（試題 試卷 真題）【步步高 通用（理）】2014屆高三《考前三個月》專題復習篇【配套Word版文檔】專題一 第四講

第四講轉(zhuǎn)化與化歸思想1轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而使問題得到解決的一種數(shù)學方法一般是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題2轉(zhuǎn)化與化歸思想是實現(xiàn)具有相互關(guān)聯(lián)的兩個知識板塊進行相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，如函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、數(shù)與形、式與數(shù)、角與邊、空間與平面、實際問題與數(shù)學問題的互化等，消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法等都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，我們也經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進行等價轉(zhuǎn)化，在復習過程中應注意相近主干知識之間的互化，注重知識的綜合性3轉(zhuǎn)化與化歸思想的原則(1)熟悉已知化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，以便于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決(2)簡單化原則：將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，如三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題，通過簡單問題的解決思路和方法，獲得對復雜問題的解答啟示和思路以達到解決復雜問題的目的(3)具體化原則：化歸方向應由抽象到具體(4)和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們的思維規(guī)律(5)正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，應想到問題的反面；或問題的正面較復雜時，其反面一般是簡單的；設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲得解決1 (2012北京)已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和若a1，S2a3，則a2_.答案1解析設(shè)出等差數(shù)列的公差，列方程求解設(shè)an的公差為d，由S2a3知，a1a2a3，即2a1da12d，又a1，所以d，故a2a1d1.2 (2013重慶)4cos 50tan 40等于()A. B. C. D21答案C解析4cos 50tan 40.3 (2012重慶)已知alog23log2，blog29log2，clog32，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcCabbc答案B解析alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函數(shù)ylogax(a1)為增函數(shù)，alog23log221，clog32c.4 (2011天津)對實數(shù)a和b，定義運算“”：ab設(shè)函數(shù)f(x)(x22)(x1)，xR.若函數(shù)yf(x)c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是()A(1,1(2，) B(2，1(1,2C(，2)(1,2 D2，1答案B解析依題意可得f(x)作出其示意圖如圖所示由數(shù)形結(jié)合知，實數(shù)c需有1c2或2c1，故選B.5 (2013山東)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為()A0 B1 C. D3答案B解析由已知得zx23xy4y2(*)則1，當且僅當x2y時取等號，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.題型一特殊與一般的轉(zhuǎn)化例1(1)，(其中e為自然常數(shù))的大小關(guān)系是()A. B.C. D.(2)在定圓C：x2y24內(nèi)過點P(1,1)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則的范圍是_審題破題(1)觀察幾個數(shù)的共同特征，可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)的大??；(2)由于題目條件中過點P(1,1)可作無數(shù)對互相垂直的直線，因此可取特殊位置的兩條直線來解決問題答案(1)A(2)解析(1)由于，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)，于是f(4)，f(5)，f(6).