（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）關(guān)于半環(huán)的結(jié)構(gòu)和同余.pdf

獨(dú)創(chuàng)聲明 礦 5 9 8 l 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取 得的研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文 中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果，也不包含為獲得 ( 注：如沒有其他需要特別聲明的，本攔可空) 或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或 證書使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在 論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意。 學(xué)位論文作者簽名：象一j 紅星導(dǎo)師簽字： 上， 蓼何7 廠 簽字日期：20 0 4 年午月z 6 日 簽字日期：2 0 0 4 年鏟月巧日 關(guān)于半環(huán)的結(jié)構(gòu)和同余 劉紅星 ( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，濟(jì)南，山東，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文給出一般半環(huán)上的環(huán)同余刻劃；并討論半環(huán)族上的同余格的直積的子格與 其強(qiáng)分配格上的同余子格的關(guān)系；最后探討廣義分式半環(huán)及其上的廣義分式半模 具體內(nèi)容如下： 第一章給出引言和預(yù)備知識(shí) 第二章，主要給出一般半環(huán)上的環(huán)同余刻劃，并由此推出加法交換半環(huán)上的 環(huán)同余刻劃主要結(jié)論如下： 定理2 7r 是半環(huán)，t 是r 的理想，且是稠密的和自反的，則p r 是r 上的環(huán) 同余，而且t k e r p t ； 反之，若p 是r 上環(huán)同余，則k e r p 是r 的理想，且是滿的稠密的自反的酉的， 而且有p = p h ， 第三章利用一族半環(huán)上的同余刻劃其強(qiáng)分配格上的同余，并給出這族半環(huán)的同 余格的直積的子格與其強(qiáng)分配格上的同余格的子格的同構(gòu)關(guān)系最后，得出半環(huán)的 強(qiáng)分配格上的商半環(huán)為其相對(duì)應(yīng)的半環(huán)的商半環(huán)的強(qiáng)分配格的充要條件主要結(jié)論 如下： 引理3 2 設(shè)s = ，p 。是& 上的半環(huán)同余，且 川a d ) 滿足條件 v a ，b ，( a ，6 ) 兒= = 夠n ，蘆d ，( 口妒。，蘆，6 妒。，口) 雕，( a ) 定義s 上的關(guān)系p 如下 ( a ，b ) p ，o ，b s 口 = 爭(zhēng)了1 n + 盧，( o 妒a 1 ，6 妒日，1 ) p 1 則p 是s 上的半環(huán)同余 定理3 1 ss = ，若妒?？谑峭瑯?gòu)映射，l p ：白 c c ，其中c c = p 島i p 滿足條件四， 加) _ + p ，則妒是格同構(gòu) 定理3 2 2 設(shè)s = ，一為強(qiáng)分配格對(duì)應(yīng)的分配格同余，p 為s 上的 同余，對(duì)v 0 d ，令p 。= p 1 s 。，若有以下條件成立，即 ( 6 ) e p ，。，6e 昂號(hào)v 7 q + 帥1 ，咖t 1 ) ( c ) l 卻o + 盧，( n l p a ，1 ，酞即，1 ) p = 陋，b ) p ， 2 則s p = 雪為s p 。= 的強(qiáng)分配格的充要條侔為p o 第四章得出廣義分式半環(huán)及其上的廣義分式半模的一些性質(zhì)，給出廣義分 式半環(huán)的泛性刻劃，主要結(jié)論如下： 定理4 5 若r ，a 是含幺交換半環(huán)，設(shè)g ：r a 為半環(huán)同態(tài)，s ，t 為r 的乘 法閉子集，s t ，且使9 ( s ) 為a 的可逆元子集，9 ( t ) 為a 的可消元子集，則存在 唯一的同態(tài)h ：篩1 冗+ a 使h ，= 9 關(guān)鍵詞：半環(huán)，半環(huán)的強(qiáng)分配格，半環(huán)的強(qiáng)分配格對(duì)應(yīng)的分配格同余， 相 等化子，同余可消元 分類號(hào)：0 1 5 2 7 3 o ns t r u c t u r e so f s e m i r i n g sa n dc o n g r u e n c e so ns e m i r i n g s l i u h o n g x i n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no f r i n gc o n g r u e n c e so n as e m i r i n g ；b e s i d e s ，w ed i s c u s st h er e l a