（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）限制子空間的擾動(dòng)及其應(yīng)用.pdf

摘要 子空間的擾動(dòng)，如特征子空間、奇異子空間、標(biāo)準(zhǔn)子空間，有著極其廣泛的應(yīng)用本 文從最小二乘一總體最小二乘( l s - t l s ) 、等式約束最小二乘( l s e ) 以及約束總體最小二乘 ( c t l s ) 問題出發(fā)，討論了 1 ) 1 2 和2 1 分塊矩陣，在( 1 ，1 ) 塊子矩陣秩不變的條件下，幾個(gè)子空間的擾動(dòng)及其應(yīng) 用 2 ) 2 2 分塊矩陣在只有( 2 ，2 ) 塊子矩陣秩變化的條件下，幾個(gè)子空間的擾動(dòng)，以及應(yīng)用此 結(jié)果得到的推廣的的降秩最佳逼近定理的擾動(dòng)分析 關(guān)鍵詞：限制子空間；擾動(dòng)；奇異值 p e r t u r b a t i o na n a l y s i so fs u b s p a c e s ，s u c ha se i g e n s p a c e s ，s i n g u l a rs u b s p a c e s ，a n dc a n o n i c a l s u b s p a e e s ，h a v eav e r yw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n s r i s i n gf r o mt h el e a s ts q u a r e s t o t a ll e a s ts q u a r e s ( l s - t l s ) p r o b l e m ，t h ec o n s t r a i n e dl e a s ts q u a r e s ( l s e ) p r o b l e m ，a n dt h ec o n s t r a i n e dt o t a ll e a s t s q u a r e s ( c t l s ) p r o b l e m ，w em a i n l yd i s c u s st h ep r o b e m sa sf o l l o w s ： 1 ) p e r t u r b a t i o n so fs o m ec o n s t r a i n e ds u b s p a e e so f1 2a n d2 1b l o c km a t r i c e s i nw h i c ht h e r a n ko f ( 1 ，1 ) b l o c ks u b n m t r i c e sa r eu n c h a n g e d ，a n dt h e i ra p p l i c a t i o n s 2 ) p e r t u r b a t i o n so fs o m ec o n s t r a i n e ds u b s p a c e so f2x2b l o c km a t r i c e s ，i nw h i c ho n l yt h er a n k o f ( 2 ，2 ) b l o c ks u b - m a t r i c e sc a l lb ec h a n g e d ，a n dp e r t u r b a t i o na n a l y s i so f t h ee c k a r t - y o u n g i i r s k y t h e o r e m k e yw o r d s ：c o n s t r a i n e ds u b s p a c e s ；p e r t u r b a t i o n ；s i n g u l a rv a l u e 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文的研究成果不包含任何他人撰寫過的已公 開發(fā)表或末公開發(fā)表的研究成果，對本文所涉及的研究工作做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均 己在文中以明確的方式標(biāo)明并表示謝意本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān) 學(xué)位論文作者簽名：紕絲磊 m 7 年6 月日 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定同意如下各項(xiàng)內(nèi) 容：按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保留學(xué)位論文并向國家主 管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版，并采用影印、縮印、掃描、數(shù)字化和其他 