（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）關(guān)于差分流線擴散法的兩個問題.pdf

趙云凱 ( 南開大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院計算數(shù)學(xué)天津3 0 0 0 7 1 ) 摘要 本文由兩部分組成，在第一章中，將交替方向法與差分流線擴散法( 以下簡稱 f d s d 方法) 相結(jié)合，對于線性對流擴散阿題稿躉了二種交替方向差分流線擴散格 式，給出了格式的實現(xiàn)過程并就穩(wěn)定性及誤差做了分析。此格式不但實現(xiàn)了解二 維對流擴散方程降維的目的并且保持了呈2 2 左迭良好穩(wěn)定性及高精度階的基本 性質(zhì)。第二章對具第三類邊界條件的對麗擴散問題，給出了差分流線擴散法的理 論分析，包括格式的建立，穩(wěn)定性分析，可解性及格式的誤差估計。 t w o q u e s t i o n a b o u tf i n i t ed i f f e r e n c e s t r e a m l i n ed i f f u s e z h a oy u n k a i ( n a n k a iu n i v e r s i t ym a t h e m a t i c s i n s t i t u t e c o m p u t e m a t h e m a t i c s t i a n i i n3 0 0 0 71 ) a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m p o s e dt w op a r t ，i nt h ef i r s tc h a p t e r , a l t e r n a t ed i r e c t i o nm e t h o d i sc o m b i n e dw i t hf i n i t ed i f r e r e n c es t r e a m l i n e d i f f u s e ( f d s d ) m e t h o d t h e na l t e m a t e d i r e c t i o nd i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i 廂j s es c h e m ei sc r e a t e df o rl i n e a rc o n v e c t i o nd i n b s e q u e s t i o n ，w ep r e s e n tr e a l i z a t i o no f s c h e m ea n dt h ea n a l y s i so fs t a b i l i t ya n de r r o r t h i s s c h e m en o to n l yr e a l i z e st h ep u r p o s eo fl o w e r i n gt h ed i m e n s i o no f s o l v i n gt h et w o - d i m e n s i o nl i n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s eq u e s t i o n ，b u ta l s ok e e p st h ef a v o r a b l es t a b i l 時a n d h i g hp r e c i s i o no ff d s dm e t h o d i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h et h e o r e t i c a la n a l y s i sf o r d i f f e r e n c es t r e a m l i n ed i f f u s em e t h o dh a v i n gt h et h i r dk i n dc o n d i t i o ni so f f e r e d t h e r e a r et h ef o u n d a t i o no f s c h e m e ，a n a l y s i so f s t a b i l i t y , s o l v a b l ea n de s t i m a t i o no f e r r o r 前言 交替方向法是由p e a c e m a n ，d o u g l a s 等人于1 9 5 5 年提出的，后d 0 u g l a s 和d u p o n t 作過這方面的理論分析 1 1 其思想是：通過算子分裂【2 】2 ，把一個高維問題化為 一系列的一維問題，交替地在各空間變量方向求解，降維后的問題求解簡便， 快速，大大降低了計算復(fù)雜性。 