ppt版本——哈工大版理論力學(xué)課件(全套)03.ppt

,理論力學(xué),1,理論力學(xué),2,y,x,z,F,Fx,Fy,Fz,i,k,j,Fx F cos(F，i) Fy F cos(F，j),Fz F cos(F，k),3-1 空間匯交力系 一、力在坐標軸上的投影 1、直接投影法 若已知力與正交坐標系Oxyz三軸間的夾角，則用直接投影法,理論力學(xué),3,理論力學(xué),4,y,x,Fx,Fy,Fz,F Fxy,j,g,Fx Fsing cosj,Fy Fsing sinj Fz F cosg,2、二次（間接）投影法 當(dāng)力與坐標軸Ox 、Oy間的夾角不易確定時，可把力F 先投影到坐標平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把這個力投 影到x 、y軸上，這叫二次（間接）投影法。 z,理論力學(xué),5,理論力學(xué),6,例 三棱柱底面為直角等腰三角形，在其側(cè)平面ABED上作 用有一力F，力F與OAB平面夾角為30 ，求力F在三個坐標軸 上的投影。,理論力學(xué),7,利用二次投影法，先將力F投影到Oxy平面上，然后再 分別向x，y，z軸投影。,FR (Fx) (Fy) (Fz),理論力學(xué),8,1,i,FR F F2 ,Fn F,合力的大小和方向為： 2 2,2, ,，i) ， cos(F ，j) ， cos(F FR FR FR,FR FxiFy jFzk,或,二、空間匯交力系的合成與平衡 1、合成 將平面匯交力系合成結(jié)果推廣到空間匯交力系得：,理論力學(xué),9,2、平衡,空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等于零。,i,FR F 0,以解析式表示為：,Fx 0,Fy 0 Fz 0 空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系力系中 所有各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。,10,例圖示為起重機吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，B端 用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的C點和D點，連線CD平行于x軸。 已知CE=EB=DE，角a =30o，CDB平面與水平面間的夾角EBF= 30o， 重物G=10kN。如不計起重桿的重量,試求起重桿所受的力和繩子的拉力。 解：1.取桿AB與重物為研究 對象，受力分析如圖。,x 理論力學(xué),y,a,A,B,G,C,z E,F,30o F1,D F2,FA,y,30o,a,A,B,G,z E,F,F1,FA,側(cè)視圖,理論力學(xué),11,1,1,1,2. 列平衡方程 Fx 0F sin45 F2 sin45 0 Fy 0FAsin30 F cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 Fz 0F cos45 sin30 F2 cos45 sin30 FA cos30 G 0,x,y,a,A,B,G,C,z E,F,30o F1,D F2,FA,1,3.聯(lián)立求解 F F2 3.54 kN，F(xiàn)A 8.66 kN,理論力學(xué),12,x,z,O,r,A(x，y，z) y,h,B F,空間力對點的矩的作用效果取決 于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面 方位。這三個因素可用一個矢量MO(F) MO(F) 表示，如圖。其模表示力矩的大小；,指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符 合右手螺旋法則)；方位表示力矩作用 面的法線。由于力矩與矩心的位置有 關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，,是定位矢量。,3-2 力對點的矩和力對軸的矩 一、力對點的矩以矢量表示力矩矢,理論力學(xué),13,理論力學(xué),14,以r表示力作用點A的矢徑，則,MO(F) r F 以矩心O為原點建立坐標系，則,x,z,MO(F),r,A(x，y，z) y,h,B F,j,O i,k,y Fy,z Fz,r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk i j,k,MO(F) r F x Fx,(yFz zFy)i (zFx xFz)j (xFy yFx)k MO(F)xi MO(F)y j MO(F)zk,理論力學(xué),15,y,F Fxy,O x h,z A a,B b,效果的度量，是一個代數(shù)量。 符號規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時針轉(zhuǎn)則取正號， 反之取負。也可按右手螺旋法則確定其正負號。 