手段保存論文；有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制或全部內(nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)并允 許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱；有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索；有權(quán)將 學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版保密的學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定 學(xué)位論文作者簽名：和渺導(dǎo)師簽名： 7 9 呷年月日 弘叼年6 月3 7 日 第一章引言 子空間的擾動(dòng)就是通過一定的度量來衡量子空間與擾動(dòng)后子空間之間的偏離程度孫繼 廣在【1 1 】中介紹了如下子空間的度量： 設(shè)z ，w c r ，令 歷= z ( z 日z ) 一i h = w ( w 8 彤) 一 定義 e ( r ( z ) ，r ( w 7 ) ) = a r c 0 0 8 ( z f m - 砰z 1 ) c 。m 對于譜范數(shù)。有等式 0s i n e ( 兄( z ) ，冗( 礦) ) 0 = i i p r ( z ) 一p i i ，v z ，w c ? “ 其中b t ( z ) ，b “w ) 為相應(yīng)子空間上的正交投影子空間擾動(dòng)的內(nèi)容非常豐富，包括特征子空間 的擾動(dòng)、奇異子空間擾動(dòng)和標(biāo)準(zhǔn)子空間的擾動(dòng)等等國內(nèi)外許多專家、學(xué)者已經(jīng)對它們作過 研究，對于h e r m i t e 矩陣特征子空間的擾動(dòng)d a v i s 和k a h a nf l 】得出如下結(jié)果： 定理1 1 設(shè)a ，彳c n x n 皆為h c r m i t e 矩陣，并假設(shè)x = ( x l ，x 2 ) ，賈= ( x l ，兌) 砜， 五，豆c n 。( 1 l n 1 ) ，使得 x 日a x = a 1 1 二二) ，賈”互碧= ( 乏1 乏) ， 其中a 1 l 五1 c b “，令 r = 積1 一x l a l l 以及 a = 【n ，用c r ，a = r ( 口一占，盧+ 6 ) ，6 0 如果 a ( a 1 1 ) c a ，a ( 五2 ) c a 第一章引言 ( 或者a ( a 1 1 ) c ，a ( 五2 ) c ) ，則對于任一酉不變范數(shù)，有 us i n e ( n ( x - ) ，r ( 豆) ) i l 丁i f r f t 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)子空間的擾動(dòng)。首先我們給出相關(guān)的定義 定義1 1 2 7 設(shè)a 世”，b r ”“，且 r = m i n p = r a n k ( a ) ，q = r a n l 【( b ) ) 矩陣對( a ，b ) 的標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)以，b ) ，西，b ) 定義如下 a ，c a ，b ，= 血m 。，a 。x 。；。；毒需品= 勰， 鮒，b ) - 舭囂嘩。高尚 ：穩(wěn)j _ 2 ， 2 麗功面麗酬， 其中假設(shè)最大值在巧和協(xié)處取得，掣= s p a n a x l ，以巧) ，5 字= s p a n b y l ，b y j i ( j = 1 ，r ) 單位向量 a x j l l 血j l l ，b y j i i b y j l ij = 1 ，r 稱為( a ，b ) 的標(biāo)準(zhǔn)向量，而 川如i | ，g , j i i b y j l i 稱為標(biāo)準(zhǔn)權(quán)對于任意矩陣g ，g ，= g - i - a g r 一”且r a n k ( g ) = r a n k ( g ) = r ，令 p n ( 礦) = i g g t ，定義 目( g ) = r a i n 1 ，i 馬f ( 1 l p m d * ) a a d ) l li i ( g d ) i i ) ， 1 n f ( 0 j ) ( g 一) g d ) ( g d ) 0 ) ) 這里的下確界是在正定對角矩陣集d 里取的定義妒t = 譏d j n ( 夠( ，a ，) r ( b ) ) ，仍= 以i i i n ( 夠( b ，b ，) r ( a ，) ) ，這里夠，a 7 ) 是n ( a ) nr ( a ) 在r c a ) + r ( a ) 中的正交補(bǔ)，夠( 8 ，) 是r ( b ) n 兄( ) 在r ( b ) + r ( b ) 中的正交補(bǔ) 第一章引言 魏木生和d ep i e r r o 【2 6 】得出了 定理1 2 設(shè)a ，= a + a a r ”“，b ，b = b + a b r 。