t i o no fa s u b l a t t i c eo ft h ed i r e c tp r o d u c to ft h e l a t t i c e so fc o n g r u e n c e so naf a m i l yo fs e m i r i n g sa n das u b l a t t i c eo ft h el a t t i c eo f c o n g r u e n c e so nt h es t r o n g d i s t r i b u t i v el a t t i c eo ft h o s es e m i r i n g s ；f i n a l l y ，w e d i s c u s sg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i r i n g sa n dg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i m o d u l e so n t h o s e t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w ， i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yg i v eac h a r a c t e r i z a t i o no fr i n gc o n g r u e n c e so na s e m i r i n ga n dg e tt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fr i n gc o n g r u e n c e so na d d i t i o n a lc o m m u t a - t i v es e m i r i n g s t h e o r e m2 7 l e trb ea s e m i r i n g ，tb ea d e n s er e f l e x i v ei d e ao fr ，t h e n p t i sar i n gc o n g r u e n c eo n ra n d t k e r p t ； c o n v e r s e l y ，i fp i sar i n gc o n g r u e n c eo nr ，t h e nk e r pi saf u l ld e n s er e f l e x i v e u n i t a r yi d e ao fr ，a n dp = p k e r d i nc h a p t e r3 ，w ec h a r a c t e r i z et h ec o n g r u e n c e so nas t r o n gd i s t r i b u t i v e l a t t i c eo fs e m i r i n g sb yt h ec o n g r u e n c e so nt h o s es e m i r i n g sa n dp r o v et h a tas u b - l a t t i c eo ft h ed i r e c tp r o d u c to ft h el a t t i c e so fc o n g r u e n c e so nt h o s es e m i r i n g si s i s o m o r p h i ct oas u b l a t t i c eo ft h el a t t i c eo fc o n g r u e n c e so nt h es t r o n g d i s t r i b u t i v e l a t t i c eo fs e m i r i n g s f i n a l l y , w eg e tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o raq u o - t i e n ts e m i r i n go fas t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g st ob eas t r o n gd i s t r i b u t i v e l a t t i c eo f q u o t i e n ts e m i r i n g s t h em a i n r e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w l e m m a3 2 l e t s = ，p ab e ac o n g r u e n c eo n 恤d ) ，a n d 風(fēng)i o d ) s a t i s f y c o n d i t i o n v a ，b & ，( a ，b ) p a v 盧口，盧d ，( o ，口，b c p q ，盧) p 盧，( a ) 4 ar e l a t i o np0 nsi sd e f i n e db y ( a ，b ) p ，a & ，6 函 = = 爭(zhēng)j 7 a + 盧，( o 。p 。