由定義可知：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面) 時，力對軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動時，它對 于軸的矩不變。,二、力對軸的矩 1、力對軸之矩的定義 力對軸的矩定義為力在與該軸垂直面上 的投影對該軸與此垂直平面交點的矩。 Mz(F) MO(Fxy) Fxyh 2A Oab 力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動,理論力學(xué),16,理論力學(xué),17,理論力學(xué),18,M z(F) MO(Fxy), MO(Fx) MO(Fy),Fy，F(xiàn)z，力作用點A的坐標為(x，y，z)，則, xFy yFx 同理可得其它兩式。故有 M x(F) yFz zFy,M y(F) zFx xFz M z(F) xFy yFx,2、力對軸之矩的解析表達式 設(shè)力F在三個坐標軸上的投影分別為Fx，,x,z,O,Fx,Fy,Fz,A(x，y，z),B,y Fy,a,Fxy b,x,y Fx,F,理論力學(xué),19,3、力對點的矩與力對過該點的軸的矩的關(guān)系 比較力對點的矩和力對軸的矩的解析表達式得： MO(F)x M x(F) MO(F)y M y(F) MO(F)z M z(F) 即：對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影， 等于力對該軸的矩。,理論力學(xué),20,a b c,理論力學(xué),21,Fx F cos cosj ,Fa a2 b2 c2,Fy F cos sinj ,Fb a2 b2 c2,2 2,2,Fc,Fz Fsin ,Mx(F) Mx(Fx)Mx(Fy)Mx(Fz) Fyc M y(F) 0 Mz(F) Mz(Fx)Mz(Fy)Mz(Fz) Fya,y,x,例求力F在三軸上的投影和對三軸的矩。 z 解：,F,j,c,a,Fxy b,cos ,a2 b2 a2 b2 c2,cosj ,a a2 b2,a2 b a2 b2 c2,理論力學(xué),22,解：,MAC(F) MC(F)AC,Fba a2 b2,MC(F) Fcosa a ,2,Fabc,M AC(F) MC(F) cos ,例如圖所示，長方體棱長為a、b、c，力F沿BD，求力F對AC之矩。,F,b,c,a,A,B,C,D,a,理論力學(xué),23,3-3,空間力偶,一、力偶的矢量表示 性質(zhì)：力偶由一個平面平行移至剛體另一個平行平面不影響 它對剛體的作用效果。,A,F,F,FR,B,A1F1 F2,B1,F2,F1,O FR,理論力學(xué),24,空間力偶的等效條件是：作用在同一剛體上的兩個力偶， 如果力偶矩矢相等，則兩力偶等效。,F,M,F,二、空間力偶等效定理,由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效用取決于力偶矩的大 小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶作用面的方位。因此可用一矢量M 表 示：用M 的模表示力偶矩的大小；M 的指向按右手螺旋法則 表示力偶的轉(zhuǎn)向；M 的作用線與力偶作用面的法線方位相同。,如圖所示。M 稱為力偶矩矢。 力偶矩矢為一自由矢量。,理論力學(xué),25,理論力學(xué),26,理論力學(xué),27, M M,三、空間力偶系的合成與平衡 1、合成 力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系。 空間力偶系合成的最后結(jié)果為一個合力偶，合力偶 矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即： M M1 M2 Mn Mi 根據(jù)合矢量投影定理： Mx Mx， y M y， z Mz,于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定： M (Mx)2 (M y)2 (Mz)2,M x M M y M M z M,cos(M，i) cos(M，j) cos(M，k) ,理論力學(xué),28,合力偶矩矢的方向余弦,例工件如圖所示，它的四個面上同時鉆五個孔，每個孔所受的切削力偶 矩均為80Nm。求工件所受合力偶的矩在x，y，z軸上的投影Mx，My，Mz， 并求合力偶矩矢的大小和方向。 解：將作用在四個面上的力偶 用力偶矩矢表示，并平移到A點。 M x M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1Nm M y M2 80Nm M z M1 M4 cos45 M5 cos45 193.1 Nm 所以合力偶矩矢的大小 2 2 cosM，i 0.6786,cosM，j 0.2811 cosM，k 0.6786,M (Mx) (M y) (Mz),M y 0,M z 0,理論力學(xué),29,2,因為： 所以：,2 2 M x 0 上式即為空間力偶系的平衡方程。