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南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練66 函數(shù)模型及其應(yīng)用班級(jí)_姓名_等級(jí)_一雙基鞏固1(選修1-1p83練習(xí)第2題改編)把長(zhǎng)為100cm的鐵絲分成兩段,各圍成一個(gè)正方形,則兩個(gè)正方形面積之和的最小值為_(kāi) _答案:312.5cm22(07重慶卷)用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架,要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2:1,問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為_(kāi)時(shí),其體積最大?最大體積是_答案:當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m時(shí),寬為1 m,高為1.5 m時(shí),體積最大,最大體積為3 m3。3某學(xué)生離家去學(xué)校,為了鍛煉身體,一開(kāi)始跑步前進(jìn),跑累了再走余下的路,下圖中,縱軸表示離學(xué)校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間,則下列四個(gè)圖形中較符合該生走法的是()解析:由于d0表示學(xué)生的家與學(xué)校的距離,因而首先排除A、C選項(xiàng),又因?yàn)閳D中線段的斜率的絕對(duì)值表示前進(jìn)速度的大小,因而排除B,故只能選擇D答案:D4將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一個(gè)銷(xiāo)售,每天可賣(mài)出100個(gè)若每個(gè)銷(xiāo)售漲價(jià)一元,則日銷(xiāo)售量減少10個(gè)為獲得最大利潤(rùn),則此商品當(dāng)日銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)_元解析:設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元,則實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)為(10x)元,銷(xiāo)售的個(gè)數(shù)為(10010x),則利潤(rùn)為y(10x)(10010x)8(10010x)10(x4)2360(0x10)因此x4,即售價(jià)定為每個(gè)14元時(shí),利潤(rùn)最大答案:145在測(cè)量某物理量的過(guò)程中,因儀器和觀察的結(jié)果的誤差,使得幾次測(cè)量分別得到a1,a2,an,共n個(gè)數(shù)據(jù),我們規(guī)定所測(cè)量的物理量“最佳近似值”a是這樣一個(gè)量,與其他近似值比較,a與各個(gè)數(shù)據(jù)的差的平方和最小,依此規(guī)定,以a1,a2,an推出的a_解析:設(shè)a與各數(shù)據(jù)的差的平方和為y,則y(aa1)2(aa2)2(aan)2na22a(a1a2an)(a12an2an2),因此a時(shí),y取得最小值答案:a6.如圖,一個(gè)正五角星薄片(其對(duì)稱(chēng)軸與水面垂直)勻速地升出水面,記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為,則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為【答案】A【解析】本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí),重點(diǎn)考查的是對(duì)數(shù)學(xué)的探究能力和應(yīng)用能力。最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒(méi)有變化,導(dǎo)數(shù)取零,排除C;總面積一直保持增加,沒(méi)有負(fù)的改變量,排除B;考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑,考慮到導(dǎo)數(shù)的意義,判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?,產(chǎn)生中斷,選擇A。7已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)與年產(chǎn)量(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為,則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi).9萬(wàn)件8. 將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記,則S的最小值是_。解析 考查函數(shù)中的建模應(yīng)用,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為,則:(方法一)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。,當(dāng)時(shí),遞減;當(dāng)時(shí),遞增;故當(dāng)時(shí),S的最小值是。(方法二)利用函數(shù)的方法求最小值。令,則:故當(dāng)時(shí),S的最小值是。9一家人(父親、母親、孩子)去某地旅游,有兩個(gè)旅行社同時(shí)發(fā)出邀請(qǐng),且有各自的優(yōu)惠政策甲旅行社承諾,如果父親買(mǎi)一張全票,則其家庭成員均可享受半價(jià),乙旅行社承諾,家庭旅行算團(tuán)體票,按原價(jià)的計(jì)算,這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的,若家庭中孩子數(shù)不同,試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實(shí)施后的孩子個(gè)數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式,比較選擇哪家更優(yōu)惠?解答:設(shè)兩家旅行社的原價(jià)為a(a0),家庭孩子個(gè)數(shù)為x(xN*),甲、乙兩家旅行收費(fèi)分別為f(x)和g(x),則f(x)a(x1)xa(xN*),g(x)(x2)x(xN*),g(x)f(x),得xx,x1因此,當(dāng)家庭只有1個(gè)孩子時(shí),兩家隨便選擇,當(dāng)孩子數(shù)多于1個(gè)時(shí),應(yīng)選擇甲旅行社10(選修1-1p79例1改編) 用長(zhǎng)為90cm,寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻折900角,再焊接而成,問(wèn)該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大的容積是多少?分析:首先引進(jìn)自變量,然后建立容積的目標(biāo)函數(shù) ,最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值。解:設(shè)容器的高為x,容器的體積為V.則(0 x 24)xx由;所以 當(dāng),又,所以 0 , 答:該容器的高為10cm時(shí),容器有最大容積1960011統(tǒng)計(jì)表明,某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為:已知甲、乙兩地相距100千米。(1)當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地要耗油多少升?(2)當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?分析:本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解:(1)當(dāng)時(shí),汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí),要耗油(升)。答:當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油17.5升。(2)當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí),汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí),設(shè)耗油量為升,依題意得令得當(dāng)時(shí),是減函數(shù);當(dāng)時(shí),是增函數(shù)。當(dāng)時(shí),取到極小值因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值,所以它是最小值。答:當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升。二拓展提高12.如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其半軸長(zhǎng)為,短半軸長(zhǎng)為,計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底是半橢圓的短軸,上底的端點(diǎn)在橢圓上,記,梯形面積為(I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫(xiě)出其定義域;(II)求面積的最大值解:(I)依題意,以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖),則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程,解得,其定義域?yàn)椋↖I)記,則令,得因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以是的最大值因此,當(dāng)時(shí),也取得最大值,最大值為即梯形面積的最大值為*13如圖,某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源,欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路,點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為(),且,點(diǎn)到平面的距離(km)沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬(wàn)元/km,原有公路改建費(fèi)用為萬(wàn)元/km當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為km()時(shí),其造價(jià)為萬(wàn)元已知,(I)在上求一點(diǎn),使沿折線修建公路的總造價(jià)最小;(II) 對(duì)于(I)中得到的點(diǎn),在上求一點(diǎn),使沿折線修建公路的總造價(jià)最小(III)在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使沿折線修建公路的總造價(jià)小于(II)中得到的最小總造價(jià),證明你的結(jié)論AEDBHP解:(I)如圖,由三垂線定理逆定理知,所以是山坡與所成二面角的平面角,則,設(shè),則記總造價(jià)為萬(wàn)元,據(jù)題設(shè)有當(dāng),即時(shí),總造價(jià)最?。↖I)設(shè),總造價(jià)為萬(wàn)元,根據(jù)題設(shè)有則,由,得當(dāng)時(shí),在內(nèi)是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng),即(km)時(shí)總造價(jià)最小,且最小總造價(jià)為萬(wàn)元(III)解法一:不存在這樣的點(diǎn),事實(shí)上,在上任取不同的兩點(diǎn),為使總造價(jià)最小,顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間,且=,總造價(jià)為萬(wàn)元,則類(lèi)

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