流線擴散法( 簡稱s d 方法) 是由h u g h e s 與3 0 h n s o n 等人于8 0 年代初提出 并加以發(fā)展的一種數(shù)值求解對流占優(yōu)問題新型有限元方法4 ，因其具有良 好的穩(wěn)定性與高階精度，愈來愈為數(shù)學(xué)界與工程界所關(guān)注，已成為求解對流占 優(yōu)擴散方程的一種新型方法。九十年代初期，孫澈教授在此基礎(chǔ)上提出了差分 流線擴散法( 簡稱f d s d 方法) f 5 】，理論及數(shù)值實驗表明，與傳統(tǒng)的流線擴 散法相比，此方法計算簡便并保持有良好的穩(wěn)定性與高階精度的性質(zhì)，但對高 維問題，在每一時間層上仍需求解一個大型線代數(shù)方程組。在孫澈教授的指導(dǎo) 下，本文作者將兩種方法有機結(jié)合，構(gòu)造了一種交替方向差分流線擴散格式， 用以求解二維對流占優(yōu)擴散問題文章第一章對格式的實現(xiàn)過程，穩(wěn)定性及誤 差估計作了詳細的闡述，并給出了數(shù)值算例，實際的數(shù)值結(jié)果與理論分析符合 的很好；此格式不但大大縮短了計算的工作量并且保持了差分流線擴散法良好 穩(wěn)定性及高精度階的基本性質(zhì)。 雖然已有諸多文獻就流線擴散法的理論及其應(yīng)用進行了討論【5 1 1 8 7 ，但大 多局限于第一類邊界問題，對具有第三類邊界條件的對流擴散方程的f d s d 方 法，僅有文 8 】作過分析，然而該文中給出的假設(shè)條件7 + 扣- 畜7 0 0 似過于 苛刻，使方法的應(yīng)用具有較大的局限性，本文第二章將此條件舍去，對c n 型f d s d 格式重新進行了理論分析，證明了當關(guān)系式a t = 府艫中的系數(shù)府滿 足適當限制時，格式關(guān)于右端項及初值穩(wěn)定，其風誤差在時間上達到2 階， 空間上豐滿。 1 交替方向差分流線擴散法 1 1 問題的提出 設(shè)矗= j 置為單位方形域，j = 0 ，1 】，本文討論如下對流占優(yōu)擴散問題： ( 1 1 l a ) 贊一v ( 口( ，t ) v u ) + 盧( z ，t ) v u + 口( 2 ，t ) t = ，( ，t ) ，( ，t ) n ( o ，卅， ( 1 1 i b ) u ( ，t ) ：0 ，( z ，t ) a q ( 0 ，t 】， ( 1 1 i c ) ( z ，0 ) = u o ( z ) z n 其中：t 0 為給定常數(shù)，盧= ( 盧。，盧：) ( 1 1 2 ) 口( z ，t ) ，風l o o ( i 礦1 1 0 。( n ) ) ，盯( 囂，t ) ，工o 。( 三( n ) ) ，( z ，t ) 上2 ( 上2 ( n ) ) 記： 口= n 。( o ，t 】，8 。1 釅。( 。，) ，a l 2 s u 口p 口( z , t ) ，6 = s - 口p i l v 口( 。，) m v 為關(guān)于空 間變量的梯度算子， a = i i 愛怯仁叫n ) 】，蜘= n i g o 內(nèi)= s u pi 口( ，t ) l 2 q 耳= s u p l i 盧( ，t ) l i = s u p ( 慨( z ，t ) 1 ) ，b l = s u p l 戚印i 2 這里0 。a l k ，意指問題( 1 11 ) 是對流占優(yōu)的。簡稱滿足上述條件的問 題( 1 1 1 ) 為問題( a ) 。 1 2 交替方向f d s d 格式及其數(shù)值實現(xiàn) 設(shè)孔h = 0 ，使得對v t l ，h ，成立： i i v w lj p , h “i i 訓(xùn)l i i i i p j l 一1l l v w l i 其中：i lz x w f i 壘( l i ”i f ：) e i tm h 甜聰 引理1 3 2 ( 插值逼近性質(zhì)) 設(shè)h ：日州( n ) nc ( a ) 一是有限元插值算子，如 _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ r _ _ - - _ _ _ _ - r 一 果g 日+ 1 ( n ) i - i c ( f i ) ，則對w 竺i i h g v h 有： i i g w i t + h l l v ( g w ) l l + 2 | j 彘( g t o ) 1 1s m h h l l l 9 1 1 r + 1 其中界定常數(shù)m 與投影w 及網(wǎng)格參數(shù)h 均無關(guān)。 