，6 妒口1 ) p 1 t h e npi sac o n g r u e n c eo ns t h e o r e m3 1 3l e t s = ，a n d e a c h l p n ，口b ea ni s o m o r p h i s m d e f i n e a m a p 妒：c 臺(tái)c ，w h e r e c = p s l ps a t i s f i e sc o n d i t i o ng ) ， p 。) 卜_ p ， t h e n 妒i sl a t t i c ei s o m o r p h i s m t h e o r e m3 2 2l e ts = ，盯b et h ec o r r e s p o n d i n gd i s t r i b u t i v e l a t t i c ec o n g r u e n c eo ns ，pb eac o n g r u e n c eo l ls ，f o ra l l 口d ，幾= p l ，i ft h e f o l l o w i n gc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d ，i e ，6 ) p ，。& ，6 昂= 爭(zhēng) n + 成( 叩蚶，6 毗7 ) p 】( g ) 【9 7 血+ 盧，1 ，卻口，) p = 拙，b ) p ， t h e ns i p = si sa s t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs p n = s ni fa n do n l yi fpc o i nc h a p t e r4 ，w e m a i n l yg e ts o m ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e df r a c t i o n a l s e m i r i n g sa n dg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i m o d u l e so nt h o s ea n dg i v eac h a r a c t e r i z a - t i o no fu n i v e r s a lp r o p e r t yo fg e n e r a l i z e df r a c t i o n a ls e m i r i n g s t h em a i nr e s u l t sa r e g i v e ni nf o l l o w t h e o r e m4 5l e tra n daa r ec o m m u t a t i v es e m i r i n g sw i t hi d e n t i t i e s ，g ： r _ ai sm o r p h i s m ，sa n dta r em u t i p l a t i v es e t so f 兄，s t ，a n dg ( s ) i sa s u b s e to fi n v e r t i b l ee l e m e n t so fa g ( a ) i sas u b s e to fe a n e e l l a b l ee l e m e n t so fa ， t h e nt h e r ei sau n i q u em o r p h i s mh ：s 1 r - - - - 4a s a t i s f y i n gh f = g k e y w o r d s ：s e m i r i n g ，s t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s ，d i s t r i b u t i v e c o n g r u e n c ec o r r e s p o n d i n gt oas t r o n gd i s t r i b u t i v el a t t i c eo fs e m i r i n g s ，e q u a t i o n a l ， i z e r ，c o n g r u e n c ee a n c e l l a b l ee l e m e n t 5 第一章引言及預(yù)備知識(shí) 1 1引言 半環(huán)是含有加法和乘法兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算且滿足結(jié)合律、分配律的代數(shù)系半環(huán) 存在于我們周圍的世界中，我們首先接觸的自然數(shù)集就是一個(gè)半環(huán)! 另外，半環(huán)廣 泛出現(xiàn)在環(huán)論、非交換環(huán)理論、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、圖論以及計(jì)算機(jī)科學(xué)、形式語(yǔ)言 理論以及量子物理學(xué)中 歷史上，半環(huán)最早由d e d e k i n d 在1 8 9 4 年提出；后來(lái)m a c a u l a y ，k r u l l 等人在研究 環(huán)的理想時(shí)也使用過(guò)半環(huán)的概念1 8 9 9 年h i l b e r t 在討論自然數(shù)公理和非負(fù)有理數(shù) 時(shí)，也涉及到半環(huán)近年來(lái)半環(huán)理論有了很大發(fā)展研究半環(huán)主要有兩種方法：環(huán) 的方法和半群的方法1 9 9 2 年，g o l a n 出版了， 一書，對(duì)半環(huán)作了系統(tǒng)的論述 在半環(huán)理論中，主要研究半環(huán)的結(jié)構(gòu)和同余文獻(xiàn)【3 】首次給出了半環(huán)的強(qiáng)分 配格定義并證明了強(qiáng)分配格是半環(huán)，證明了一些重要的相關(guān)性質(zhì)，具體內(nèi)容如下： 設(shè)s = 為半環(huán)族& ，a d 的強(qiáng)分配格，則s 上的關(guān)系日： ( a ，b ) 0 ，a s 。