2012-2103最全最精家教補課資料《二面角的求法》最后打印稿.doc

二面角的求法求二面角的常用方法有：三垂線定理作出平面角、距離法、定義法、公式法、垂面法、及法向量法（其中包含不假設(shè)空間坐標及建立空間坐標系再通過坐標運算這一“絕招”法-逼上絕路一招）一 、三垂線定理或逆定理法（最常用的方法），作二面角平面角的流程是：第一步：先定背景面（兩個半平面之一），找背景面的垂面（垂面必須容易找出，這是選對背景面的關(guān)鍵），在垂面中作兩垂直平面交線的垂線，這就作出了背景面的垂線。第二步：過垂足或另一半平面一點作二面角公共棱的垂線第三步：連接垂足和另一點，即得二面角的平面角整個流程簡稱為“先定背景面，作背景面的垂線，一作、一連”對于解答題必須要按“一作_二證_三求”進行，找出這個二面角的平面角之后，然后證明找出來的這個角是二面角的平面角，最后就通過解三角形來求。二、距離法（也叫“等積”法） 當選擇任意一個半平面為背景面，它的垂線都不好做出，我們就避開找垂線這一方法，只有求出等面積和等體積分別求出一個半平面一點到公共棱的距離和到另一平面的距離，就求出可以二面角的正弦值，從而求出二面角這個方法也叫“等積”法三、定義法：多用在求正棱錐兩側(cè)面所成二面角問題，或者兩半平面的兩個三角形全等， 此時直接在一個半平面的三角形作交線的垂線，再連接另一半平面三角形的頂點就得出了二面角，再解三角形即可四、公式法：設(shè)二面角的度數(shù)為，則多用于求無棱二面角，但在解答題需要作出交線，并給出簡單證明過程五、垂面法：當出現(xiàn)一個面和二面角的公共棱垂直是，與二面角兩半平面的交線所成角就是二面角的平面角六、法向量法：先找兩個平面的垂線，如果可以容易找出，這就是最高級的法向量法，否則進入了坐標運算那就運算就太繁瑣，并且很容易做錯，盡管思路特簡單，但一般不議使用，到迫不得已才用，所以這叫做絕招了被逼上絕路一招！最后這兩個平面所成的二面角的平面角為或。典例分析例1、過正方形ABCD的頂點A作PA面ABCD，設(shè)PA=AB=，求二面角的大小。例2、在正三棱錐SABC中，側(cè)棱長為8，底面邊長為4，求A-SB-C的大小例3如圖四邊形ABCDABEF,且ABCD是正方形，ABEF是矩形且AF=AD=，G是EF的中點，（1）求證：面AGC面BGC； （2）求GB與平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小例4. 在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90，且AC=BC=5，SB=5，（）證明：SCBC；（）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大??；例5:設(shè)P是二面角l內(nèi)一點，P到面、的距離PA、PB 分別為8和5，且AB7，求這個二面角的大小。例6.如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點。（1）求證AM/平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小例7如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=，M為棱A1A上的點，若A1C平面MB1D1。 （）確定點M的位置； （）求二面角D1MB1B的大小。CDEAB例8.四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的 大小的余弦值答案：例9: 如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD=60，N是PB中點，截面DAN交PC于M.（）求PB與平面ABCD所成角的大??；（）求證：PB平面ADMN；（）求以AD為棱，PAD與ADMN為面的二面角的大小.例10. 如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，BCD60，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小的正弦值.答案：正弦值是.無棱二面角的處理方法（1）找棱例11過正方形ABCD的頂點A作PA面ABCD，設(shè)PA=AB=， 求平面PAB與