設(shè)w 三”( 1 ，”( n ) ) 容易得 i i , o n 一, o - - l i t 2 圳瓦o w 憶2 2 ( j n ；l 。) 咿( ”“一1 1 ) n - - i ) 2 t l 限籌) 1 1 2 2 ( j ；l 2 ) 記磊礦n + 1 ：貯萇竽。在格式( b ) 中取a = g a 。，其中g(shù) = 2 ( 1 + q o ) ，選取6 使之 滿足條件 6 m “ k p 4 耳p q o , 2 a p k ； 6m a x k 2 ，4 c , ，2 k a ) 警 6 口。g u 耳p 2 i h 2 6 c a ) 魯 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 33 ) ( 1 3 4 ) 其中c o = m a x 8 ，2 0 蜀2 + 4 + 2 a ，2 0 口 ) 。在后文中，無妨認為6 i 。 定理! ! ：!如果 ) 是格式( b ) 之解，5 滿足條件( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 且 a t 適當小，則有穩(wěn)定性估計 m a x1 u “妒+ 2 n n 如套v 州1 聃碚。辮【瑚l 磊哪 c ( n - 1 zat+aoat-：圳叫iz+aoatiifll a t a o a t l w uip a o t l l 警i i 。 c ( + 咿。 尋2 + a 0 2 ( a t ) 2 i i 麗5 9 2 州) 其中c 是與h ，t ，石1 無關(guān)的正常數(shù)。 證明：對于格式( b ) ，取”= u “，則 ( 學(xué)，u n + ，) + a ( v t v ”+ 、一礦“) ，v u “+ 1 ) + ( a v u “，v u “+ ) m ( 0 2 ( l ，焉1 ) 6 ：( ，n ，u n + 1 + 5 p n v 礦n + 1 ) ( u n - - 五廠u n - 1 ，j 盧“v 礦“+ 1 ) + ( 可( 口r t v u ) ，j 盧“v u 。+ 1 ) 一( p “v u ”，礦“+ 1 + 6 盧”v u “+ 1 ) 一( ，“u “，u “+ 1 + 6 盧”v 礦”+ 1 ) 壘且 ( 1 35 ) 記( 1 3 5 ) 式左端壘 + ，其中 ：( 騭, v n + 1 ) + ) s a t 麗0 2 ( 一1 坩) ，磊 2 去- 2 u + l l 。刈c ，”l i 2 ) + q 2 a 0 2 2 a t ( 。i i a 。0 菇s 一2 刈彘州n = a ( v ( ，“+ l u “) ，v u n + 1 ) + ( a v u “，v u 1 ) = ( a v u n + 1 一( a a n ) v u “，v u “+ 1 ) ( a 一；j l a 一口”i l 。) l l v u “+ 1 1 1 2 一；i | a a l i o 。l i v u “1 1 2 再對右端作逐項估計 由( 1 3 2 ) 有 從而 由( 1 32 ) 有 s 1 = ( ，“，u ”+ 1 + 6 蘆“v 礦“+ 1 ) 2 州i 。+ 扣n + ，nt $ 2 k 2 | | v u - + l p 2 5 k 詈 s ，3 擴i t 2 + 扣州n 剖a o v 礦州i | 2 s 2 = 一( u n 面- 礦一n - i ，5 f i n v u - + i ) 劍即刈z + 竿i i v u - + t h 2 s 。= 6 慨礦”n 黝v 礦州1 1 2 如= ( v ( a n v u “) ，6 礦v 礦”+ 1 ) = ( v a “一v 礦“占盧“v 礦”+ 1 ) + ( 口“v ( v 礦“) ，即“v 礦”+ 1 ) s ( q o a o $ k p h _ 1 + 5 k a ) i l v u “i v u - + 1 i i 由( 1 31 ) 及( 1 32 ) 有 島= 黜v 礦”n 囂l t v u 州1 1 2 7 ( 1 3 6 ) = 一( 礦，v u n ，u n ) 一( 目n v u n ，u n + l 百_ 一u n ) t 一( 盧”v 礦“，占礦v 礦”+ 1 ) 知一i i + 竽啊哪+ 礎(chǔ)ij g t u 州1 1 2 + 等川v 刪i i + l l v 曠1 2 ) 釉礦l i + ( 竽+ 剮v 盯i i + 而a o 咿i i + k a 圳反擴“釅 2 吲礦f l z + ；i i u + - lj 。