而f(x)，令f(x)0得x0或x2，即函數(shù)f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，因此有f(4)f(5)f(6)，即.(2)設(shè)t，考慮特殊情況：當AB垂直O(jiān)P時，MN過點O，|AB|最小，|MN|最大，所以t最小，t最大.所以t.又因為t2 2，所以t.反思歸納當問題難以入手時，應先對特殊情況或簡單情形進行觀察、分析，發(fā)現(xiàn)問題中特殊的數(shù)量或關(guān)系結(jié)構(gòu)或部分元素，然后推廣到一般情形，以完成從特殊情形的研究到一般問題的解答的過渡，這就是特殊化的化歸策略數(shù)學題目有的具有一般性，有的具有特殊性，解題時，有時需要把一般問題化歸為特殊問題，有時需要把特殊問題化歸為一般問題變式訓練1已知等差數(shù)列an的公差d0，且a1、a3、a9成等比數(shù)列，則的值是_答案解析由題意知，只要滿足a1、a3、a9成等比數(shù)列的條件，an取何種等差數(shù)列與所求代數(shù)式的值是沒有關(guān)系的因此，可把抽象數(shù)列化歸為具體數(shù)列比如，可選取數(shù)列ann(nN*)，則.題型二正難則反轉(zhuǎn)化例2若對于任意t1,2，函數(shù)g(x)x3x22x在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_審題破題函數(shù)總不為單調(diào)函數(shù)不易求解，可考慮其反面情況：g(x)在區(qū)間(t,3)上為單調(diào)函數(shù)答案m5解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù)，則g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t,3)上恒成立，m43t恒成立，則m41，即m5；由得m43x在x(t,3)上恒成立，則m49，即m.函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為m5.反思歸納正難則反，利用補集求得其解，這就是補集思想一般有兩種情形：正面解決比較困難，正面出現(xiàn)多種情形，可考慮從反面解決，體現(xiàn)了對立統(tǒng)一，相互轉(zhuǎn)化的思想變式訓練2(2012北京)已知f(x)m(x2m)(xm3)，g(x)2x2，若xR，f(x)0或g(x)0，則m的取值范圍是_答案(4,0)解析將問題轉(zhuǎn)化為g(x)0的解集的補集是f(x)0的解集的子集求解g(x)2x20，x1.又xR，f(x)0或g(x)0，1，)是f(x)0的解集的子集又由f(x)m(x2m)(xm3)0知m不可能大于等于0，因此m0.當m0時，f(x)0，若2mm3，即m1，此時f(x)m3，即1m0，此時f(x)2m或xm3，依題意2m1，即1m0；若2mm3，即m1，此時f(x)0的解集為x|xm3，依題意m34，4m1.綜上可知，滿足條件的m的取值范圍是4m0，求證：ln aln b1.審題破題(1)求函數(shù)的極值可通過求導、列表的方法；(2)證明不等式可以觀察式子和題中函數(shù)的關(guān)系，借助函數(shù)的極值進行求證(1)解f(x)(x1)由f(x)0，得x0.列表如下x(1,0)0(0，)f(x)0f(x)極小值由上表可知，x0時f(x)取得極小值f(0)0.(2)證明在x0時，f(x)取得極小值，而且是最小值，于是f(x)f(0)0，從而ln(1x)在x1時恒成立，令1x0，則11，ln aln bln 1.因此ln aln b1在a0，b0時成立反思歸納函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍變式訓練3已知函數(shù)f(x)eln x，g(x)f(x)(x1)(e2.718)(1)求函數(shù)g(x)的極大值；(2)求證：1ln(n1)(nN*)(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x0)令g(x)0，解得0x1；令g(x)1.函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，g(x)極大值g(1)2.(2)證明由(1)知x1是函數(shù)g(x)的極大值點，也是最大值點，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(當且僅當x1時等號成立)，令tx1，得tln(t1)，取t(nN*)，則lnln，1ln 2，ln ，ln ，ln，疊加得1ln(2)ln(n1). 典例(12分)已知函數(shù)f(x)x3x2x(a是小于1的正實數(shù)，xR)若對于任意的三個實數(shù)x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍規(guī)范解答解因為f(x)x2x(xa2)，所以令f(x)0，解得x1，x22a.2分由0a1，知12a0，得x2a；令f(x)0，得x2a，所以函數(shù)f(x)在(1,2a)上單調(diào)遞減，在(2a,2)上單調(diào)遞增5分所以函數(shù)f(x)在1,2上的最小值為f(2a)(2a)2，最大值為maxf(1)，f(2)max.