自動(dòng)控制原理（北航）電子教案 第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法(第14講).doc

第14講 第5章 線性系統(tǒng)的頻域分析法Frequency-response analysis5.1頻率特性及其表示法5.2典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線的繪制5.3極坐標(biāo)圖(Polar plot)，幅相頻率特性曲線，奈奎斯特曲線5.3.1積分與微分因子5.3.2一階因子5.3.3二階因子5.3.4傳遞延遲5.4對數(shù)幅-相圖(Nichols Chart)尼柯爾斯圖5.5奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stability Criterion)5.5.1預(yù)備知識(shí)5.5.2影射定理5.5.3影射定理在閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用5.5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)5.5.5關(guān)于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的幾點(diǎn)說明5.5.6含有位于上極點(diǎn)和/或零點(diǎn)的特殊情況5.6穩(wěn)定性分析*5.6.1條件穩(wěn)定系統(tǒng)*5.6.2多回路系統(tǒng)*5.6.3應(yīng)用于逆極坐標(biāo)圖上的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)*5.6.4利用改變的奈奎斯特軌跡分析相對穩(wěn)定性5.7相對穩(wěn)定性5.7.1通過保角變換進(jìn)行相對穩(wěn)定性分析5.7.2相位裕度和增益裕度例5-8 一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中均為正值。為使系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)增益與時(shí)間常數(shù)之間滿足什么關(guān)系？解 ：此式太復(fù)雜利用上式直接令虛部為零即可。虛部為零與負(fù)實(shí)軸相交于畫出一半利用對稱性畫出另一半。 圖5-45b 例5-8 題的極坐標(biāo)圖圖5-46 的極坐標(biāo)圖圖-46所示為3種具有不同開環(huán)增益值的極坐標(biāo)圖。對于大的K值，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)增益減小到一定值時(shí)，的軌跡通過點(diǎn)。對于小的K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一般來說，的軌跡越接近與包圍-1+j0點(diǎn)，系統(tǒng)響應(yīng)的震蕩性越大。因此，的軌跡對點(diǎn)的靠近程度，可以用來度量穩(wěn)定裕量(對條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用)。在實(shí)際系統(tǒng)中常用相位裕量和增益裕量表示。Positive Gain MarginPositive Phase Margin-11Negative Gain MarginNegative Phase Margin-11Stable SystemUnstable System圖5-47 穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)的相位裕度和幅值裕度j相位裕度、相角裕度(Phase Margin)設(shè)系統(tǒng)的截止頻率(Gain cross-over frequency)為定義相角裕度為相角裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。當(dāng) 時(shí)，相位裕量相位裕度為正值；當(dāng)時(shí)，相位裕度為負(fù)值。為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕度必須為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點(diǎn)為0分貝和-180度。k增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)設(shè)系統(tǒng)的穿越頻率(Phase cross-over frequency)，定義幅值裕度為幅值裕度的含義是，對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)幅頻特性再增大倍，則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。若以分貝表示，則有當(dāng)增益裕度以分貝表示時(shí)，如果，則增益裕度為正值；如果，則增益裕度為負(fù)值。正增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度(以分貝表示)表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)較少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無窮大，因?yàn)檫@類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸不相交。因此，理論上一階或二階系統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說只能是近似的，因?yàn)樵谕茖?dǎo)系統(tǒng)方程時(shí)，忽略了一些小的時(shí)間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果計(jì)及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。5.7.3關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點(diǎn)說明 控制系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對-1+j0點(diǎn)靠近程度的度量。因此，這兩個(gè)裕度可以用來作為涉及準(zhǔn)則。 只用增益裕度和相位裕度，都不足以說明系統(tǒng)的的相對穩(wěn)定性。為了確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時(shí)給出這兩個(gè)量。 對于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的影響，并且指明了頻率值。為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在之間，增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6分貝。例5-9 已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。試求：K=1時(shí)系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度。