且 p = r a n k ( a ) = r a n k ( a 7 ) q = r a n k ( b ) = r a n k ( b 7 ) 令( a ，b ) 和( ，) 的標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)簡記為以蘭鞏似，b ) ，嘰i 以( ，b ) ，并作如下排序： o 1 唧0 ，一，0 如，b 蚴和a ，b ，彰u = 1 ，力分別為，b ) 和( ，f ) 的標(biāo)準(zhǔn)向量定義 y ( a ，b ) = c 0 8 妒l 焉2 ( a ) + c o s 妒2 仨磊c 當(dāng)i = 1 ，20 5 a ( o l 一 嘏1 盈 2 y ( a ，b ) 號 0j = 1 ，2 i ts i n o , ( a , a i ) 1 1 0 證明由于a ”a c ? “是半正定矩陣，其特征值皆為非負(fù)實(shí)數(shù)，記為砰，2 ，并設(shè)它 們滿足口l 聽 0 ，聽+ 1 = = 靠= 0 設(shè)u l ，分別為a 耳a 的屬于砰，磚 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，并令k = ( 口l ，姊) ，= ( 坼1 i ) ，v = ( m ，k ) ，l = d i a g ( q 1 ，西) 則有 a 圩a h = ：，阿a 日a = i a 汀a k = 0 ，v 尹a 日a k = 0 于是 = 0 令鞏= a u i 1 ，則畔礬= 取踢c ”。( 一”，使u = ( 仉，鞏) 為酉矩陣 貝有 u ”a y = ( 籌：芝籌三萇) = ( 荔：i ：。0 ) = ( 0 1 ：) 口 9 第二章預(yù)備知識 分解式( 2 1 ) 稱為矩陣a 的奇異值分解( s v d ) ， 以“ 0 = 再+ 1 = = m 稱為a 的奇異值，其中f = m i n m ，n ) ，嘶和吩分別為矩陣a 對應(yīng)于呀的左、右奇異向 量，j = 1 ：z 若設(shè)u = ( 鞏，鞏) ，v = ( ，) ，其中仉，m 分別是以v 的前r 列，且有 畔鞏= ，k ”= ，則( 2 1 ) 式可進(jìn)一步寫成 a = u , e l 鏟 應(yīng)用s v d 可得如下分解 2 c s 分解 肛i w 1 1 w 1 2 ) 您 f 1 其中r l + r 2 = c 1 + q = n 則存在如下的分解式 肚u 1 ：o o l l 鋤d 1 2 ) ( 苫0 ) ( 采) = f l 。多 c s 眙 ， o s ， s一口 ， o g 1 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 ，4 ) 第二章預(yù)備知識 其中 滿足 2 2 一個(gè)引理 c = d i a g ( c l ，餳，一，q ) ， s = d i a g ( s i ，s 2 ，一，卻) ， 1 c 1 c 2 c f 0 ， 0 8 1 s 2 s l 0 p 一易0 = l l ( 仉，鞏) ”( 鞏畔一玩卵) ( 玩，玩) = i ( 一墨玩 療2 0 ) = m a x l l p a 磅u ，i i 磚咯盼， 因此，1 2 和1 的所有的奇異值都小于1 ，即矸，l l 和w 玉是方陣，于是r = p ( 3 ) 若r a n k ( a ) r a n k ( 兩，則w 1 2 的奇異值為1 的個(gè)數(shù)多于w 2 1 ，而肌2 和w j l 小于1 的正奇異值相同，則有 i i p a 劈0 0 磁叭 1 2 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) 考慮1x2 分塊矩陣 g 。= ( a ，b ) ，0 。= ( a ，蜃) ，( 3 1 ) 其中 ，肓= a + a a c 囂。m ，b ，秀= b + a b c ”。m 定義矩陣如下 p = i a 砧p 差= i 一鑫 1 ，m = p 去8 。葡= p 喜 設(shè)a 的奇異值分解為 a 1 1 ：) 鏟， 其中可= ( 可1 ，_ 2 ) u m ，m = ( m l ，h 2 ) u 。，可l ，k 分別為可，u 的前p l 列， a n = d i a g ( a , ( a ) ，a 2 ( a ) ，一，a n 。( a ) ) ，且口l ( a ) a 2 ( a ) a n ，( a ) 是a 的非零奇異值設(shè)百= 霹b 的奇異值分解為 百= 可f b = w ( ：1 三。) 哆， 這里w mk = ( k 1 ，2 ) k l 為k 的前耽列， 且 島l = d i a g ( o t ( m ) ，( m ) ) b 3 2 = d i a g ( a w + 1 ( m ) ，以( m ) ) 盯l ( m ) o r n ( m ) 口m + l ( m ) m ( m ) ( 1 = m i n m p l ，他” 是m 的奇異值易知 ，“0 g l ：仉ioo i f 00引( 苫o ) ( 3 2 ) 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) 仉：u d i a g ( 1 ，) ，( b 1 1 b 1 2 ) ：詳b 叫辜 b l l b 2 1 0如o ) 五，= d i a g ( a ，( 勾，觀( 兩，a n ，( 兩) 且以( 勾眈( 兩唧。