66 函數(shù)模型及其應(yīng)用(t).doc

南師附中2011屆高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課課練66 函數(shù)模型及其應(yīng)用班級(jí)_姓名_等級(jí)_一雙基鞏固1（選修1-1p83練習(xí)第2題改編）把長(zhǎng)為100cm的鐵絲分成兩段,各圍成一個(gè)正方形,則兩個(gè)正方形面積之和的最小值為_(kāi) _答案：312.5cm22（07重慶卷）用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為_(kāi)時(shí)，其體積最大？最大體積是_答案：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m時(shí)，寬為1 m，高為1.5 m時(shí)，體積最大，最大體積為3 m3。3某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開(kāi)始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路，下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下列四個(gè)圖形中較符合該生走法的是（）解析：由于d0表示學(xué)生的家與學(xué)校的距離，因而首先排除A、C選項(xiàng)，又因?yàn)閳D中線段的斜率的絕對(duì)值表示前進(jìn)速度的大小，因而排除B，故只能選擇D答案：D4將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一個(gè)銷(xiāo)售，每天可賣(mài)出100個(gè)若每個(gè)銷(xiāo)售漲價(jià)一元，則日銷(xiāo)售量減少10個(gè)為獲得最大利潤(rùn)，則此商品當(dāng)日銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為每個(gè)_元解析：設(shè)每個(gè)漲價(jià)x元，則實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)為（10x）元，銷(xiāo)售的個(gè)數(shù)為（10010x），則利潤(rùn)為y（10x）（10010x）8（10010x）10（x4）2360（0x10）因此x4，即售價(jià)定為每個(gè)14元時(shí)，利潤(rùn)最大答案：145在測(cè)量某物理量的過(guò)程中，因儀器和觀察的結(jié)果的誤差，使得幾次測(cè)量分別得到a1，a2，an，共n個(gè)數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測(cè)量的物理量“最佳近似值”a是這樣一個(gè)量，與其他近似值比較，a與各個(gè)數(shù)據(jù)的差的平方和最小，依此規(guī)定，以a1，a2，an推出的a_解析：設(shè)a與各數(shù)據(jù)的差的平方和為y，則y（aa1）2（aa2）2（aan）2na22a（a1a2an）（a12an2an2），因此a時(shí)，y取得最小值答案：a6.如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱(chēng)軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為【答案】A【解析】本題考查函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)圖、導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí)，重點(diǎn)考查的是對(duì)數(shù)學(xué)的探究能力和應(yīng)用能力。最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒(méi)有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒(méi)有負(fù)的改變量，排除B；考察A、D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?，產(chǎn)生中斷，選擇A。7已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為_(kāi).9萬(wàn)件8. 將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是_。解析 考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為，則：（方法一）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；故當(dāng)時(shí)，S的最小值是。（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。令，則：故當(dāng)時(shí)，S的最小值是。9一家人（父親、母親、孩子）去某地旅游，有兩個(gè)旅行社同時(shí)發(fā)出邀請(qǐng)，且有各自的優(yōu)惠政策甲旅行社承諾，如果父親買(mǎi)一張全票，則其家庭成員均可享受半價(jià)，乙旅行社承諾，家庭旅行算團(tuán)體票，按原價(jià)的計(jì)算，這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的，若家庭中孩子數(shù)不同，試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實(shí)施后的孩子個(gè)數(shù)為變量的收費(fèi)表達(dá)式，比較選擇哪家更優(yōu)惠？解答：設(shè)兩家旅行社的原價(jià)為a（a0），家庭孩子個(gè)數(shù)為x（xN*），甲、乙兩家旅行收費(fèi)分別為f（x）和g（x），則f（x）a（x1）xa（xN*），g（x）（x2）x（xN*），g（x）f（x），得xx，x1因此，當(dāng)家庭只有1個(gè)孩子時(shí)，兩家隨便選擇，當(dāng)孩子數(shù)多于1個(gè)時(shí)，應(yīng)選擇甲旅行社10（選修1-1p79例1改編） 用長(zhǎng)為90cm，寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大的容積是多少？分析：首先引進(jìn)自變量,然后建立容積的目標(biāo)函數(shù) ,最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值。解：設(shè)容器的高為x，容器的體積為V.則(0 x 24)xx由；所以 當(dāng)，又，所以 0 ， 答：該容器的高為10cm時(shí)，容器有最大容積1960011統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米。（1）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（2）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？分析：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解：（1）當(dāng)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)，要耗油（升）。答：當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。（2）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，依題意得令得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，取到極小值因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值。答：當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。二拓展提高12.如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫(xiě)出其定義域；（II）求面積的最大值解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為*13如圖，某地為了開(kāi)發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬(wàn)元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬(wàn)元/km當(dāng)山坡上公路長(zhǎng)度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬(wàn)元已知，（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最小；（II） 對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最小（III）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論AEDBHP解：（I）如圖，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，則記總造價(jià)為萬(wàn)元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最?。↖I）設(shè)，總造價(jià)為萬(wàn)元，根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬(wàn)元（III）解法一：不存在這樣的點(diǎn)，事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，為使總造價(jià)最小，顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間，且=，總造價(jià)為萬(wàn)元，則類(lèi)