解： 即 在處的開環(huán)對數(shù)幅值為根據(jù)K=1時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可以求出截止頻率(Gain cross-over frequency)為 由題意知 驗(yàn)證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)的要求，則得： 不難看出，就能同時(shí)滿足相位裕度和增益裕度的要求。圖5-48 例5-9的幅值裕度和相位裕度示意圖例5-10 已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖5-49所示（最小相位系統(tǒng)）。試求：j所示所示單位反饋系統(tǒng)已知已知已知已知例5-11 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統(tǒng))。j寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)k判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性l如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖5-50 最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性解：j由圖得k由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過計(jì)算相位裕度是否大于零來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知。在處則得0 系統(tǒng)穩(wěn)定l單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為5.7.4諧振峰值幅值和諧振峰值頻率 (5-22)令 (5-23) (5-24)或 (5-25)，時(shí)有最小值有最大值，這個(gè)最大值稱為諧振峰值，用表示。 (5-26)諧振頻率5.7.5標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中階躍瞬態(tài)響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系書上例5-13p203在圖3-8所示的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超調(diào)量可以精確地與頻率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性信息與在瞬態(tài)響應(yīng)中包含的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性信息是相同的。設(shè)為截止頻率，則有 根據(jù)相位裕度的定義 上式說明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。圖5-51標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系相位裕度與阻尼比直接相關(guān)。圖5-51表示了相位裕度與阻尼比的函數(shù)關(guān)系。對于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系近似地用直線表示如下：因此，相位裕度相當(dāng)于阻尼比。對于具有一對主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)，當(dāng)根據(jù)頻率響應(yīng)估計(jì)瞬態(tài)響應(yīng)中的相對穩(wěn)定性（即阻尼比）時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以應(yīng)用這個(gè)公式。 對于小的阻尼比，諧振頻率與阻尼自然頻率的值幾乎是相同的。因此，對于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度。圖5-52 標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的關(guān)系曲線的值越小和的值越大。和與之間的函數(shù)關(guān)系如圖5-52所示?？梢钥闯觯?dāng)時(shí)，和之間存在相近的關(guān)系。對于很小的值將變得很大，而卻不會(huì)超過1。5.7.6一般系統(tǒng)中階躍瞬態(tài)響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系5.7.7截止頻率與帶寬(Cutoff frequency and bandwidth)圖5-53 截止頻率與系統(tǒng)帶寬參看圖5-53，當(dāng)閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值下降到零頻率值以下3分貝時(shí)，對應(yīng)的頻率稱為截止頻率。，對于的系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信號(hào)分量，但是可以使頻率低于截止頻率的信號(hào)分量通過。閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于-3分貝時(shí)，對應(yīng)的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬。帶寬表示了這樣一個(gè)頻率，從此頻率開始，增益將從其低頻時(shí)的幅值開始下降。因此，帶寬表示了系統(tǒng)跟蹤正弦輸入信號(hào)的能力。對于給定的，上升時(shí)間隨著阻尼比的增加而增大。另一方面，帶寬隨著的增加而減小。因此，上升時(shí)間與帶寬之間成反比關(guān)系。帶寬指標(biāo)取決于下列因素：1、對輸入信號(hào)的再現(xiàn)能力。大的帶寬相應(yīng)于小的上升時(shí)間，即相應(yīng)于快速特性。粗略地說，帶寬與響應(yīng)速度成反比。2、對高頻噪聲必要的濾波特性。為了使系統(tǒng)能夠精確地跟蹤任意輸入信號(hào)，系統(tǒng)必須具有大的帶寬。但是，從噪聲的觀點(diǎn)來看，帶寬不應(yīng)當(dāng)太大。門不能太大不然的話，什么東西都進(jìn)來了因此，對帶寬的要求是矛盾的，好的設(shè)計(jì)通常需要折衷考慮。具有大帶寬的系統(tǒng)需要高性能的元件，因此，元件的成本通常隨著帶寬的增加而增大。一階系統(tǒng)的帶寬為其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。二階系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為 因?yàn)?，由帶寬的定義得于是 5.7.8剪切率5.8閉環(huán)頻率響應(yīng)5.8.1單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)5.8.2等幅值軌跡(M圓)5.8.3等相角軌跡(N圓)5.8.4尼柯爾斯圖5.8.5非單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)5.8.6增益的調(diào)整5.9傳遞函數(shù)的實(shí)驗(yàn)確定法第六章 控制系統(tǒng)的校正在前面幾章中。討論了控制系統(tǒng)幾種基本方法。掌握了這些基本方法，就可以對控制系統(tǒng)進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算。本章討論另一命題，即如何根據(jù)系統(tǒng)預(yù)先給定的性能指標(biāo)，去設(shè)計(jì)一個(gè)能滿足性能要求的控制系統(tǒng)?；谝粋€(gè)控制系統(tǒng)可視為由控制器