( 兩 是肓的非零奇異值， 反。= d i a g ( 以( 廁，( 硒) ， 反：= d i a g ( + 。( ) ，以( 確) 為砑的奇異值 劃分鞏，玩和諺， = 1 ，2 如下， 易證 鞏= ( v n ，u 1 2 ，以3 ) ，v x = ( 1 ，k 2 ) ，= ( 1 ，k 2 ) 玩= ( 玩。，反。，u 一1 。) ，訪= ( 識。，y x 。) ，蟊= ( 色。，鋤) p l ，p 2 ，m p l 一化p x ，n l p i ， m ，他一仡 a = 仉l a l l 皤，m = ( 仉2 ，u l s ) d i a g ( b 2 l ，b s 2 ) 謬， r a n k ( a 1 ) = r a n k ( a ) + r a n k ( m ) ，r m k ( 反) = r 砌c ( 兩+ r a n k ( 廁 在以上這些條件下，我們得到如下定理 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 鞏( 以 且 苧三里! 羔! 坌墊塹墮塑里型i 窒囹塑墊墊 定理3 1 設(shè)矩陣g l = ( a ，b ) ，岔1 = ( 五含) c m x ( ”l 十m ) 由( 3 ，1 ) 給定，g 1 ，反的分解式由 ( 3 2 ) 一( 3 5 ) 式給出則 d i s t 幽( r “( a 甕裟：= 囂簍警儼l(fā) c s 。， “) ，r ( 和) ) m j n 業(yè)豁掣，監(jiān)碧掣 p 。u 證明 由g 1 和a l 的分解式( 3 2 ) 。( 3 5 ) ， a = u n a n 堵，五= 玩- 五。餾 因此，d i s t ( r ( a ) ，r ( 勾) = 0 仉- 嘴一玩。船i i 而且， d i s t ( r ( a ) ，r ( 勾) = 0 叩姒- 嘴一玩。粥) 鯽 0 一醒玩。 一皚玩。 = m a x 訓(xùn)嘴( 尻。，尻。) l l ，l f ( u t 。，鞏。) ”玩。i i = 0 c 儡( 玩。，玩s ) 1 1 = i i ( u 。，鞏。) 片玩。i i ( 3 ，7 ) 由等式 a = 五一a = 玩。五。餾一鞏。a 。k 譬， ( 玩2 ，玩3 ) 日a k l = 一( 玩2 ，反3 ) 日鞏1 a l l ， ( 3 8 ) ( 仉2 ，仉3 ) 8 a 訪l = ( 鞏2 ，仉3 ) ”玩l 五l ， 我們可得 ( 玩。，玩s ) h 仉。= 一( 玩。，f 7 l 。) h a a v 。a 看， ( 仉2 ，仉3 ) 日玩l = ( 鞏2 ，仉3 ) ”a 訪l 哿 由上述等式，我們得到了( 3 6 ) 式的第一個(gè)估計(jì)式第二個(gè)可以類似的得到1 3 定理3 2 設(shè)條件和記號與定理2 1 相同，而且( 一+ l ( 2 1 1 , a m i i ( m ： 懶。 黼。 u 苧三皇! 蘭! 坌堡絲墮塑里型三窒塑墮墊望一 面一m ) 則我們有如下的估計(jì)式 其中 0 鞏。u 磊一反：就0 紫0 p + 面勃 ，l ( )即2 ( 肘) 一4 乃+ l ( 塒) 懶。餾一優(yōu)t 餾u m i n 麗喬而，葫矗葛而) ， 訊= m “圳罐b 釧+ 世鏟) ， ( i i a b v 2 。忡皿鏟) ， 啦：m “ ( | | 醒b k l 0 + 妲出崾a p x & ( a 必) 、i ， ( 1 i 曙口晚。i i + 魁警籌業(yè)) ) 證明由奇異值的擾動(dòng)分析我們可得 ( ) 一+ l ( m ) a r m ( m ) 一+ 1 ( m ) 一i i a m i i 0 ， ( m ) 一o l y 2 + 1 ( 五、) a m ( m ) 一+ l ( m ) 一t i a m i i 0 ， ( ) 一+ 1 ( 廁a m ( m ) 一+ l ( m ) 一2 i i a m i 0 因此，b 2 l 和龜l 都是非奇異的由于 所以 i i 仉。皚一f 7 l 。理忙卵( 以。皚一玩。理) 訕 慨一酬忙 = i i 降秦o 。熹0 。 一嘴玩。 o 一皚玩。 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 。嗽。 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) 同理可得 由( 3 8 ) 式我們可得 = m a x l l ( u - - ，u i 。) 盯f 7 l 。i i ，0 嘣( f 7 l 。，f 7 l 。) 1 1 = l l ( u - ，u i 。) 日玩：i i = l l v g ( 玩。，f 7 l 。) i i 。餾一銹。