郭碩鴻《電動(dòng)力學(xué)》課后習(xí)題答案.doc

郭碩鴻電動(dòng)力學(xué)課后答案電動(dòng)力學(xué)答案第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1. 根據(jù)算符的微分性與向量性，推導(dǎo)下列公式：解：（1）（2）在（1）中令得：，所以 即 2. 設(shè)是空間坐標(biāo)的函數(shù)，證明： ， ， 證明：（1）（2）（3） 3. 設(shè)為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。（1）證明下列結(jié)果，并體會(huì)對(duì)源變量求微商與對(duì)場(chǎng)變量求微商的關(guān)系： ； ； ； ， 。（2）求 ， ， ， ，及 ，其中、及均為常向量。（1）證明： 可見(jiàn) 可見(jiàn) ， （2）解： 因?yàn)?，為常向量，所以?，又， 為常向量，而，所以 4. 應(yīng)用高斯定理證明，應(yīng)用斯托克斯（Stokes）定理證明證明：（I）設(shè)為任意非零常矢量，則根據(jù)矢量分析公式 ，令其中，便得所以 因?yàn)槭侨我夥橇愠Ｏ蛄浚裕↖I）設(shè)為任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得 （1）（1）式左邊為： （2）（1）式右邊為： （3）所以 （4）因?yàn)闉槿我夥橇愠Ｏ蛄浚?. 已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 ，利用電荷守恒定律證明p的變化率為：證明：方法（I）因?yàn)榉忾]曲面S為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這邊界，故， 同理 ， 所以 方法（II）根據(jù)并矢的散度公式得：6. 若m是常向量，證明除點(diǎn)以外，向量的旋度等于標(biāo)量的梯度的負(fù)值，即，其中R為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，方向由原點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)。證明：其中 ， （） ， （）又 所以，當(dāng)時(shí)，7. 有一內(nèi)外半徑分別為和的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求：（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解：（1）設(shè)場(chǎng)點(diǎn)到球心距離為。以球心為中心，以為半徑作一球面作為高斯面。由對(duì)稱性可知，電場(chǎng)沿徑向分布，且相同處場(chǎng)強(qiáng)大小相同。當(dāng)時(shí)， 。當(dāng)時(shí)， ， ，向量式為 當(dāng)時(shí)， 向量式為 （2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，8. 內(nèi)外半徑分別為和的無(wú)窮長(zhǎng)中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流，導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：（1）以圓柱軸線上任一點(diǎn)為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設(shè)其半徑為。由對(duì)稱性可知，磁場(chǎng)在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。當(dāng) 時(shí)，由安培環(huán)路定理得：當(dāng) 時(shí)，由環(huán)路定理得：所以 ， 向量式為 當(dāng) 時(shí)，所以 ， 向量式為 （2）當(dāng) 時(shí)，磁化強(qiáng)度為所以 在 處，磁化面電流密度為在 處，磁化面電流密度為向量式為 9. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。證明：在均勻介質(zhì)中 所以 10. 證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反(但兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)證明: 線圈1在線圈2的磁場(chǎng)中受的力:,而 ， (1)同理可得線圈2在線圈1的磁場(chǎng)中受的力： (2)(1)式中：同理(2)式中： 11. 平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為和，電容率為和，今在兩板接上電動(dòng)勢(shì)為E 的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度和；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。(若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為和 當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩物體的結(jié)果如何？)解：忽略邊緣效應(yīng)，平行板電容器內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)方向垂直于極板，且介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)分段均勻，分別設(shè)為和，電位移分別設(shè)為和，其方向均由正極板指向負(fù)極板。