，b 品甘n 如，時(shí)口= 6 如，n + 口 為s 上的同余，且s 為d 和s 0 的子直積；半環(huán)s 是分配格和環(huán)的子直積乍 s 是 e 一逆半環(huán)并且是加法可消h 一半環(huán)的強(qiáng)分配格仁 s 是e 一逆半環(huán)并且是h 一半環(huán) 的強(qiáng)分配格，其中每個(gè)h 一半環(huán)含有一個(gè)加法冪等元( h 一半環(huán)是指含有零元的加法 交換半環(huán)) 另外，g o m e s 在文獻(xiàn) 6 】中給出了一般半群上的群同余的一種刻劃，特別給出 了若s 是酉的稠密e 一半群，則s 上的關(guān)系a ：( 。，6 ) a 骨( 3 e ，e ( s ) ) e a = b f 是 s 上的最小群同余 本文主要給出了一般半環(huán)上的環(huán)同余刻劃；討論了半環(huán)族上的同余格的直積的 子格與其強(qiáng)分配格上的同余子格的關(guān)系；并討論了廣義分式半環(huán)及其上的廣義分式 半模的性質(zhì)，以及廣義分式半環(huán)的子直積 1 2預(yù)備知識(shí) 設(shè)( s ，+ ) 是半群，如果v a s ，存在唯一的d s ，使a + a + 口= 口，+ 口+ o = b ，則s 稱為逆半群( s ，+ ) 是半群，如果v a s , 3 a 。s ，使a + a e ( s ) ，其中e ( s ) 為s 的冪等 6 元集，則s 稱為e 逆半群在非空集合s 上定義兩種運(yùn)算+ 和，( s ，+ ) 和( s ，) 均是半 群，且v a ，b ，c s ，滿足( a + b ) e = n c + k ，口( 6 + c ) = a b + a c ，則稱s 是半環(huán)p 為半環(huán)s 上的 等價(jià)關(guān)系，v a ，b ，e s ，若( n ，6 ) 凸有( c + a ，c + 6 ) 島國(guó)+ c ，6 + c ) p , ( e a ，c b ) p , ( a c ，6 c ) 島 則稱p 為s 上的同余；若p 為s 上的同余，s o 為環(huán)，則稱p 為s 上的環(huán)同余另 外，若( s ，+ ) 是逆( e 一逆，正則) 半群，則稱s 是逆( e 一逆，正則) 半環(huán) 如果是x 上的關(guān)系，且滿足自反性，反對(duì)稱性和傳遞性，則稱( x ，) 是個(gè) 偏序集；z v ”表示z ，口的最小上界，：2 1 a y 表示z ，的最大下界；如果偏序集( x ，) 中任意兩個(gè)元素在x 中有最小上界和最大下界，則稱( x ，s ) 是格；( x ，莖) 是格，如 果x 中任意元素z ，y ，z 滿足z ( y v z ) = ( x a y ) v 0 z ) ，則稱( x ，蔓) 是分配格若( x ，) 是格，則代數(shù)系統(tǒng)( 蓋，v ， ) 滿足v a ，b ，c x ，有( 1 ) 交換律犯v b = b v a ，a a b = b a n ) i ( 2 ) 結(jié)合律( o v ( b vc ) = ( a v v c ，o a c ) = ( a ab ) c ) ；( 3 ) 冪等律( n v o = n ，n a n = n ) ； ( 4 ) 吸收律( n v 0 a 妨= 8 ，n a ( 口v 妨= 口) ，反之，若( x ，v ， ) 是代數(shù)系統(tǒng)，v 和a 滿 足交換律，結(jié)合律，冪等律，吸收律，則在x 上存在偏序關(guān)系：n b 幸 a ab = n 使( x ，s ) 是一個(gè)格【1 7 】則( x ，) 是分配格 昔代數(shù)系統(tǒng)( x ，v ， ) 上的二元運(yùn)算v 和 滿足交換律，結(jié)合律，冪等律。吸收律，分配律 t 為r 的子集，如果v x ，t ，z + ，x y t ，則稱t 為r 的子半環(huán)；若t 為 r 的子半環(huán)且v r r ，et ，r t ，打t ，則稱r 為r 的理想；若s 是半群，如果 v a s ，j z ，y s ，使得n 十z ，+ a t ，則t 稱為稠密的；如果e ( s ) t ，其中e ( s ) 為 s 的加法冪等元集，則稱t 是滿的；如果o + b t 茸b + 。t ，則稱t 為自反的； 如果v a s ，v te t ，。+ t t v t + o t 爿a t ，則稱t 為酉的；若t 為r 的子半 環(huán)，且( t ，+ ) 關(guān)于( 且，+ ) 是稠密的( 滿的，自反的，酉的) ，則稱于半環(huán)r 是稠密的 ( 滿的，自反的，酉的) r 是交換半環(huán)，m 是交換幺半群，在r m 上定義一個(gè)函 數(shù)，：r m + m ，( r ，m ) 卜_ _ + r m ，則v r ，r r ，m ，m 。