+ 扣i i + 孚 1 1 2 卸曠1 1 2 + ；l t u ”ij + 黜v 礦i i 綜合 ， ，矗一一乳兩邊同乘2 a t ，并關(guān)于n = l ，m 一1 ，ms 求和 由a = q a o = 2 ( 知+ 口1 ) ，可得 一扣一礦l i 。一；1 1 - a - l l i 。= 2 d 0 因此 i i u | | 2 + 3 口0 i l v u 州釅a t + g 。3 ( 出) 2 “萬鼉擴”釅 1m 一11i一1 d ( i i “l(fā) i 2 a t + l l u ”1 1 2 t ) + i k a t i l v u “1 1 2 a t 芝i 妒+ 1j 1 2 塒苣i i g , t r 刊2 + 竿i l v u + 2 k a t a t i i g , t r a t i l v u lj 1 2 懈礦”1 j 1 2+ 2 j ”1 1 2 + = 專蘭 1 釅 r t = l n = 1 + l l u l 肌礦碚( 蜊巍礦1 | 1 2 為對上式右端中出現(xiàn)的項2 k a t m - 1i i & u n + ，釅a t + 2 6 ”n - 1i i & u n 臚a t 作進一步處 理，建立以下引理 呈l 理! ! ! 如果 u “) 為格式( b ) 之解，5 取僵滿足條件( 1 3 1 ) ，( 1 3 3 ) 則估 計式 m 薹- 1 臚+善州：塒2 鰣a t 鈴 - 鏟幔8 - - 曠驢y l i e u a t 2 q a o a ti wc & v ) l la t+ 1 2 a t 1 | 1 2 + ”1 2 + 4 a 2 ( ) 2 p ”。 2 n = ln = l ，1 t t o 仇一1m 一1w 1 - - 1 sc o ( a t l j 蘭夭 f 1 2 + i l 廣l | 2 a t + v 擴l 2 a t + | l 礦“i 2 t ) + ( a ) * t i v u n + 1 2 + 2 a o q o l l v u l 儼( 1 3 7 ) 成立，其中c o = m a z s ，2 0 k 2 + 4 + 2 a ，2 0 口i ) 與h ，a t ，i 1 無關(guān) 8 證明：在( 1 2 1 ) 中取v = 反驢+ 1 有： ( 反礦“+ 1 ，0 t u “+ 1 ) + a ( v ( 玩礦“+ 1 ) ，v ( g , u “+ 1 ” + a 2 2 ( 淼( 反礦”1 ) ，贏( 玩u 州) ) 二( ，“，玩，”+ 1 + 5 盧“v ( 玩u n + t ) ) 一( o t u “，6 蘆“v ( 反礦“十1 ) ) + ( v - ( a r t v u “) ，即“( v 磊礦”+ 1 ) ) 一( 盧“v 礦“，磊礦“+ 1 + 即”- v ( 磊u “+ 1 ) ) 一( 盯“礦“，反礦“+ 1 + 占盧“v ( 反礦“+ 1 ) ) 一( a r t v u “，v ( 反礦n + 1 ) ) 6 壘e l i ( 1 3 8 ) 顯然上式左端：慨c ，“+ 1 1 1 2 + a t | | 審( 反礦“+ 1 ) 1 1 2 + a 2 ( t ) 2 | | 缶( 反c ，“+ 1 ) | | 2 現(xiàn)對于上式右端作逐項估計 j l = ( ，“，反礦“+ 1 + 6 蘆“v ( 磊u n + 1 ) ) l i f f l 2 + 扣v - + i l l 2 圳刪+ 罕啊妒1 2 由條件( 1 3 1 ) 式及引理1 3 1 可得 2 1 1 1 “n 勘磊礦州i | 2 類似地，有 ，2 = 一( 仇礦“，6 礦v ( o , u “”) ) 知反礦”n j 2 k 2 f 甲磊礦州f 1 2 s 扣磊盯“n 去l l o - , u 1 爐 厶= ( v ( a t ) v u “) ，即“v ( g , v ”+ 1 ) ) = ( v a “v c ，“，占盧“v ( 磊礦”+ 1 ) ) + ( a v ( v 礦“) ，即“- v ( 磊礦“+ 1 ) ) ( 5 盯口1 p 2 h 一2 + d a g k h 一1 ) l l v v “i | i 玩礦“+ 1 | | | | v 礦”n 副玩礦”1 f 1 2 1 4 ： - z “v u “，反u “+ 1 + 6 p “v ( 玩u “十1 ) ) 4 k 2 | | v 礦“n 剎1 執(zhí)- 礦州nk a i i v 礦“n ；5 2 盯2 愀反礦州) 釅 5 k 。