當(dāng)介質(zhì)不漏電時(shí)，介質(zhì)內(nèi)沒(méi)有自由電荷，因此，介質(zhì)分界面處自由電荷面密度為取高斯柱面，使其一端在極板A內(nèi)，另一端在介質(zhì)1內(nèi)，由高斯定理得：同理，在極板B內(nèi)和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：在介質(zhì)1和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得：所以有 ， 由于 E 所以 E 當(dāng)介質(zhì)漏電時(shí)，重復(fù)上述步驟，可得：， ， 介質(zhì)1中電流密度 介質(zhì)2中電流密度 由于電流恒定，再由 E 得E E EEE12.證明：（1）當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。（2）當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場(chǎng)線的曲折滿足其中和分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。證明：（1）由的切向分量連續(xù)，得 （1）交界面處無(wú)自由電荷，所以的法向分量連續(xù)，即 （2）（1）、（2）式相除，得（2）當(dāng)兩種電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)由的法向分量連續(xù)，得 （3）（1）、（3）式相除，即得13.試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：（1）設(shè)導(dǎo)體外表面處電場(chǎng)強(qiáng)度為，其方向與法線之間夾角為，則其切向分量為。在靜電情況下，導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零，由于在分界面上的切向分量連續(xù)，所以因此 即只有法向分量，電場(chǎng)線與導(dǎo)體表面垂直。（2）在恒定電流情況下，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)表面處電場(chǎng)方向與導(dǎo)體表面夾角為，則電流密度與導(dǎo)體表面夾角也是。導(dǎo)體外的電流密度，由于在分界面上電流密度的法向分量連續(xù)，所以因此 即只有切向分量，從而只有切向分量，電場(chǎng)線與導(dǎo)體表面平行。14.內(nèi)外半徑分別為a和b的無(wú)限長(zhǎng)圓柱形電容器，單位長(zhǎng)度荷電為，板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。（1）證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無(wú)磁場(chǎng)。（2）求隨時(shí)間的衰減規(guī)律。（3）求與軸相距為的地方的能量耗散功率密度。（4）求長(zhǎng)度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：（1）以電容器軸線為軸作一圓柱形高斯面，其半徑為r，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，其中則由高斯定理得： （1）所以 ， （2）再由電流連續(xù)性方程得： （3）所以 （4）即與嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無(wú)磁場(chǎng)。（2）由 得： （5）聯(lián)立（2）（4）（5）得 （6）所以 （7）設(shè)初始條件為 ，則由（7）式得所以， （8）（3） （9）（4） 將上式在長(zhǎng)度為l的一段介質(zhì)內(nèi)積分，得 （10）由 得：所以 （11）由（6）（10）（11）得 ：即總的能量耗散功率等于這段介質(zhì)的靜電能減少率。第二章 靜電場(chǎng)1. 一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為，電容率為。（1）計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計(jì)算自由電荷體密度；（3）計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)；（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。解：（1）（2）（3）（4）2. 在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì)：（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢(shì)差；（2）導(dǎo)體球上帶總電荷解：（1）該問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸為通過(guò)球心沿外電場(chǎng)方向的軸線，取該軸線為極軸，球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。當(dāng)時(shí)，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程，通解為因?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)處 ，所以 ，當(dāng) 時(shí)，所以 即： 所以 （2）設(shè)球體待定電勢(shì)為，同理可得當(dāng) 時(shí)，由題意，金屬球帶電量所以 3. 