m ，滿足 ( 1 ) ( r r ) m = t ( r m ) ； ( 2 ) r ( m + m ) = r m + r m 7 ； ( 3 ) ( r + r ) m = r m + r 7 m ， 則m 稱為r 一半模若r ，t 是半環(huán)，函數(shù)，：r t 滿足v 札r ：r ，f ( r - + r 2 ) = i ( r 。) + f ( r 2 ) ，( r 2 ) = i ( r - ) f ( r 2 ) ，則稱，為r 一半環(huán)同態(tài)；若m ，n 是r 一半模，函數(shù) ，：m _ 滿足v m l ，m 2 m ，r r ，f ( m l + m 2 ) = ，( m 1 ) + i ( m 2 ) ，f ( r m 1 ) = r i ( m 1 ) ，則 稱，為r 一半模同態(tài)；p 是投射r 一半模，如果m ，是任意r 一半模，p ：m 為任意滿同態(tài)，n ：p ，為任意r 一半模同態(tài)，則存在r 一半模同態(tài)聲：p m ， 滿足筇= a 設(shè)r 是半環(huán)，m 是左r 一半模，p 為m 上的等價(jià)關(guān)系，v m ，n m ，若 m 胛，n o n = ( m + n ) o ( m + ) ，且v r r ，r m m ，則稱p 是m 上的r 一同余；如果 m 是r 一半模，m o ，m 上的r 一同余只有恒等同余和泛同余，則稱m 為單半模 7 第二章半環(huán)上的環(huán)同余 環(huán)同余是半環(huán)上最重要的同余之一，本章探討一般半環(huán)上的環(huán)同余的統(tǒng)一刻 劃，并對(duì)交換半環(huán)得出環(huán)同余的若干推論設(shè)r 為半環(huán)，若p 為r 上的同余，本章 記k e r p = n r l a p = ( a + o ) p ) 2 1一般半環(huán)上的環(huán)同余 引理2 1 n 設(shè) + ) 是半群，7 1 是s 的自反子集，則v a ，b s , t 有 a + b t 哥n + t + b t 引理2 2 設(shè)r 為半環(huán)，t 是r 的理想，且是稠密的和自反的，在r 上定以關(guān) 系o - t 如下 m ，b ) o r t 甘3 h ，l t ，h + o = b + f 則凹是r 上的半環(huán)同余。且( 剮即，+ ) 是群，并有t k e r a t 證明v aer ，由于t 是稠密的和自反的，所以j z r ，使口+ z ，z + a t ，而 ( n + x ) + o = o + 0 + n ) ，所以扣，o ) o t 若( o ，6 ) 盯t ，( 6 ，c ) 盯t ，貝03 h 1 ，z 1 ，h 2 , z 2et ，使 h l + 口= b + l x ，h 2 + b = c + ? 2 ， 因而 2 + l + 口= h 2 + b + 1 1 ，h 2 + b + l l = 1 2 + 1 2 + 2 1 ， 所以h 2 + h l + a = c + f 2 + 1 1 而h 2 + h i , f 2 + 1 1 t ，因此，c ) 盯丁 若( n ，6 ) 一t ，則3 h ，f t ，使h + o = b + z ，由t 的稠密性和自反性知，卻，g er ，使 b + 蟣y + b ，口+ z ，z + d t ， 而由引理2 1 知z + h + 8 ，b + l + f 由t 為子半環(huán)可知 z + h + a + 私+ b ，n + z + b + j + t ， 而由h + o = b + 2 可知( 0 + z + b + l + ) + b = 口+ 0 + h + o + 材+ b ) ，所以( 6 ，n ) o t 所以 a r 是等價(jià)關(guān)系 若( o ，b ) o t ，則3 h ，f t ，使h + 。= b + l ，由于t 是稠密的和自反的，因而瑚r ，使 b + 鼽分+ b t ，對(duì)v c r ，3 。r ，使c + 2 ，z + c 有引理2 2 知 b + ( c + z ) + 可t ，z + 0 + b ) + ( c + z ) 十0 + b ) + l + c t ， 8 則有( b + c + z + 掣) + ( b + c + + y ) + h t ，而 ( b + c + 茹+ y ) + ( b + c + z + ”) + h + ( o + c ) = ( b + c + 囂+ 掣) + ( b + c + 囂+ y ) + b + f + c = ( b 十c ) + 扛+ p + b + c + + 掣+ b + l + c ) ， 因而向+ c ，b + c ) e 口t 同理可證( c + n ，c 舶) 卵 v c r ，由于t 是理想，所以c h ，c f t ，而c h + = c 6 + c f ，所以洶，曲) 卵同理可證 ( n c ，b c ) 叼所以口t 是同余 下面證明( r 口t ，+ ) 是群設(shè)h ，z t ，顯然有( ，z ) f i t 特別( f ，l + f ) 卯，所以t 包 含在即的一個(gè)冪等元類中，記為【i o 】，1 0 t 則【f o 】為冗叼的加法單位元 事實(shí)上，v a er ，j z r ，使o + 蜀z + 由引理2 1 知石+ f 0 + 8 ，8 + t o + 。