諸0 = 0 餾鋤0 = 0 蟛劬 愀吣雩鏟，u 醒詠雩鏟，s 由等式a b = 雪一b 以及( 3 2 ) 一( 3 5 ) ，可得下列等式 b = u u b l l 餾+ 仉2 8 2 l 瞪+ u l l b t 2 增+ 礬3 玩2 嗜 b 一= f 7 l - 魚，餾+ 玩。反- 餾+ 玩- 西。餾+ 尻。巍。餾 進(jìn)一步可得到 皚b 詫。= 碟玩。蜃- 。- i - 皚玩。龜。一b 3 。喵訖。 睨b = 龜。餾一魄仉l b 。一張鞏。島2 結(jié)合以上等式以及( 3 8 ) 式，我們可得 兩邊取范數(shù)可得 嘴玩。島- = 皚b 玩。一雌a 訪。對。+ b 。喵諺。 龜t 訝餳= 程b 一程a 。 0 且2 + 稚鞏3 如 ( 竭8 碟乳臨訊+ + 。( m ) | | 喵玩。乳 ( 硒0 曙峪m + + 。( m ) i i 就舡 所以 i i 璐蚴蠢如+ 繁觜( 町，+ + - ( m ) i i u h u , 。喲 碰鏟i i u 囂v x 。i i 趔摯 事實(shí)上，由以上不等式我們可證明 。嘣峪雨麗 o 賭酬s 習(xí)萬鈿 1 7 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 ，1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 ，1 5 ) 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) l 一樣的萬法，我們司得 。醒鞏。i is 習(xí)而孫， 0 喵玩。臨i 而鈿 將( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 分別代入( 3 i i ) 一( 3 1 2 ) 我們就完成了定理的證明 下面是定理3 2 的直接推論 推論3 3 設(shè)條件記號與定理3 2 相同，而且r a n k ( 硒= r a n k ( m ) = p 2 ，則 幽t ( 兄( 嬲) ，r ( 硒m i n 坦籌曷筍+ 雜而， 蚴a p l ( , 4 ) + 翻) ， d i s t ( r ( m 。) ，r ( 艫) ) m i n 蠢，粕) 證明 在( 3 9 ) 式中，令口k + 1 ( m ) = 口b + l ( ： ) = 0e p - j 現(xiàn)在我們考慮 陸a ) 伽( 喜) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 口 ( 3 1 8 ) g 2 = ( 剖a u 0 0 鏟，聊 且 a 2 = d i a g ( a l ( n ) ，a p 3 ( n ) ) ，c 2 s = d i a g ( + l ( ) ，a l ( n ) ) a l ( n ) 以( ) l = r a i n m 2 ，鉈一船) 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) 是的奇異值， 包= ( 0 芑) ( 3 2 0 ) 其中玩，晚，訪都是酉矩陣五，= d i a g ( o 。( 兩，眈( 兩，唧。( 勾) 且一。( 兩眈( 兩 唧。( 兩為肓的非零奇異值， 且 a 2 = d i a g ( a 1 ( 療) ，( 霄) ) ，磊3 = d i a g ( + l ( 霄) ，嘰( 霄) ) 口1 ( 霄) m ( 膏) 是霄的奇異值將阮，覆和v 1 訪，i = 1 ，2 作如下劃分 易證 鞏= ( u 1 1 ，鞏2 ) ， 仉= ( u l l ，仉2 ) ， u 2 = ( 鞏1 ，鞏2 ) 沈= ( 沈t ，踢2 ) p l ，m 1 一p l 船，m 2 一船p i ，船，n p l 一船 r a n k ( g 2 ) = r k ( a ) + r a n k ( n ) ，r a n k ( ( 奎2 ) = r a n k ( 五) + r a n k ( n ) ( 3 2 1 ) 注意到g 爭和a ，是1 2 分塊矩陣同樣的方法，我們可以證明下列結(jié)論 定理3 4 設(shè)g 2 ，0 2 由( 3 1 8 ) 定義，g 2 ，a 2 的分解式由( 3 1 9 ) 一( 3 ，2 1 ) 給出如果 。南( ，) 一。南+ l ( ) 2 0 | f ( a n = 席一) ，我們得到如下估計(jì) i w l 。喵一訪。嘲l(fā) m i n 幫+ 面薪， 紫a + 麗翻 ， ( 3 2 2 ) l ( )即3 ( _ ) 一即3 + l ( ) ” 1 f i 鞏嘣一玩- 姐j l r l f t n 習(xí)喬i ，雨衣魯麗) 1 9 o oo曉 ： o o _ n o 一 a o i ( q 一傷 ，。r。i 曲0 h k 2 2h ”u l t = k ，l，i = 1 i n k 第三章2 1 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) 這里 7 3 = m a x ( o 姐c 。i i + 嫗h 4 ：；i i ；產(chǎn)幽) ， ( 9 蟛c 玩。