均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷，球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢(shì)，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷的電勢(shì)與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。解：（一）分離變量法空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷的電勢(shì)與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)的迭加。設(shè)極化電荷產(chǎn)生的電勢(shì)為，它滿足拉普拉斯方程。在球坐標(biāo)系中解的形式為：當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，為有限，。所以 ， 由于球?qū)ΨQ性，電勢(shì)只與R有關(guān)，所以 ， 所以空間各點(diǎn)電勢(shì)可寫(xiě)成當(dāng)時(shí)，由 得： 由 得：，則 所以 （二）應(yīng)用高斯定理在球外，RR0 ，由高斯定理得：，（整個(gè)導(dǎo)體球的束縛電荷），所以 ，積分后得： 在球內(nèi)，R）置一點(diǎn)電荷，試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。解：以球心為原點(diǎn)，以球心到點(diǎn)電荷的連線為極軸建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)電勢(shì)看作由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯方程?？紤]到對(duì)稱性，與無(wú)關(guān)。由于時(shí)，為有限值，所以球內(nèi)的解的形式可以寫(xiě)成 （1）由于時(shí)，應(yīng)趨于零，所以球外的解的形式可以寫(xiě)成 （2）由于 （3）當(dāng)時(shí)， （4）當(dāng)時(shí)， （5）因?yàn)閷?dǎo)體球接地，所以 （6） （7）將（6）代入（4）得: （8）將（7）代入（5）并利用（8）式得: （9）將（8）（9）分別代入（4）（5）得: （10）, （11）用鏡像法求解：設(shè)在球內(nèi)r0處的像電荷為Q。由對(duì)稱性，Q在球心與Qf的連線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢(shì)為0，可得：（解略）， 所以空間的電勢(shì)為 9. 接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為和，在球內(nèi)離球心為a處(a a），試用電象法求空間電勢(shì)。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無(wú)限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個(gè)模型，可確定三個(gè)鏡像電荷的電量和位置。，；，；，所以12. 有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所 圍成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b， 求空間電勢(shì)。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個(gè)象電荷來(lái)代替兩導(dǎo)體板的作用。 13. 設(shè)有兩平面圍成的直角形無(wú)窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為的液體。取該兩平面為xz面和yz面在和兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I，求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點(diǎn)間建立電場(chǎng)，使溶液中的載流子運(yùn)動(dòng)形成電流I，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，屬恒定場(chǎng)，即，。對(duì)于恒定的電流，可按靜電場(chǎng)的方式處理。于是在A點(diǎn)取包圍A的高斯面，則，由于，所以 可得： 。同理，對(duì)B點(diǎn)有： 又，在容器壁上, ，即無(wú)電流穿過(guò)容器壁。由可知，當(dāng)時(shí)，。所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個(gè)像電荷Q，下半空間三個(gè)像電荷 -Q，容器內(nèi)的電勢(shì)分布為：14. 畫(huà)出函數(shù)的圖，說(shuō)明是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。解：（1）1）時(shí)，2）時(shí)，a) 對(duì)于，b) 對(duì)于，圖象如右圖所示。其中第一項(xiàng)為：應(yīng)用，即，可得： (x=0)同理可得另外兩項(xiàng)分別為及，所以，,即 p是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。15. 證明：（1） ，（若，結(jié)果如何？）（2）證明：1) 顯然，當(dāng)時(shí)，成立；又所以在全空間成立。若，即，所以在全空間成立。2) 由的選擇性證明。