e 因而 ( o + 茹+ t o + n + z ) + l o + o = o + q + l o + n + z 十j o + 口) ， ( n 十l o + 茹+ o + l o + z ) + a = o + f o + 忙+ + 1 0 + z + 口) 所以有( n ，z o + n ) f i t 和( o ，o + l o ) f i t + x ) o r f 0 一t 缸+ o ) ，所以吲是的逆元 立d 因此| f o 是r o t 的加法單位元另外， 因而( r 一r ，+ ) 是群而? k e r c r t 顯然成 我們知道，設(shè)g 是群，由集合 a b a - 1 b - 1 h b g ) 生成的g 的子群叫做g 的換 位子群，并表示成g ，并且g7 是g 的正規(guī)子群，a c 是a b e l 群 引理2 3 設(shè)( r ，+ ，) 是半環(huán)，且( r ，+ ) 是群( 不必交換) ，r 是( r ，+ ) 的換位子群， 則r 是r 的理想 證明設(shè)d 是( r ，+ ) 的換位子群，則r 由 o + b d “i 。，b r ) 生成v ( o t + i = l b i d i 一6 。) ，( a j + b a j b j ) 矗，v rer ，有 j = 1 nn r ( o f + b i 一啦一6 i ) = ( 啊+ r 6 i 一帆一r 6 i ) 硝 i = 1i = 1 同理可證( ( a i + 6 。一m 一“) ) r ，( o ；舶 一毗一“) ( q + b j a j b ) 矗 而矗關(guān)于加法封閉顯然所以r 是r 的理想。口 引理2 4 設(shè)r 是半環(huán)，t 是咒的理想，且是稠密的和自反的，a r 為引理2 2 得到的r 上的同余，( r o r ) 表示( r a r ，+ ) 的換位子群，定義r 上的關(guān)系陽(yáng)如下 ( ，b ) p t 車= 爭(zhēng)n 盯t 十( 冗即) = 幻t + ( r 即) 則p t 是r 上的環(huán)同余，且t k e r o t ， 證明o r 是r 上的等價(jià)關(guān)系顯然 訛，b ，c r ，若( ，b ) 陽(yáng)，則口叼+ ( r 口r ) = b o t + ( r 口r ) ，因而 ?？趖 + ( 凡即) + t + ( r 盯r ) = c 盯t + ( r o t ) + b 盯t + ( r 盯t ) 9 所以 ( c + a ) a t + ( 矗，叼) = ( c + 叩+ ( r ，口7 ) ， 因而( c + n ，c + b ) p t 同理可證扣+ c ，b + c ) 陽(yáng)下證船關(guān)于乘法是相容的若 ( n ，6 ) p t ，則a o t + ( r 口r ) = 婦t + ( 1 q 口r ) 。，因而n 口t “口t ( r 口t ) ，因?yàn)? r o t ) 是 兄口t 的理想，所以盯t o k r = t r 一t b t = t ( n 仃t b o - t ) ( r 盯r ) 。，因此 湎，c b ) p t 同理可證( 口c ，k ) p t 所以陽(yáng)是兄上的同余 v 0 r ，( o + l o ) o t = ?？趖 ，所以 ( o + f o ) 盯丁+ ( r 卵) = o , o - , - + ( 咒口r ) 即叩t + l o p t = 0 p t 則f o p t 為r o r 的單位元由于r f r t 為群，則3 a r ，使 叼= 一嘶即( n + a ) f = r t = 0 0 r 因而a p r + o p t = l o p t 所以r o r 是群另一方面， v 。，b 冗，由于( r 卵) 是r a r 的換位子群，則 。仃r + ( r 盯r ) + 6 玎? + ( r 研) = ?？谟? ( 冠即) + o , o - t + ( 冗田) ， 即( 0 + 6 ) 盯r + ( r c , t ) 。= ( 6 + n ) 仃t + ( r 口t ) 。，所以+ 6 ，b + o ) p t 因而( r p r ，+ ) 是 a b e l 群，從而( r p t ，+ ，) 是環(huán)，即甜為r 上的環(huán)同余 若n k e r o t ，則( o ，n + 口) o - t ，顯然有( d ，o + n ) 陽(yáng)所以k e r 口t k e r o t 而t k e r g t ， 所以t k e r p t 口 我們稱p t 為由t 生成的r 上的環(huán)同余上面的定理已證了t k e r p t ，但反包 含關(guān)系卻不一定成立 例2 50 8 = 4 - 1 ，士t ，士j ，士自) 的加法。按四元數(shù)群的乘法運(yùn)算定義，乘法。 定義為任意兩元素相乘為1 則( 0 8 ，o ，o ) 為半環(huán)e = l 是0 s 的稠密的自反 的理想( 仉，o ) 為群，但不是a b e l 群則o e = 1 q 。，( q 8 0 e ，o ) 為a b e l 群，因而有 ( i e j e ( 一t ) o ( 一j ) ) 肛= o s ，。( 其中o s ，p 。