i i + 監(jiān)塹鳴；：；垡孫) ) ， 仉= m a x ( o 蠟e 玩a i i + 崆劍鏟) ， ( i i o 基a c v , 。忡趔驢) 卜 當(dāng)r a n k ( a 2 ) = r a n k ( g 2 ) ，即r a n k ( 霄) = r a n k ( n ) = 船時(shí)，則 ( 3 2 3 ) d i s t ( r ( ) ，r ( 膏) ) m i n ；南，a p a ( n ) ， d i s t ( r ( n 日) ，冗( 艫) ) m i n 世嘗糟韭+ 毒而， ( 3 2 4 ) 幫+ 翻) _ 應(yīng)用上述結(jié)果何以對l s - t i j 問題和l s e 問題進(jìn)行誤差分析設(shè)l ，k ，h ，9 ，p ，工莨定 義同定理1 3 ，相應(yīng)矩陣的擾動(dòng)為z = l + a l ，露= k + a k ，五= h + a h ，爹= g + a g ，且 將矩陣 聲= ，一t 藝，參= ( ，一( 露聲) 露) t r a n k ( l ) = r a n k ( ) ，r a n k ( k ) = r a n k ( k ) 工 k 工 k 鄰曼雌i l u 0 弘b l l l = d i a g ( a l ( l ) ，叻( l ) ，( l ) ) 且 a l ( l ) a 2 ( l ) 唧。( l ) 苧三蘭! ! ! 坌墊鏨墮塑墮型量窒囹塑塾墊 為l 的非零奇異值 難, 1 1 甜0 日 ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 我們可得如下的擾動(dòng)界 定理3 5l ，k ，露，h ，g ，五，蠶如上述定義且o 。( p ) 2 l l a k p l l = i i r p k p i i ， 則 l 氣鲴一z 嬲e i i 0 ， 以( ) 眈( ) 口南( ) 0 ， 分別為a ，m 和的非零奇異值將以，f = 1 ，2 劃分如下： 鞏= ( 鞏l ，v n ，仉3 ) ，u 2 = ( u 2 , ，u 2 2 ) ， p l ，仡 ”1 一n 一砌船 ”2 一p 3 ( 4 5 ) = ( l ，v , 2 ，3 ) ，v 2 = ( k l ，v 乞) m ，p a ，n l p l p sp 2 , n 2 一p 2 則由( 4 3 ) 和( 4 ，5 ) ，我們可以證明 a = n l a l l 喵，p ( ) = i 一鞏l 嘴，p ( n ) = i 一l 喵， m = p n ( a ) b = 仉2 8 2 l 皤，j m m = i k 1 瞪= 2 蟛， ( 4 6 ) n = c p j v ( a 一嚴(yán)u 2 1 蟛，一t = i 一鞏1 蠟= 如鹺 所以由( 4 3 ) 一( 4 6 ) 可得 b ( i m t m ) = 仉1 8 1 2 蟛，( i n n i ) c = u 2 2 c 2 l 皚 ( 4 7 ) 令島：g 3 + a g 3 為g 3 的擾動(dòng)，而且互= a + a a ，畝= b + a b ，a = c + a c ，西= d + d 同樣的我們有 g 3 = 一一 、 a u 00b l lb 1 2 0 00 b 2 , 0 000o0 a 1c 1 2 0d 1 1 d 1 2 c 2 1 00d 2 1 d 2 2 f ，鏟0 4 。8 o 印、 一一一 苧璺至! ! ! 坌墊絲墮盟堡型王窒塑塑墊墊 其中 且 五- = d i a g ( a - ( 兩，如( 兩，( 兩) ， 怠i = d a g ( 以( 兩，硯( 硒，( 硒) a 2 = d i a g ( a - ( 霄) ，如( 骨) ，一，( 倚) ) 口l ( 兩觀( 兩唧，( 兩 0 ， 口l ( 硒觀( 硒( 硒 0 嘰( 膏) 啦( 膏) ( 霄) 0 分別為互詹和岔的非零奇異值而且 p 1 = r a n k ( a ) ，仡= r a n k ( 廁，船= r 觚k ( 膏) 將玩，霞，i = 1 ，2 劃分如下： ( 4 9 ) 玩= ( 玩，玩。，反。) ，玩= ( 玩，) p l ，p 2 ，m l p 1 一耽p 3 ，嘞一船 ， 訪：( 訪。，訪。，識。) ， 諺：( 詫，詫：) ， ( 4 1 0 ) p l ，船，n l p l 一翔 見，他一億 則由( 4 8 ) 和( 4 1 0 ) ，可證得 五= 玩- 五- 餾，p ( 兩= ，一f 7 l - 幫，p ( 和) = j 一訪，餾， 力= p 圓畝= 玩：龜，餾，一衍砑= ，一訖。餾= 餾，( 4 1 1 ) = a p ( 和) = 反- a 。锘，一骨席t = ，一玩。姐= 玩。諺 所以由( 4 8 ) 一( 4 1 1 ) 可得 蜃( ，一勿莉= 玩。寅z 諸，( ，一霄和) 孕= 玩。磊。餾( 4 1 2 ) 第四章2 2 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) 定理4 1 設(shè)g 3 和a 3 及其分解分別由( 4 4 ) 和( 4 8 ) 式給出，而且互= a + a ， 舍：b + a b ，a = c + a c ，西：d + a d 令 如果 d l = ( j n n t ) ( d c a t b ) ( i m t m ) d 。