,2、平衡 空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的 必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即： M M1 M2 Mn Mi 0,理論力學(xué),30,i i i,2 ,F FMi MO(F ),(i 1，n),F1,F2,y,z,Fn x,O,F1 Mn F2,M2,z,y,M1 x,O Fn,FR,O,MO x,y,z,一、空間任意力系向一點的簡化 空間力系向點O簡化得到一空間匯交力系和一空間 力偶系，如圖。,3-4,空間任意力系的簡化,理論力學(xué),31,理論力學(xué),32, i i,空間匯交力系可合成一合力FR： FR F F 力系中各力的矢量和稱為空間力系的主矢。 主矢與簡化中心的位置無關(guān)。,FR,MO x,y,z O,i,空間力偶系可合成為一合力偶，其矩矢MO： MO MO(F ) 力系中各力對簡化中心之矩矢的矢量和稱為力系對簡化 中心的主矩。主矩與簡化中心的位置有關(guān)。 空間力系向任一點O簡化，可得一力和一力偶，這個力 的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O； 這個力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。,理論力學(xué),33,理論力學(xué),34,二、空間任意力系的簡化結(jié)果分析 1、空間任意力系簡化為一合力偶的情形 FR0，MO0 簡化結(jié)果為一個與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等 于對簡化中心的主矩。此時力偶矩矢與簡化中心位置無關(guān)。 2、空間任意力系簡化為一合力的情形 FR0，MO0 簡化結(jié)果為與原力系等效的合力，合力的作用線過簡化中 心O，其大小和方向等于原力系的主矢。,d FR,理論力學(xué),35,簡化后為與原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主 矢，合力的作用線離簡化中心O的距離為,d ,MO FR,FR0，MO0 ，且FR MO MO,FR,O,F“R O FR O,FR,O,O,理論力學(xué),36,MO,FR,O,O,FR,3、空間任意力系簡化為力螺旋的情形 FR0，MO0 ，且FR MO 此時無法進一步合成，這就是簡化的最后結(jié)果。這種力與力偶 作用面垂直的情形稱為力螺旋。FR與MO同方向時，稱為右手 螺旋； FR與MO反向時，稱為左手螺旋。圖示為一右手螺旋。,理論力學(xué),37,理論力學(xué),38,M O,理論力學(xué),39,FR0，MO0 ，同時兩者既不平行，又不垂直，此時可 將MO分解為兩個分力偶MO和MO，它們分別垂直于FR和 平行于FR，則MO和FR可用作用于點O的力FR來代替， 最終得一通過點O的力螺旋。,MO,FR O,“,FR MO O,O,FR O MO,4、空間任意力系簡化為平衡的情形 當(dāng)空間任意力系向一點簡化時出現(xiàn) 主矢FR0， 主矩MO0 ，這是空間任意力系平衡的情形。,理論力學(xué),40,一、空間任意力系的平衡方程 FR=0，MO=0,Fz 0,Fx 0，,Fy 0，,Mx(F) 0，M y(F) 0，Mz(F) 0 空間任意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個 坐標軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對三個軸的矩的代數(shù) 和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。,3-5,空間任意力系的平衡,理論力學(xué),41,二、空間約束類型,理論力學(xué),42,43,解方程得 理論力學(xué), ,FD 5.8 kN， FB 7.777 kN， FA 4.423 kN,例圖示三輪小車，自重G=8kN，作用于E點，載荷F1=10 kN，作用于C點。 求小車靜止時地面對車輪的約束力。 解：以小車為研究對象，主動力和約束反力組成空間平行力系，受力 分析如圖。 列平衡方程 Fz 0 F 1 G FA FB FD 0 M xF 0 F 10.2mG1.2m FD 2m 0 M yF 0 F 10.8mG0.6m FD 0.6mFB 1.2m 0,理論力學(xué),44,例圖中膠帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力F=2kN。已 知膠帶輪的直徑D=400mm，曲柄長R=300mm，膠帶1和膠帶2 與鉛垂線間夾角分別為a和，a =30o， =60o，其它尺寸如 圖所示，求膠帶拉力和軸承約束力。,理論力學(xué),45,1,1,1,1,1,解：以整個軸為研究對象，受力圖如圖所示。列平衡方程。 