表示吖朋的零元) ，即i e j e ( 一i ) e ( - j ) k e r p f ， 但i o j o ( 一 ) o ( 一j ) g e ，所以k e r p e 不包含在e 中口 引理2 6 且是半環(huán)，p 是r 上的環(huán)同余，則k e r p 是r 的理想，且是滿的酉的 稠密的自反的，而且有p = 風(fēng)， 證明由p 為環(huán)同余，則k e r p = n rl a p = o ， ，其中0 p 代表r p 的零元k e r p 是滿的稠密的顯然 若n + 6 k e r p ，則 ( n + b ) o = 0 p ，( 6 + n + b + a ) p = 即+ ( n + b ) p + a o = b o + 0 p + a p = ( b + a ) p 所以+ a ) o = 0 ，因而k e r o 是自反的 若d + h ek e r p ，h k e r p ，則有0 p = ( b + h ) p = a p + 如= 印+ 0 p = a p 所以d k e r p 若h + o k e r p ，h k e r p ，同理可得o k e r 0 因而k e r p 是酉的 i 0 v c r ，v 口k e r p ，因?yàn)? 扣= c p 叩= 加p = 0 p 因而k e r p 同理可證n c k e r p 因此k e r p 是r 的理想 若( o ，b ) m e 令r ，為由k e r p 按引理2 2 生成的同余，則，+ ( r 口，) ： 扛吼e 叩+ ( b 盯k e 即) ，所以j 三( 口- 盯女e r p + 6 靠。，p + 8 ：“唧+ t 吼。，p ) ，曼( 勺盯脅，+ 嗎盯k 。，p + c 二口女e r p + d j o k e r p ) ( r o k e r p ) ，其中。即= - - o i g k 。，p = 山i 盯女。鞏。叩= 一勺盯t 。m 如m ，= 一由使得 即 n m n r p + ( 啦+ 玩+ 。：+ t ) 盯h ，p = b o 腳p + ( c j + d j + 弓+ ) ，p i = i j = a ”m ( o + ( n ，+ 6 - + o ：+ 6 ：) ) 一i 。，= ( b + ( q + 嗎+ c j + ) ) 盯t 。，p i = 1 j = l 所以3 h ，z k e r p ，使得 所以 n m 九十。十( 。t + b i + 。：+ 6 ：) = 6 + ( q + 由+ 弓+ 弓) + l i = l ，= 1 n m h p + 。p + 陋t + b - + o ：+ 反) p = 6 p + ( q + 嘭+ 弓+ ) 盧+ l p 扛：1 j = 1 由于p 為環(huán)同余，則( s o ，+ ) 為a b e l 群，另外，n ：a p = 一毗。有( 毗+ n ：) ，= 0 。 因而( 毗+ n ：) p = 0 p 同理可證( 阮+ 6 ：) p = ( c j + 弓) p = ( 嗎+ 母) p = 0 p , i = 1 ，川j = 1 ，m 貝4 量( o t + b i + 。：十6 ：) p =，( c j + d j + 弓+ 弓) p = 0 p ，而h p = f p = 0 p ，所以a p = b p 即 ( 如最p 1 反之，若( q6 ) p ，則a p = b p ，五r 使得x p + a p = b p + z p = 0 p 所以6 + $ ，z 扣船”p 而( 6 + z ) + o = b + 0 + n ) ，因此( ，6 ) 口m p ，所以( 口，的p m p 這樣就證得p = m ?？?我們由上述引理可得 定理2 7 設(shè)r 是半環(huán)，t 是r 的理想，且是稠密的和自反的，則胛是r 上的 環(huán)同余，而且t k e r p t ； 反之，若p 是置上環(huán)同余，則k e r p 是r 的理想，且是滿的稠密的自反的酉的， 而且有p = p m ?？?推論2 8 設(shè)r 是半環(huán)，噩，b 是r 的理想，且是稠密的和自反的，若n 曼孔， 則衄脅 證明若( 口，6 ) p n ，則口口n + ( r 盯n ) = b 口五+ ( r o t l ) 則存在意( m + b + o ：+ ) 啦，量( q + 嗎+ + 弓) 劃啊，其中( o + n ：) = ( 6 t + 6 ：) 口n = ( q + c ；) 啊= 1 1 ( 由+ 弓) 口t 1 = 0 啊，使得 n c i a t l + ( d + b ；+ n ：+ 6 ：) i = 1 6 仃n + ( 勺+ 由+ 弓+ 弓) 口n j = i 而五馬，則有。乃所以 a q t 2 + 乏二( + b i + 0 二+ 瓦) = k 孔+ ( q + 由+ 弓+ 弓) 仃孔 i = 1 j = l 由于v t l n ，有( 啦+ n ：，1 ) 則( 口i + 。：) 盯n = t l o - t 2 = 0 ，碼因此 nm ( 啦+ 6 t + 。：+ 6 ：) 口t 2 ，( c s + 由+ 弓+ ) 盯噩( r ) i = l j = l 所以a 0 t 2 + ( r 口死) = 6 + ( r 啊一因此( n ，p b ，所以有船p t ：口 2 2某些加法交換半環(huán)上的環(huán)同余 下面討論加法交換半環(huán)上的環(huán)同余 引理2 9 設(shè)r 為加法交換半環(huán)，t 是r 的理想，且是稠密的滿的，則g t 是r 上的環(huán)同余 證明加法交換半環(huán)中子集顯然是自反的，再由引理2 2 即得口 若r 為交換半環(huán)，t 為r 的理想且為的稠密的滿的，則我們?nèi)菀椎玫絝 i t = p t 引理2 1 0 設(shè)r 是加法交換半環(huán)，a 是r 上的環(huán)同余，則k e r a 是r 的理想， 且是滿的稠密的酉的，同時(shí)有一= 一 證明由引理2 6 可得口 引理2 1 1 設(shè)r 是半環(huán)r 的理想且是滿的稠密的，則t = k e r ( r t 號(hào)t 是r 的 酉子半環(huán) 證明j 設(shè)t = k e r a m ，則v a ，z r ，若a + x l 則( a + x ) a t = 0 若o t ，e l l 7 t = 0 則z 盯下= 0 所以g t 仁由引理2 2 知t k e r o t ，若o k e r a r ，則口口丁= o j j o 使得?？