l i v e r “n 副o 執(zhí)- 礦州曠 如= 一( 口“礦“，磊礦“+ 1 + 5 盧”v ( g , v “+ 1 ) ) 5 一湘“n 扣反u ”1 n 卻盈u l 2 5 口“n 副反礦”1 | j 2 9 對于項一( 礦v 礦“，v ( 反擴1 ) ) 作如下處理： = 一( n “v 礦“，v ( 百t u “+ 1 ) ) + ( a n + 1 v u “+ l ，! ! ! ! 竿) _ ( 口州v 礦n + l ，嬰等嬰) 壘g 】一g 2 g - = 一( n “v 礦“，v ( 反礦“+ 1 ) ) + ( a n + l v u n + l , ! ! ! 竿) = ( ( 口“+ 1 一n ”) v c r “+ 1 + a “( v u “+ 1 一v 礦“) ，v ( 反礦“+ 1 ) ) = ( ( 口“+ 1 一口“) v u “+ 1 ，v ( 玩礦“+ 1 ) ) + ( 口“( v u ”+ 1 一v 礦“) ，v ( 玩礦“+ 1 ) ) 壘0 1 + 0 2 o l = ( ( 口“+ 1 一擴) v u “，v ( a u “+ 1 ) ) 出i i 勃州帥”l l v u ”1 i i i i v c 6 , u 州川 。圳v ( 魂u “+ 1 ) | 2 + ( a i ) ：2 _ a t ”v v + t 1 ) 2 0 2 = ( a n ( v u “一v u “) ，v ( a u ”+ 1 ) ) = a t ( a “v ( 磊n + 1 ) ，v ( 磊“+ 1 ) ) a l a t i l v c 反u “+ 1 ) 1 1 2 = 9 0 圳v ( 反礦n + 1 ) fj 2 g 2 = 【擴+ t v u 州，v u + n 1 - cv u ) 2 壺( 口1 v c ，1 、可礦蚪1 ) 一- 擊c o o + 1 v 礦1 ，v 礦“ 三 擊( 一1 v r n + 1 ，v 咿1 ) 一麗1l 蠆1 ( 一1 v 礦n + l ，v 州) + ；( 口“+ 1 v 礦“，v c 廠”) 】 2 赤( a n + l v 咿1 ，v 一1 ) 一赤( a 州v 礦“，v 礦“) = 五i ( a n + 1 v 盯州t v c r 州) 一蕊1 t 口n v 擴，v 擴n ) 一志( ( 礦+ 1 一礦) v u “，v 明 2 面1 ( 一1 v 礦n + l ，v 曠1 ) 一蕊i ( 柙n v 礦“) 一；a l l v u ”1 1 2 將g 2 移到估計式( 3 8 ) 的左端，綜合 一厶得 ；| 磊礦“+ 1 臚+ ；z 印州v ( 磊擴“+ 1 ) 1 1 2 + a 2 ( t ) 2 “! ! ：雩! 等曠 + 赤( a n + 1 v u n + l , v ，卅1 ) 一赤( 礦v 礦“，v 礦”) s 扣反礦“n2 1 2 + ( 1 + 5 k 2 + ；) i l v u n j | 2 + 警啊m 1 2 + 5 a 引刪i i ( 13 9 ) 上式兩邊同時乘以4 a t ，并對n = 1 , 2 1 2 1 - 1 ，2 曼m 墨求和得 l i e u “+ 1 i i2 a t 十2 q a o a t i i v ( 玩礦“+ 1 ) 1 1 2 a t + 2 ( a ”v u ”，v u ) 瑚叫：虱雩壙t g 刪j 竿爐+ 虱，n j l 2 t + 蚤v 哪t + 卦擴爐亂) + 警蕁w 州0 2 a t + 2 q o a o 拶曠 其中c o = m a x 8 ，2 0 k 2 + 4 + 2 a ，2 0 砰) 與 ，a t ，擊無關(guān)， 弓i 理得證 現(xiàn)另戚足理1 3 1 的證明，取a t 冗分小，便得 a ts 1 ，k a t c 。而a o ，k a a t 塑4 ( 1 3 1 0 ) 由引理1 3 3 及條件( 1 3 2 ) ，( 1 3 4 ) 可得 +dom圣-1iiu i i i t v u 州i 阻口3 ( z i i 番礦一i i a t “2 + d o “+ 1 i 阻碚( t ) 2 i i j 若蕊礦”2 g ( i l l “i i2 a t + i i u ”| | 2 a t + a o x t l l w u l l l 2 + i i 盯1 1 1 2 慨酬i 里1 1 2 + a 2 | | 品哪) ( 1 31 1 ) 運用g r o n w a l l 不等式有 ：m 她= 。