因為當0a時，a；當a，由對任意x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得2f(x)minf(x)max(x1,2)7分所以當0，結(jié)合0a可解得1a；9分當aa，結(jié)合a1可解得a2.11分綜上，知所求實數(shù)a的取值范圍是1a2.12分評分細則(1)求出f(x)給1分；(2)討論時將a的范圍分為0a和a1一樣給分；討論時a的值有重、漏情況扣1分；(3)“綜上”結(jié)論不寫扣1分閱卷老師提醒將已知不等式恒成立準確轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)f(x)在1,2上的最大值和最小值問題是解決本題的一個突破口此外，要注意函數(shù)f(x)在1,2上的最大值不能直接由函數(shù)的圖象得到，而必須討論f(1)與f(2)的大小關(guān)系1 設(shè)P為曲線C：yx22x3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為()A. B1,0C0,1 D.答案A解析設(shè)P(x0，y0)，傾斜角為，0tan 1，f(x)x22x3，f(x)2x2,02x021，1x0，故選A.2 設(shè)a(sin 17cos 17)，b2cos2131，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()Acab BacbCbac Dcba答案A解析asin(1745)sin 62，bcos 26sin 64，csin 60，cab.3 方程sin2xcos xk0有解，則k的取值范圍是()A1k Bk0C0k Dk1答案D解析求ksin2xcos x的值域kcos2xcos x1(cos x)2.當cos x時，kmin，當cos x1時，kmax1，k1，故選D.4 在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是_答案(13,13)解析由題設(shè)得，若圓上有四個點到直線的距離為1，則需圓心(0,0)到直線的距離d滿足0d1.d，0|c|0的最小正整數(shù)n為()A7 B8 C9 D10答案B解析an為等差數(shù)列，S130，a1a132a70，又a1120的最小正整數(shù)n為8.3 AB是過拋物線x24y的焦點的動弦，直線l1，l2是拋物線兩條分別切于A，B的切線，則l1，l2的交點的縱坐標為()A1 B4 C D答案A解析找特殊情況，當ABy軸時，AB的方程為y1，則A(2，1)，B(2,1)，過點A的切線方程為y1(x2)，即xy10.同理，過點B的切線方程為xy10，則l1，l2的交點為(0，1)4 (2012浙江)若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是()A. B. C5 D6答案C解析x0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)2 5(當且僅當x2y時取等號)，3x4y的最小值為5.5 棱長為a的正方體中，連接相鄰面的中心，以這些線段為棱的八面體的體積為()A. B. C. D.答案C解析所得圖形為一個正八面體，可將它分割為兩個四棱錐，棱錐的底面為正方形且邊長為a，高為正方體邊長的一半，V22.6 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使()0，O為坐標原點，且|，則該雙曲線的離心率為()A.1 B.C. D.答案A解析如圖，取F2P的中點M，則2.又由已知得0，.又OM為F2F1P的中位線，.在PF1F2中，2a|(1)|，2c2|.e1.7 已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1，2)，若P(X2)0.72，則P(X0)等于()A0.22 B0.28 C0.36 D0.64答案B解析XN(1，2)，P(X0)P(X2)1P(X2)10.720.28.8 已知函數(shù)f(x)1x，g(x)1x，設(shè)F(x)f(x4)g(x4)，且函數(shù)F(x)的零點在區(qū)間a1，a或b1，b(a0，x1時，f(x)2 0130.f(x)在R上單調(diào)遞增又f(0)1，f(1)(11)0，f(x)在1,0內(nèi)有唯一零點，故f(x4)的唯一零點在5，4內(nèi)同理g(x4)的唯一零點在5,6內(nèi)，因此，b6，a4，ab2.二、填空題9 設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若f(1axx2)f(2a)對任意a1,1恒成立，則x的取值范圍為_答案x1或x0解析f(x)在R上是增函數(shù)，由f(1axx2)f(2a)可得1axx22a，a1,1a(x1)x210，對a1,1恒成立令g(a)(x1)ax21.則當且僅當g(1)x2x20，g(1)x2x0，解之，得x0或x1.故實數(shù)x的取值范圍為x1或x0.10在RtABC中，C，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，r，S分別表示它的內(nèi)切圓半徑和面積，則的取值范圍是_答案22,1)解析由題意，得Sabc2sin Asin B，r(abc)c(sin Asin B1)，從而，設(shè)sin Asin Bt，則sin Asin B(t21)，因為AB，所以tsin Asin Bsin(1，所以的取值范圍是22,1)11 如果函數(shù)f(x)x2ax2在區(qū)間