Fx 0 F sin30 F2sin60 FAx FBx 0 Fz 0 F cos30 F2 cos60 F FAz FBz 0 M xF 0 F cos30 0.2m F2 cos60 0.2mF0.2m FBz 0.4m 0 D 2 M zF 0 F sin30 0.2m F2sin60 0.2mFBx 0.4m 0 注意到 F2=2F1 解 F 3kN，F(xiàn)2 6kN Ax Az 得 FBx 3. 35kN，F(xiàn)Bz 1.80kN,理論力學(xué),46,例圖示為車床主軸。車床對工件的切削力為：徑向切削力Fx=4.25kN， 縱向切削力Fy=6.8kN，主切削力Fz=17kN，方向如圖所示。Ft與Fr分別為 作用在直齒輪C上的切向力和徑向力，且Fr=0.36Ft。齒輪C的節(jié)圓半徑為 R=50mm，被切削工件的半徑為r =30mm?？ūP及工件等自重不計，其余 尺寸如圖。求: (1)齒輪嚙合力Ft及Fr；(2)徑向軸承A和止推軸承B的約束力； (3)三爪卡盤E在O處對工件的約束力。,理論力學(xué),47,48876mmFBx 76mmFt 30mmFy 388mmFx 0,解：1.以整體為研究對象，主動力 和約束力組成空間任意力系。 列平衡方程 Fx 0 FBx Ft FAx Fx 0 Fy 0 FBy Fy 0 Fz 0 FBz Fr FAz Fz 0 M yF 0 FtRFzr 0 M xF 0 48876mmFBx 76mmFr 388mmFz 0,M zF 0,由題意有,r t,Ft 10.2kN，F(xiàn)r 3.67kN FAx 15.64kN，F(xiàn)Az 31.87kN FBx 1.19 kN，F(xiàn)By 6.8kN，F(xiàn)Bz 11.2kN,F 0.36F 解方程得,理論力學(xué),48,2.取工件為研究對象，受力分析如圖,30,100 Mz My,FOx,FOz Mx O,FOy Fx,Fy,Fz,列平衡方程 Fx 0 FOx Fx 0 Fy 0 FOy Fy 0,Fz 0 FOz Fz 0 M xF 0 M x Fz 0.1m 0,解方程得,M yF 0 M y Fz 0.03m 0 M zF 0 M z Fx 0.1mFy 0.03m 0 FOx 4.25kN，M x 1.7kNm,FOy 6.8kN，M y 0.51k Nm FOz 17kN，M z 0.22kNm,理論力學(xué),49,A,B,1,6,C 4,2,5,3,30o,30o,A,B,例 一等邊三角形板邊長為a , 用六根桿支承成水平位置如 圖所示，若在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束力。 C M,M ,a F 6 0,F 6 ,a F4 0,a F 5 0,理論力學(xué),50,A,B,1,5,30o,A,B,C,M,F2 2,F4 F1 6,3 F5 C 30o F3 4,F6,M BB(F) 0,3 3 2 2 4 M 3 a,3 3 2 2,MCC(F) 0 M ,4 M 3a,F4 ,3 3 2 2,M AA(F) 0 M ,4 M 3 a,F 5 ,解:取等邊三角形板為 研究對象畫受力圖。,a F 1 4 0,F 1 ,a F2 5 0,a F 3 6 0,理論力學(xué),51,M BC(F) 0,3 3 1 a F 2 2 2 2M 3a,3 3 1 a F 2 2 2,M AC(F) 0,2M 3a,F2 ,3 3 1 a F 2 2 2,M AB(F) 0 ,2M 3a,F 3 ,A,B,5,30o,A 1,C,M,B F2 2,F4 F1 6,3 F5 C 30o F3 4,F6,45,理論力學(xué),52,x,3m,2m,3m,2m,A,B,C,D,60,45 ,G,60 H,y,z,P,例 扒桿如圖所示，立柱AB用 BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并,在A點用球鉸約束，A、H、G 三點位于 xy平面內(nèi)，G、H兩,點的位置對稱于y軸，臂桿的D 端吊懸的重物重P=20kN；求 兩繩的拉力和支座A的約束力。,解：以立柱和臂桿組成的系統(tǒng)為研究對 象，受力如圖，建立如圖所示的坐標。 列平衡方程：,FH C,A,45,FAy,60,理論力學(xué),53,聯(lián)立求解得： F G FH 28.3kN FAx 0 FAy 20kN FAz 69kN,B FAz,FG 60 45 FAx,G H,y,Fx 0:FAx FH cos60 sin45 F G cos60 sin45 0 Fy 0:FAy FH cos60 cos45 F G cos60 cos45 0 Fz 0:FAz FH sin60 F G sin60 P 0 Mx(F) 0:FH cos60 cos45 5 F G cos60 cos45 5P5 0 M y(F) 0:FH cos60 sin45 5F G cos60 sin45 5 0 z,D P,理論力學(xué),54,例圖示均質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端 用球鉸鏈與板和地面連接。板重為G，在A處作用一水平力F， 且F = 2G。求各桿的內(nèi)力。