i i u 刈2 + a 。剄v 州i 斟。3 ：辮( 瑚l 番刪i i c ( n - i n 1 12at+aoatii-ii：+iiitli i a t a o a t l l v ui i i i u l i l 2 佃a t l l 之罷i z c ( “+ + 知竿i 2 + 碚( t ) 2 i i 蠢毛u 1 其中c 是與h , z l t ，擊無關(guān)的正常數(shù)。定理得證。 作為定理1 , 3 1 的一個直接推論，有 立喇l 盥 設(shè)6 滿足條件( 13 1 ) 一( 1 3 4 ) ，則當a t 適當小時，格式( b ) 之 解存在唯一i 1 4 格式的誤差估計 刀訂比糌式( b ) 的誤愛估計，假足f 司越( a ) 的解u 具有光滑性： u l 。( h t mnh j ) ，窯甜( 1 ) ，器甜( 功，盎甜( 主。) ( 1 4 1 ) 取w ( t ) 為u 在v h 中的插值：”= i i h u ( t ) ，記 f “= u ”一w ”，叼“= u “一w “ 則 e ”= “”u ”= 叩”一e ” 其中u “是格式( b ) 之解，礦是問題( a ) 之弱解。 由引理1 3 2 有 i i , r l l + i i v , 7 1 1 + h 2 l i 南q “t i m 一1 i i , r i i r + 1 ( 1 4 2 ) 因磐是罄在中的插值，易見有 白卅礎(chǔ)) 州i v ( o 臚r h 2 i i 旦o = o y f o t 州“，) c h 州憤h 枷一) ( 1 刪 注意到問題( a ) 之解u 滿足關(guān)系式 ( 芝，幫”卅例酬警，蓋v ) = ( 卜臚v u ”卅u n ，v + 6 嵋) 一( 號，哪) ( vu n + l - - u n 例+ a 2 a t ( 警，蓋”) + ( v ( a n v b n ) ，邶) 一( a v u v v ) + ( t * , t n + l _ t t n 一( 魯) “，”+ 睇) 將上式- g ( 12 1 ) 相減，則可導(dǎo)出 ( 學(xué)，”m ( v + 17 例水w v 卅煳磊( n + l - - f n ) ，彘。) ( l 產(chǎn)，”) + a ( v ( 1 一n v ”) + ( a “v v ) + f t ( 熹( ) ，羔。) = ( r 7 n + 1 r r n 州v ( 礦1w ) 脅) 塒t ( 南n n + l - - f 7 n ) ，磊”) 。( v n + l _ t t n ) j v ”) _ a 2 a t ( 番( 一吼南卅( 椰柑”) 一( u n - - u n - 1 1 汀_ _ u n + l + u n ，5 嵋) + ( e l ，。+ 5 唯) + ( 一v ( 。n v p ) ，6 唁) 、 t p ，。 ”1 p ，1 - l “ c j o 唯j - i v _ 礦v 礦) ，5 嵋) 一”v p t 口+ 5 昭) + ( 礦v 礦，口+ j 嵋) + ( 盯“叩“，u + 占 孑) ( 礦“f “， + 占口囂) 1 2 壘1 f 1 iv v h ，( 1sn 曼n 1 ) ( 1 4 4 ) 驀 其中e 。= 警一( 象) “ 定理! ：壘：!設(shè) u “) ， “”) 分別為格式( b ) 及問題( a ) 之解，擴= u “一礦”， 則當d 滿足條件( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 0 3 3 ) 且a t 適當小時，有誤差估計 n 2 ：她m a x 。i i e 刈2 + a 2 a t 22 辮i | 淼礦| | 2 + a o 到乳刈襯 c ( h 2 h 1 執(zhí)驢+ 去驢+ 2 + a t 2 證明：在( 1 44 ) 中取v = p + 1 ，并記其左端壘 + ：( 甓+ 1 ) + a 2 a t ( 麗0 2 ( 嘲為) 知妒曠) + 學(xué)川品1 1 2 刈麗( 9 2 哪i i ) ：a ( v ( f 卅1 一p ) ，v f 時1 ) + ( 口n v p ，v p + 1 ) ( a 一；i i a - a “l(fā) l 。) l i v e 州肛；i i a - a - i i m t l v f 1 1 2 對( 1 4 4 ) 右端作逐項估計 = ( r + 麗i 一7 ，f ”+ 1 ) 翱孰郴。