2019_20學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章函數(shù)應(yīng)用4.1.1利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在課件北師大版必修.pptx

1.1 利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在,一,二,一、函數(shù)的零點 1.函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點. 2.函數(shù)f(x)的零點就是方程 f(x)=0的解. 【做一做1】 函數(shù)y=x2+2x-8的零點為( ) A.(-4,0),(2,0) B.-4,2 C.-4 D.2 解析:根據(jù)零點的定義,令y=x2+2x-8=0. 解得x1=-4,x2=2.所以零點為-4,2. 答案:B,一,二,二、函數(shù)零點的存在性定理 若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反,即 f(a)f(b)0,且f(x)在(0,+)上為增函數(shù),所以零點一定位于區(qū)間(3,4),故選B. 答案:B,一,二,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“”,錯誤的打“”. (1)零點就是函數(shù)圖像與x軸的交點. ( ) (2)二次函數(shù)有可能有三個零點. ( ) (3)若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)曲線,且滿足f(a)f(b)0,則零點不一定只有一個,也可能有多個. ( ) (4)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)曲線,且在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,但不一定有f(a)f(b)0. ( ) (5)若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b上的圖像不是連續(xù)曲線,則當(dāng)f(a)f(b)0時,f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,求函數(shù)的零點 【例1】 求下列函數(shù)的零點: (1)f(x)=x2+3x-4; (2)f(x)= -4x; (3)f(x)=1+log3x. 分析:函數(shù)解析式均已給出,可用代數(shù)法求函數(shù)的零點. 解:(1)令f(x)=x2+3x-4=0,得x=-4或x=1,所以函數(shù)零點為-4和1.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,求函數(shù)零點的方法通常有兩種: (1)代數(shù)法,求f(x)的零點,就是解方程f(x)=0,方程的實數(shù)根就是函數(shù)的零點.其中解分式方程、根式方程、對數(shù)方程時要注意驗根,保證方程有意義,避免增解; (2)幾何法,求f(x)的零點,就是求f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,變式訓(xùn)練1(1)函數(shù)f(x)=x2-2x+a有兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是 . (2)求函數(shù)f(x)=4x-16的零點. (1)解析:由題意可知,方程x2-2x+a=0有兩個不同的解,故=4-4a0,即a1. 答案:(-,1) (2)解:令4x-16=0,得4x=42,解得x=2,所以函數(shù)的零點為x=2.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,函數(shù)零點個數(shù)的判斷 【例2】 判斷下列函數(shù)零點的個數(shù): (1)f(x)=(x2-4)log2x; (2)f(x)=x2- ; (3)f(x)=2x+lg(x+1)-2. 解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0, 解得x=2或x=1. 又因為函數(shù)定義域為(0,+),所以x=-2不是函數(shù)的零點,故函數(shù)有2和1兩個零點.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,(3)(方法一)f(0)=1+0-2=-10, f(x)=0在(0,2)上必定存在實根. 又顯然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個實根,即f(x)只有一個零點. (方法二) 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的圖像如圖所示. 由圖像知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x有且只有一個交點, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個零點.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,判斷函數(shù)零點個數(shù)的三種方法 (1)利用方程的根,轉(zhuǎn)化為解方程,有幾個不同的實數(shù)根就有幾個零點. (2)畫出y=f(x)的圖像,判斷它與x軸交點的個數(shù),從而判斷零點的個數(shù). (3)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點問題. 例如,函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點個數(shù)就是方程f(x)=g(x)的實數(shù)根的個數(shù),也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像交點的個數(shù).,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,答案:(1)C (2)1,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,函數(shù)零點性質(zhì)的應(yīng)用 【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3a+1(a0)在-2x2上存在一個零點,求實數(shù)a的取值范圍. 分析:函數(shù)f(x)為關(guān)于x的一次函數(shù),當(dāng)它穿過零點時,函數(shù)值變號. 解:f(x)=ax+3a+1(a0)在區(qū)間-2,2上存在零點,f(-2)f(2)0, (-2a+3a+1)(2a+3a+1)0, 即(a+1)(5a+1)0.,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,1.由于一次函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù),因此當(dāng)一次函數(shù)y=f(x)在a,b上存在零點時,一定有f(a)f(b)0. 2.本題中涉及一元二次不等式的解法,解一元二次不等式可以借助一元二次不等式對應(yīng)的函數(shù)圖像(當(dāng)一元二次不等式小于等于0時,其圖像在x軸下方的自變量的取值范圍就是其解集),也可以將一元二次不等式因式分解后變?yōu)間(x)h(x)0,則不等式等價于,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,變式訓(xùn)練3當(dāng)實數(shù)a取何值時,方程ax2-2x+1=0的一個根在(0,1)上,另一個根在(1,2)上? 解:當(dāng)a=0時,方程即為-2x+1=0,只有一個根,不符合題意. 當(dāng)a0時,設(shè)f(x)=ax2-2x+1, 因為方程的根分別在區(qū)間(0,1),(1,2)上,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,二次函數(shù)的零點綜合問題 【典例】 已知二次函數(shù)f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5. (1)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個不同零點時,求k的取值范圍; (2)若-1和-3是函數(shù)的兩個零點,求k的值; (3)若函數(shù)的兩個不同零點是,求2+2關(guān)于k的關(guān)系式h(k). 分析:本題考查對二次函數(shù)零點的理解及零點的性質(zhì).本題中的函數(shù)f(x)是二次函數(shù),因此其零點的判斷和零點的性質(zhì)問題可以轉(zhuǎn)化為二次方程根的判斷或根的性質(zhì).,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,探究一,探究二,探究三,規(guī)范答題,1.若二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩根是x1,x2,也可以說x1,x2是f(x)=ax2+bx+c的兩個零點,則有 . 2.本題中如果忽視,將會影響2+2的范圍而導(dǎo)致出錯.,1,2,3,4,5,6,1.如下圖四個函數(shù)圖像,在區(qū)間(-,0)內(nèi)存在零點的函數(shù)是( ),解析:在區(qū)間(-,0)內(nèi),只有B中的函數(shù)圖像與x軸的負(fù)半軸有交點. 答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,3.若函數(shù)f(x)的圖像在R上連續(xù)不斷,且滿足f(0)0,f(2)0,則下列說法正確的是( ) A.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點,在區(qū)間(1,2)上一定沒有零點 B.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點,在區(qū)間(1,2)上一定有零點 C.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點,在區(qū)間(1,2)上可能有零點 D.f(x)在區(qū)間(0,1)上可能有零點,在區(qū)間(1,2)上一定有零點 解析:根據(jù)零點的判斷方法,因為f(0)f(1)0,所以f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點,在區(qū)間(1,2)上無法確定是否存在零點.如圖所示,圖中區(qū)間(1,2)上有零點,但圖中區(qū)間(1,2)上無零點. 答案