, F6 1,aF b 0,M FGF 0 G Fb F2b 0,M BCF 0 G F2 3 cos45 b 0,bF,F6 1 0, ，F(xiàn),理論力學(xué),55,解：1.取工件為研究對 象，受力分析如圖。 2.列平衡方程,a 2,b 2 b 2, 0,a a 2 a2 b2,M ABF 0 F6aG M AE 0 F5 0 M AC 0 F4 0,M EF F 0 G,3.聯(lián)立求解,G 2 F2 1.5G，F(xiàn)3 2 2G,理論力學(xué),56,F4,F6,F1,500mm,D F2,C,B F3,A,F D,F5 C,B,A,F4 0,1,MDD(F) 0 MCC(F) 0 MBC(F) 0 500F 500F 0 M AB(F) 0,1,F2 0 F6 0 F F,1000F 5 1000F 0,F 5 F,AD,(F) 0,M,500F 3 500F 5 0,F3 F,P108習(xí)題319 MBB(F) 0,Fy 0:FAy FT cos 30 0,FBx FBz 0,30,30,理論力學(xué),57,y,z,C,E A,FAx D x,FAz FT FAy P,FBz B FBx,2,Mx(F) 0:F T sin30 AB FBzAB P 1 AB 0,2,M y(F) 0:P 1 AD F T sin30 AD 0,x,y,z,B,C,D,E A,30,30,P,P108習(xí)題318 解：以板為研究對象，受力如圖， 建立如圖所示的坐標。 Mz(F) 0:FBxAB 0,2 Fx 0:FAx FBx F T cos30 sin30 0 Fz 0:FAz FBz F Tsin30 P 0 解之得：,FT 200N FAx 86.6N FAy 150N,FAz 100N,xC C C ,Fxi F yi Fzi,理論力學(xué),58,一、平行力系中心,F1,FR,F 2,平行力系中心是平行力系合力通 過的一個點。平行力系合力作用點的 位置僅與各平行力的大小和作用點的 位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。 稱該點為此平行力系的中心。 x,O,B,z r1,A rC,C r2 y,i i,i,Fr F,rC ,i i i,F F F, ，y ，z,3-6,重,心,1 1,rC,FRF 0 r FF 0 ,rn FnF 0,理論力學(xué),59,i i i,二、重心 重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體看成由無數(shù) 的質(zhì)點組成，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺 寸比地球小得多，因此可近似地認為重力是個平行力系， 這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重 力的合力作用線相對于物體總是通過一個確定的點，這個 點稱為物體的重心。 i P P P, xdl， y,l, ydl， z,l,理論力學(xué),60,對于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標分別為：,xC,y,z,xdV V,ydV V,zdV V,V,V,V,，C,，C,xC,y,z,xdA A,ydA A,zdA A,A,A,A,，C,，C,l,l,C,C,xC,l zdl l,均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。,理論力學(xué),61,三、確定物體重心的方法 1、簡單幾何形狀物體的重心 如果均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則 該物體的重心必相應(yīng)地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ 中心上。簡單形狀物體的重心可從工程手冊上查到。,理論力學(xué),62,例 圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為R的圓弧AMB 與弦AB所圍成的弓形，試求其重心在其對稱面中的位置。 解 1、在物塊的對稱面上建立圖示 直角坐標系oxy，由對稱性知，弓形 體物塊的重心必在x軸上，故yc=0。 2、圖示弓形面積可看成由扇形 OAMB去掉三角形OAB得到，由負 面積法可求得弓形的重心。扇形和 三角行的面積，重心位置查表可得； 故所求弓形體物塊的重心的坐標為,R sina ,R sina cos2a, 3,理論力學(xué),63,2 3 2 3 3 R2a R2 sina cosa,A1x1 A2x2 A1 A2,xc ,4Rsin3a 3(2a sin2a),2Rsina(1cos2a) 3(a sinacosa),扇形OAMB的面積,A 1 R2a,其重心位置：,2 Rsina 3 a,x1 ,三角形OAB的面積 1 2,其重心位置：,2 3,(Rcosa),x2 ,理論力學(xué),64,i i i,2、用組合法求重心 分割法 如果一個物體由幾個簡單形狀的物體組合