= ( ，一席+ ) ( 西一a 岔豆) ( j 一和硒 r a n k ( a ) = r a n k ( , 4 ) ，r a n k ( m ) = r a n k ( 硒 r a n k ( ) = r a n k ( 席) ， i i d l 一西1 0 0 翰a d v 2 2 0 + 0 療荔0 岔b k 2 0 + i i 0 4 a a t b v 2 2 i i + 理e a t 口- 乞h + u l 程( 西一a 岔岔) 0 + u 2 1 1 ( d c a t b ) v 2 2 i i 其中, r h ，啦，】3 ，啦由( 4 1 0 ) 和( 4 2 3 ) 式定義， u - 2 l i n 蠢，翻 ， 地2 m i n f 。啊- - 茸【) ，柏) 證明d l 和西1 公式由( 4 1 3 ) 給出， l i d l 一西。0s1 1 ( i 一霄霄+ ) f d c , t t a b e ( 岔一a t ) b a c a t b ) ( i m t m ) i i + 1 1 ( i 一席席) ( 6 一c 4 7 b ) ( m t m 一衍硒 + i i ( n n t 蔚v t ) ( d c a t b ) ( i m t m ) i 注意到文【1 9 】給出 力一a t a t a a a t + 乃( j a a t ) 一( j 一岔兩a t ( ，一a a t ) b = m 和6 ( z 一t 兩= 霄 似1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 ，1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) 篁嬰童! ! ! 坌堡絲墮塑里型王室塑塑墊墊 所以 注意到 ( j 一霄霄) d ( 乃一) b ( j m t m ) = 一f ，一霄t n t ) o a t a a a t b ( i m t m ) i m m = ，k 1 喵= k 2 蟛，一n n + = ，一鞏1 嘴= 嗍 j 一府砑= ，一優(yōu)- 曙= 訖：諺，一席卵= ，一晚。鰓= 鴟 因此，在( 4 1 7 ) 式應(yīng)用推論3 3 和定理3 4 1 1 p 7 。證畢 定理4 2 在定理3 1 的記號和條件下，設(shè)d l 和歷的奇異值分解分別為 d 1 = ( z 1 ，z 2 ) d i a g ( t 1 ，疋) ( 胍，) 甘 西。= ( 磊，幺) d i a g ( 五，磊) ( 廄，覓) h ， 口 ( 4 1 8 ) 其中i i = r a i n m 2 一p 3 ，忱仡 ，z ，2 ，彬諺都是酉矩陣，五，幺，n ， 1 分別為z ，2 ，彬形 的前q 列， 且 乃= d i a g ( a l ( d 1 ) ，a q ( d o ) ，t 2 = d i a g ( a q + l ( d 1 ) ， 磊= d i a g ( 毋( 西1 ) ，吩( 反) ) ，t 2 = d j 8 9 ( 吼+ l ( 西1 ) ， ，( 7 1 。( d 1 ) ) ，m 。( d 1 ) ) a l ( d 1 ) - ( d 1 ) + i ( d x ) 以。( d 1 ) a 1 ( d 1 ) o q ( 5 1 ) d 口+ l ( 西1 ) 們，( 西。) 分別為d ，和西l 的奇異值如果o q ( d 1 ) 一+ i ( d 1 ) 2 1 l a d l i i ，則 其中 。黧i 。i 羆型型 m 畔一 l 砰憾h 1 i n 麗彘，而翻) ， 卜一7 r ( 1 ) = m a x l l 卻d 。召a d l l i i 一= m a x l l z p a d ， 2 i i ，i i 霹a d 。w , i i ( 4 2 0 ) 第四章2 2 分塊矩陣的限制子空間的擾動(dòng) 證明證明方法于定理3 1 3 2 的相同 口 注本文中我們研究了一些限制子空間的擾動(dòng)及其應(yīng)用我們得到了g 1 ，g 2 和g 3 的限 制子空間的擾動(dòng)界這些擾動(dòng)界可以用于分析l s t l s 問題 1 6 ，1 7 ， 7 1 ，秩虧的l s e 問題 【2 2 ，約束t l s 問題【2 ，2 3 c m o ” r m 。“ c ? ?！?u a 日 a t r ( a ) r a n k ( a ) d i m ( w ) l d i a g ( c q ， i i a i i r l i a i i s p a n ( v 1 ， 本文記號 m n 復(fù)矩陣集 m n 實(shí)矩陣集 秩為r 的m n 復(fù)矩陣集 n 階酉矩陣集 a 的共軛轉(zhuǎn)置 a 的m p 逆 a 的列空間 a 的秩 子空間w 的維數(shù) r 階的單位矩陣 以盯l ，唧為對角元的對角矩陣 矩陣a 的f r o b e n i u s 范數(shù) 矩陣4 的譜范數(shù) 由向量口l ，張成的子空間 參考文獻(xiàn) 【1 】c d a v i s ，w m k a h a n ，t h er o t a t i o no f e i g e n v e c t o r sb yap e r t u r b a t i o n , 1 1 1s i a i dj n u m e r a n a l 。 