則有供給函數(shù),供給函數(shù)的圖形稱為供給曲線,它與需求相反一般 是增的.,最簡(jiǎn)單的供給函數(shù)為:,Q = -c + dp,其中c,d為正的常數(shù).,使一種商品的需求量與供給量相等的價(jià)格,稱為均衡價(jià)格.,例:已知雞蛋收購價(jià)每公斤3元,每月收購5000公斤.,若收購價(jià)每公斤提高0.1元,則收購量可增加500公斤. 求雞蛋,的線性供給函數(shù).,解: 設(shè)雞蛋供給學(xué)院的函數(shù)為,Q = - c + dp,其中Q為收購量,P為收購價(jià)格.由題意有,解得d =5000, c=10000,從而所求供給函數(shù)為,Q = -10000 + 5000p,例: 已知某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為,Q = 14 1.5p Q = -5 + 4p,求該商品的均衡價(jià)格,解: 由供需均衡條件, 有,141.5p=-5 + 4p,故:,1)一般, 總成本由固定成本和可變成本組成.,2)若產(chǎn)品的價(jià)格為p,相應(yīng)的銷售量為D,則銷售產(chǎn)品的總,最簡(jiǎn)單的成本函數(shù)為線性函數(shù):,c(x) = a + bx,其中x為產(chǎn)量,a,b 為正的常數(shù),a 為固定成本.,它是單增的.,3* 總成本函數(shù),總收入函數(shù).總利潤(rùn)函數(shù),收入函數(shù)為:,R(x)=pD,解: 設(shè) 此時(shí)的價(jià)格為p ,則應(yīng)有,3) 總利潤(rùn)等于總收入減去總成本,故總利潤(rùn)函數(shù): L(x) = R(x) c (x),例:設(shè)某廠每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為c(x) =2.5x+300,(單位為元).假若每天至少能賣出150件產(chǎn)品,為了不虧本,