趖 = 0 ，= f o 口t ，所以3 h ，f t 使 + d = z o + l l 而r 是酉子集，所以d t ，因而女e r 口t c t ，即 得t = k e r a t 口 由此可得 定理2 1 2 設(shè)r 為由b 法交換半環(huán)，t 是r 的理想，且是稠密的滿的酉的，則o ， 是r 上的環(huán)同余，且t = k e r c t t ； 反之，若，是r 上的環(huán)同余，則# ：e r a 是r 的理想，且是滿的稠密的酉的，而 且有口5 i - i 推論2 1 3 設(shè)r 為加法交換半環(huán)，若孔，死是r 的理想，且是滿的稠密的酉的， 貝0 矸t 2 甘盯n 盯n 口 若r 為加法交換半環(huán)，e + ( 勵(lì)為r 的加法冪等元集，則e + ( 且) 顯然為五的理 想 定義2 1 4 設(shè)冠為加法交換半環(huán)，若e + ( 剮是酉的稠密的，則稱月是酉的稠密 半環(huán) 推論2 1 5 設(shè)r 是酉的稠密半環(huán)，則r 上的關(guān)系一定義如下 0 ，b ) 口幡3 e e + ( r ) ，e + a = b + e 則a 是r 上的最小環(huán)同余 證明3 f ，9 e + ( 丑) ，使，+ n = 6 + 9 號(hào)| ee e + ( r ) ，使e + o = 6 + e ，而e + ( r ) 為r 的理想且是酉的稠密的，則由定理2 , 1 2 和推論2 1 3 知一是r 上的最小環(huán)同余口 定義2 1 6 設(shè)冗是加法交換逆半環(huán)，若e + ( 冗) 是r 的酉子集，則稱置是酉逆半 環(huán) 顯然酉逆半環(huán)一定是酉的稠密半環(huán)，則由推論2 1 5 可得 推論2 1 7 設(shè)r 是酉逆半環(huán)，則r 上的最小環(huán)同余a 為 ( a ，b ) o - 甘3 e e + ( r ) ，e + a = b + e 口 第三章半環(huán)的強(qiáng)分配格上的同余及其相關(guān)問題 本章主要討論半環(huán)族( a d ) 上的同余格的直積的子格與其強(qiáng)分配格s 上的 同余格的子格之間的關(guān)系，& 上的環(huán)同余族與s 上的環(huán)同余之間的關(guān)系 3 1半環(huán)的強(qiáng)分配格上的同余 定義3 1 【3 】設(shè)d 是分配格， & i a d ) 是非交半環(huán)族，脹d ，a 盧，有映射 妒礎(chǔ)：s 。_ 品，其中妒礎(chǔ)是單同態(tài)，且滿足條件： 妒n ，n = l s 。， 妒，口妒聲1 = | p ，1 ，n s 聲s 7 s o 妒o 。1 s 自l p 盧1c - 覓盧妒。蘆，n + 盧7 在s = us 。上定義加法和乘法分別為：對(duì)v a s 。，b s 口 口e d n + b = n ，q + 口+ 6 邪口+ 8 ， 曲= c ，c s ， 且滿足 。妒a 盧，n + 口= o 妒口，o + 口鞏，口口+ 盧 我們稱s 是半環(huán)族& ( o d ) 的強(qiáng)分配格記為s = 文獻(xiàn)【3 】證明了半環(huán)的強(qiáng)分配格仍是半環(huán)，下面我們用上的同余來(lái)刻劃s 上的 同余 引理3 2 設(shè)s = ，兒是上的半環(huán)同余，且 阢l o d ) 滿足條件 v n ，b ，( 口，6 ) p 。= 號(hào)邯n ，盧d ，( o 妒n ，盧，卻n ，口) p a ， ( a ) 定義s 上的關(guān)系p 如下 ( o ，6 ) p ，o ，b s 臺(tái) ：= 爭(zhēng)| 7 q + 盧，( o _ p q ，6 妒蘆 】p 則p 是s 上的半環(huán)同余 證明p 的自反性和對(duì)稱性顯然成立 下證p 的傳遞性o s 。，b 部，c 品，若( o ，砩e “( b ，c ) p ，則孔，p d ， 口+ 反 p + ，使( n 妒。，印口，。) ，( 卻口。n ，) e 加，由于 p 。陋d ) 滿足條件( a ) ，所以我們 有 ( ( d 。) 釓。+ ，( 卻盧，。) ，。+ ，) 扣，( ( 和盧r ) l p “u + r ，( 印 ) 妒w ) 押 1 4 即 ( o 妒n ，u + 一，6 妒蘆，u + p ) p u + v ，( 6 妒聲u + p ，c 妒1 ，u + v ) p u + p 因而有( o 妒+ ，c l p + ，) m 而u + p 陋+ 盧) + 歸+ 1 ) 蘭a + 7 ，所以a p c ，即傳遞 性成立進(jìn)而，p 為等價(jià)關(guān)系 再證p 是保持乘法相容v a