7 ( 1 9 7 0 ) 。1 - 4 6 【2 】j d e m m e l ，t h es m a l l e s t p e r t u r b a t i o no f as u b m a t r i xm 棚曲l o w e r st h er a n ka n d c o r t r a i n e dt o t a ll e a s t s q u a r e s p r o b l e m s , s i a mj n u m c r a n a l 2 4 ( 1 9 8 7 ) ，1 9 9 2 0 6 【3 】l e l d d n ，p e r t u r b a t i o nt h e o r y f o rt h el e a s ts q u a r e sp r o b l e mw i t hl i n e a re q u a l i t yc o n s t r a i n t s , s i a mj n u m e r ，1 7 ( 1 9 8 0 ) ，3 3 8 3 5 0 【4 】g h 。g o l u b ，a h o f f m a n ，g w s t e w a r t , ag e n e r a l i z a t i o no f t h et h ee c k a r t y o u n g m i r k ym a t r i xa p p r o x i m a t i o nt h e o r e m , l i n e a ra l g e b r aa p p l ，8 8 8 9 ( 1 9 8 7 ) ，3 1 7 3 2 7 【5 】工k a t o ，p e r t u r b a t i o nt h e o r y f o rl i n e a r o p e r a t o r s , s p a n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k , 1 9 6 6 【6 】c c p a i g e ，m a s a u n d e r s ，t o w a r dag e n e r a l i z e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n , s i a mj n u m e r a n a l ，( 1 8 ) 1 9 8 1 ，3 9 8 - 4 0 5 【7 】c c p a i g e ，m w e i 。a n a y s so fm pg e n e r a l i z e dt o t a ll e a s ts q u a r e sp r o b l e ma x 且w h e n $ o f t l c o l u m a sa r e f r e ee r r o r , n u m e rm a t h ，6 5 ( 1 9 9 3 ) ，1 7 7 - 2 0 2 【8 1g ws t e w a r t , e r r o r a n d p e r t u r b a t i o nb o u n d s f o r s u b s p a c e s a s s o c i a t e d w i t hc e r t a i ne i g e n v a l u e p r o b - l e m s , s i a mr ，1 5 ( 1 9 7 3 ) ，7 2 7 7 6 4 【9 】g ws t e w a r t , o nt h ec o n t i n u i t yo f t h eg e n e r a l i z e di n v e r s e , s i a mj a p p l m a t h ，1 7 ( 1 9 6 9 ) ，3 3 - 4 5 【1 0 g ws t e w a r t , o n t h e p e r t u r b a t i o n o f p s e u d o i n v e r s e s , p r o j e c t i o n s , a n d l i n e a r l e a s t s q u a r e s p r o b l e m s , s i a mr e v ，1 9 ( 1 9 7 7 ) ，6 3 4 - 6 6 2 【1l 】孫繼廣，矩陣擾動(dòng)分析第二版科學(xué)出版社，北京，2 0 0 1 【1 2 1j 如s u n ，o r t b o g o n a lp r o j e c 打o n sa n d 咖p e r t u r b a t i o no ft h ee i g e n v a l u e so fs i n g u l a rp e n c i l s ,