，而 ，進(jìn)而16. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜電勢(shì)為，另外根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表為，試證明以上兩表達(dá)式是等同的。 證明：由第一種表達(dá)式得，所以，兩表達(dá)式是等同的。實(shí)際上，繼續(xù)推演有：剛好是極化體電荷的總電勢(shì)和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢(shì)之和。17. 證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的變化。（1）在面電荷兩側(cè)，電勢(shì)法向微商有躍變，而電勢(shì)是連續(xù)的。（2）在面偶極層兩側(cè)，電勢(shì)有躍變，而電勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。（各帶等量正負(fù)面電荷密度而靠的很近的兩個(gè)面，形成面偶極層，而偶極矩密度）證明：1）如圖，由高斯定理可得：，即，電勢(shì)是連續(xù)的，但是， 1 +即，電勢(shì)法向微商有躍變 n E l2）如圖，由高斯定理可得： 2 z又 ，即電勢(shì)的法向微商是連續(xù)的。18. 一個(gè)半徑為R0 的球面，在球坐標(biāo)的半球面上電勢(shì)為在的半球面上電勢(shì)為，求空間各點(diǎn)電勢(shì)。提示：，解：由題意，球內(nèi)外電勢(shì)均滿足拉普拉斯方程：；球內(nèi)電勢(shì)在時(shí)為有限，球外電勢(shì)在時(shí)為0，所以通解形式為： ， 。在球面上，即 將按球函數(shù)展開(kāi)為廣義傅立葉級(jí)數(shù)，則 ，下面求。由于，所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，至此，可寫(xiě)出球內(nèi)外的電勢(shì)為第三章 靜磁場(chǎng)1. 試用表示一個(gè)沿z方向的均勻恒定磁場(chǎng)，寫(xiě)出的兩種不同表示式，證明二者之差為無(wú)旋場(chǎng)。解：是沿 z 方向的均勻恒定磁場(chǎng)，即 ，由矢勢(shì)定義得；三個(gè)方程組成的方程組有無(wú)數(shù)多解，如：， 即：；， 即：解與解之差為則這說(shuō)明兩者之差是無(wú)旋場(chǎng)2. 均勻無(wú)窮長(zhǎng)直圓柱形螺線管，每單位長(zhǎng)度線圈匝數(shù)為n，電流強(qiáng)度I，試用唯一性定理求管內(nèi)外磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：根據(jù)題意，取螺線管的中軸線為 z 軸。本題給定了空間中的電流分布，故可由 求解磁場(chǎng)分布，又 J 只分布于導(dǎo)線上，所以 dl1)螺線管內(nèi)部：由于螺線管是無(wú)限長(zhǎng) r理想螺線管，所以其內(nèi)部磁場(chǎng)是 O z均勻強(qiáng)磁場(chǎng)，故只須求出其中軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即可知道管內(nèi)磁場(chǎng)。由其無(wú)限長(zhǎng)的特性，不 I妨取場(chǎng)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系。， 取的一小段，此段上分布有電流2)螺線管外部：由于螺線管無(wú)限長(zhǎng)，不妨就在過(guò)原點(diǎn)而垂直于軸線的平面上任取一點(diǎn)為場(chǎng)點(diǎn)，其中。 3. 設(shè)有無(wú)限長(zhǎng)的線電流I沿z軸流動(dòng)，在z0區(qū)域?yàn)檎婵眨囉梦ㄒ恍远ɡ砬蟠鸥袘?yīng)強(qiáng)度，然后求出磁化電流分布。解：設(shè)z0區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度為，；z0)；，(z0)。在介質(zhì)中 所以，介質(zhì)界面上的磁化電流密度為：總的感應(yīng)電流：，電流在 z0 區(qū)域內(nèi)，沿 z 軸流向介質(zhì)分界面。4. 設(shè)x0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流分布。解：假設(shè)本題中的磁場(chǎng)分布仍呈軸對(duì)稱，則可寫(xiě)作它滿足邊界條件：及。由此可得介質(zhì)中：由 得：在x0 的介質(zhì)中 ，則： 再由 可得，所以， （沿 z 軸）5. 某空間區(qū)域內(nèi)有軸對(duì)稱磁場(chǎng)。在柱坐標(biāo)原點(diǎn)附近已知，其中為常量。試求該處的。提示：用，并驗(yàn)證所得結(jié)果滿足。解：由于B具有對(duì)稱性，設(shè)， 其中 ，即：，（常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，為有限，所以 ；，即： （1）因?yàn)椋?，即 （2）直接驗(yàn)證可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c為常數(shù))6. 兩個(gè)半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個(gè)線圈上載有同方向的電流I。（1）求軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度。（2）求在中心區(qū)域產(chǎn)生最接近于均勻常常時(shí)的L和a的關(guān)系。