；計挑州釅 a ( v ( q “一礦) ，v f “+ 1 ) s c 啪t v ( 釉t ，( j 。艫) + 幫v 2 cd = 舶t ( 磊卅) ，彘+ 1 ) ) t 學(xué)l | 磊1 ”+ c a r a t ”鑫知。m 。 注惹到a = q a o 有 = 一a ( v ( u “+ 1 一t “) ，v e “+ 1 ) 口口0 t 愀警) 悒u + 1 川+ 囂l t v e 州1 1 2 d = 舶t ( 巍( 一1 。礦) ，巍p 1 ) s 學(xué)| | 彘1 1 1 2 + c a r a t i i 盎銣。 1 3 ( a 7 v 叩“，v f “+ 1 ) c a o l l v z ? ”n 黜v 釅 一( 墜旦丟芝型 ( 掣，6 - 【礦，o p 叩“v p + 1 ) ( 與# 矽v 十1 ) + ( 竺：二二筍，5 p “v f ”+ 1 ) t 卻跏。，+ 竽孵+ l i 隊列訓(xùn)2 + 竿孵1 f 2 + 2 圳等眠；口) + 丁6 2 k 2 舊2 面2i l 瓦o r 州2 撕l ：) + 1 6 i r e “+ 1 n 柏洲+ c ( a t ) 其中厶，= f t ”1 ，t n + 1 】 = ( e 1 ，p + 1 + 卵“v f n + 1 ) c ( a 0 + 翱一1 1 1 2 + k 2 慨時1 | i 2 g ( t ) + 幫1 1 1 2 ：一( v ( 擴v t “) ，6 礦v e “+ 1 ) = 一( v a “v 口“，5 盧”v e “+ 1 ) 一( g n v ( v 礦) ，卵”v p + 1 ) ( t f q o a o k p h - 1 十f k a ) l i v 礦v e 蚪1 i i 囂 i v 礦1 1 2 + 囂l l v e “+ 1 1 1 2 參照 的估計 = ( v ( 礦v p ) ，5 蘆n v f n + 1 ) s 副a ov 洲2 + 剖u o v 1 釅 = 一( 盧“v f “，e “+ 1 + 即“v p + 1 ) f - e 1 一f ” 2 一( 盧“v f “，! 尋) a t 一( p “v f “，f ”) 一( 盧”v c , 6 盧“v f “+ 1 ) s 半歸洲+ 馴瞰“+ 1 t 1 2 + c 忙刈：+ 麗g o 孵刪+ 烈v p 。 = ( 礦- v 礦，p + 1 + 即“v e 1 ) = ( 蘆“礦，v f “+ 1 ) + ( d i t ，z “口“，f “+ 1 ) + ( 盧”v 礦，卵“v f “+ 1 ) s c l i 2 + 瓦a ol i v e “+ 1 釅十c l l 葉 1 1 2 + 去l i p + 1 1 1 2 十6 耳2 l l v 礦2 + 竽叫i ： s e ( 去十1 ) 肋刈2 + 詈j j v 礦2 + 器j i = ( 盯“叩“，f “+ 1 + 占盧“v f “+ 1 ) 4 盯孫礦2 + 芻f f f ”+ 1 f 2 + ；占2 2 i v , c n + 1 f f 2 + e ，砰f f 礦 f 2 s 剛州n 扣1 2 = 一( 礦8 f “，e “+ 1 + 印“v r + 1 ) s g f 刪2 + 扣f 州爐 繇舍 ， ， 一一 整理可得 面1 ( 刈2 ) + t 1 2 a t 川, 麗0 2 一，臚刈鑫引內(nèi) + ( a 一扣一?！爸乓幻? a o ) 愀州1 1 2 一( 扣一礦i i 。+ 暴) 慨“1 1 2 e ( 瓦1 ”麗o r 憶2 。( j + 糾+ 。酬i v ( 象州2 ，( j 川糾+ ”刨l 彘( 裳川z w 。) + 扣“1 1 2 + a o a t 歸( 銣2 m 礦姚州蓋( 銣芻( 艫) + n 。i i v , 7 “1 1 2 + t ) + g 1 i f “1 1 2 + 5 i f 磊f “1 1 2 + t i l 玩f “+ 1 1 1 2 + ；l i f ”+ 1 1 1 2 ( 1 4 5 ) 為估計項圳玩引| 2 + 圳反f n + 1 睜建立引理 量i 理! ! 壘! ! 當d 滿足條件( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ，雖a t 足夠小時，有 瑩穢2 爭洲帕m 鄞- i n 2 a t + 4 妒 i 兒- x t - - ijat i i a t c a a t i l a ta t ij a t 4(a1 1 1 i 玩f 州2 l | v p 2 + e 2 桫t ) 2 一?！皕 n = n =n = 】 + e ( ( f ) 2 + a o a t + 口o 2 + a o t h 2 + 2 ) ( 1 46 ) a m 到- 1 穢2 a t a 卦v 刊1 2 a t l俐黔1 刈2 t 枷t | i 甕知 6 l | 玩f “+ 1 | j 2 s c ，6 ij v f “爐+ q 6 j j f n 壙t + 4 5 t ! 二_ 三j 2 n = l n =n= + e 占( c t ) 2 + a o a t + 口o 打+ a o a t h 知+ 知)( 1 4 7 ) 其中： c 1 = 8 a + 8 0 k 2 + 4 c 2 = 8 0 ( r 至望三h 在熹j t ：) 中取”= 磊f 1 ，將項( a n v v ( 磊p + ，) ) 移到右端， 則左端= ( 氣，反1 ) + a ( v ( 一n v ( 磊一t j ) “。 塒州鑫+ 1 帆焉艫z ) = j j 玩f “+ 1j + q a o a t j f v ( 磊f “+ 1 ) l l 2 + q 2 a 3 f 2 t l o , - 島( o - , f ”+ 1 ) 臚 ( 1 4 8 ) 盯石踴作逐明佰計，仿照弟= 節(jié) 的估計，有 = 一( 口“v 六v ( 磊f h a - 1 ) ) 扣刮f v ( 礎(chǔ)) l l + 芝等m 1 2 + 扣洲i i 一面1 【( a n + l v f ”+ l ，v f “+ 1 ) 一( a n v f n ，v 洲 ”= ( 乏點一) 酬8 慨0 r t 2 m 十封反州i i 2 2 帥| | v ( 象) 峨“) + 扣0 t t l v ( 丘g 州) 1 1 2 = 胤t ( 0 2 y ( 一n 南船“) ；( q a o a t ) 2 | | 焉( 卯) j 1 2 + 3 q 2 a t l i 彘跏( w ：) = 一 ( v ( 1 工“+ 1 一t “) ，v ( 反f “+ 1 ) ) 2 怖( 硼v ( 窯) 慨“；卅+ ；g 知t t l v ( , g 州) 2 曬一卯( 盎( u n + l - - b n ) ，磊”+ 1 ) ；(qaoat)2為(畫)ll帥)2麗02引ou州2(qao i i i i ； 2 番( 畫+ ( 帥) 2 瓦蕊引州 = ( 擴v 礦，v ( 反f ”+ 1 ) ) a l j v 礦i i i i v ( , f n + 1 ) i j 百q o a o 釗v 刑j 2 + g 口0 t i i v ( , g ) i = 一( 塵二v n - 百i 卜“n + l u n ，印n v ( 反f 州) ) = (t1-nr n - 1 ，占礦v ( 磊f n + 1 ) ) 一( 竺云等= ，卵n v ( 覆p + ) ) + ( u n + l - - f 凸2 b f n 。+ “n - - 1 ，6 盧“v ( 反f n + 1 ) ) t 面1 0 r 刪+ 掣啊( 聹+ 1 ) 1 1 2 + 到16 刪2 + 舷2 i i v ( 玩p 1 ) 1 1 2 + a 。t 10 。2 u 礬2 2 ) + 掣舊( 船+ 1 ) 曠 s 五1 o 拋r “+ 丁a t i i 兩0 2 u 慨z 艫) + 扣魂f n i l 2 + 如反p ，1 1 ： = ( e 1 ，鞏f 1 + 5 礦v ( 反f “+ 1 ) ) c ( a 扣磊p + 1 1 1 2 + 西1 慨- f “+ 1 | 2 i l c ( a t ) + 扣玩p + 1 1 1 2 = ( v ( 擴v p ) ，5 盧“v ( 仇p ”) ) = ( v a “v “，6 礦v ( 玩p + 1 ) ) + ( 擴v ( v r ) ，即”v ( 反f 蚪1 ) ) ( 6 k q o a o l , 2 h 一2 + 5 k 函u h 一1 ) i l v f l 川玩f 計1 f i 扣v 刪2 + 剞反1 j i 2 = ( v ( 擴v 礦) ，卵“v ( 夙f n + 1 ) ) s 扣礦n 剞職+ 1 曠 = 一( 盧“v f “，石t f “+ 1 + 卵“v ( 反e n + 1 ) ) s 5 k 2 i v , “n 扣磊p 1 m ( - 譬1 1 v ( 磊) | 2 5 k 2 愀i i + 翔船1 1 2 = 一( p “v 叩“，磊f “+ 1 + 卵“v ( 磊f “十1 ) ) 5 k 2 慟“n 卻反i i = ( 口“礦，磊p + 1 + 即“v ( 磊卅1 ) ) 5 a 2 1 1 q 1 1 2 + 副船+