提示：用條件解：1） 由畢薩定律，L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為， 同理，-L 處線圈在軸線上 z 處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，。所以，軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度： （1）2）因?yàn)?，所以 ；又因?yàn)椋?，。代入（1）式并化簡(jiǎn)得： 將 z=0 帶入上式得：， 7. 半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢(shì)的微分方程。設(shè)導(dǎo)體的磁導(dǎo)率為，導(dǎo)體外的磁導(dǎo)率為。解：矢勢(shì)所滿足的方程為： 自然邊界條件：時(shí)，有限。邊值關(guān)系：；選取柱坐標(biāo)系，該問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，且解與 z 無(wú)關(guān)。令，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由 得：，由 并令其為零，得：，。；8. 假設(shè)存在磁單極子，其磁荷為，它的磁場(chǎng)強(qiáng)度為。給出它的矢勢(shì)的一個(gè)可能的表示式，并討論它的奇異性。解：由 得： (1) 令 ,得: , (2)顯然 滿足(1) 式，所以磁單極子產(chǎn)生的矢勢(shì)討論： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的表達(dá)式在具有奇異性，此時(shí)不合理。9. 將一磁導(dǎo)率為，半徑為的球體，放入均勻磁場(chǎng)內(nèi)，求總磁感應(yīng)強(qiáng)度和誘導(dǎo)磁矩m。(對(duì)比P49靜電場(chǎng)的例子。)解：根據(jù)題意，以球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)，取H0的方向?yàn)椋饲蝮w被外加磁場(chǎng)磁化后，產(chǎn)生一個(gè)附加磁場(chǎng)，并與外加均勻場(chǎng)相互作用，最后達(dá)到平衡，呈現(xiàn)軸對(duì)稱。本題所滿足的微分方程為： （1）自然邊界條件：為有限；。銜接條件：在處滿足 及 由自然邊界條件可確定方程組（1）的解為：； 由兩個(gè)銜接條件，有：比較的系數(shù)，解得：； ，即：，（），（）在R0 的空間中是金屬導(dǎo)體，電磁波由 z0 的空間中垂直于導(dǎo)體表面入射。已知導(dǎo)體中電磁波的電場(chǎng)部分表達(dá)式是：于是，單位時(shí)間內(nèi)由 z=0 表面的單位面積進(jìn)入導(dǎo)體的能量為：，其中 S的平均值為 在導(dǎo)體內(nèi)部： 金屬導(dǎo)體單位體積消耗的焦耳熱的平均值為：作積分： 即得界面上單位面積對(duì)應(yīng)的導(dǎo)體中消耗的平均焦耳熱。又因?yàn)?，所以，原題得證。7. 已知海水的，Sm-1，試計(jì)算頻率為50，106和109Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度為：由于 ，所以，1） 當(dāng)Hz時(shí), m2） 當(dāng)Hz時(shí), m3） 當(dāng)Hz時(shí), mm8. 平面電磁波由真空傾斜入射到導(dǎo)電介質(zhì)表面上，入射角為。求導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的相速度和衰減長(zhǎng)度。若導(dǎo)電介質(zhì)為金屬，結(jié)果如何？提示：導(dǎo)電介質(zhì)中的波矢量，只有z分量。（為什么？）解：根據(jù)題意,取入射面為 xz 平面，z 軸沿分界面法線方向，如圖所示。設(shè)導(dǎo)體中的電磁波表示為： z而 k上式中滿足： （1） x （2） 根據(jù)邊界條件得： k1 k2 （3） （4），。將結(jié)果代入（1）、（2）得： （5） （6）解得：其相速度為：。衰減深度為：。如果是良導(dǎo)體，的實(shí)部與其虛部相比忽略，則：9. 無(wú)限長(zhǎng)的矩形波導(dǎo)管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導(dǎo)體平板完全封閉，求在到z=0這段管內(nèi)可能存在的波模。解：在此結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)管中，電磁波的傳播滿足亥姆霍茲方程：，電場(chǎng)的三個(gè)分量通解形式相同，均為：邊界條件為：在及兩平面：，在及兩平面：，在平面： ，由此可得：波數(shù)滿足：，（）振幅滿足：綜合上述各式，即得此種波導(dǎo)管中所有可能電磁波的解。10. 電磁波在波導(dǎo)管中沿z方向傳播，試使用及證明電磁場(chǎng)所有分量都可用及這兩個(gè)分量表示。證明：沿 z 軸傳播的電磁波其電場(chǎng)和磁場(chǎng)可寫(xiě)作：， 由麥?zhǔn)戏匠探M得：， 寫(xiě)成分量式： （1） （2） （3） （4） （5）由（2）（3）消去Hy 得：由（1）（4）消去Hx 得：由（1）（4）消去Ey 得：由（2）（3）消去Ex 得：11. 寫(xiě)出矩形波導(dǎo)管內(nèi)磁場(chǎng)滿足的方程及邊界條件。解：對(duì)于定態(tài)波，磁場(chǎng)為：由麥?zhǔn)戏匠探M，得：又所以，即為矩形波導(dǎo)管內(nèi)磁場(chǎng)H滿足的方程由 得：，利用和電場(chǎng)的邊界條件可得：邊界條件為：，12. 論證矩形波導(dǎo)管內(nèi)不存在T