高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.2.1直線的方向向量與平面的法向量學(xué)案蘇教版.docx

3.2.1直線的方向向量與平面的法向量1理解直線的方向向量和平面的法向量(重點)2會用待定系數(shù)法求平面的法向量(難點)3平面法向量的設(shè)法(易錯點)基礎(chǔ)初探教材整理1直線的方向向量閱讀教材P99上半部分，完成下列問題我們把直線l上的向量e(e0)以及與e共線的非零向量叫做直線l的方向向量已知直線l過A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a(2,0，x)是直線l的一個方向向量，則x_.【解析】(1,0,1)，由題意知，a，則存在實數(shù)，使a，即(2,0，x)(1,0,1)，即2，x2.【答案】2教材整理2平面的法向量閱讀教材P99中間部分，完成下列問題如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面，那么稱向量n垂直于平面，記作n.此時，我們把向量n叫做平面的法向量1平面內(nèi)一條直線l的方向向量為a(2,3，1)，平面的法向量為n(1,1，m)，則m_.【解析】易知an0，即23m0，解得m1.【答案】12已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，則平面ABC的法向量為_. 【導(dǎo)學(xué)號：09390079】【解析】設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則令x1，則y1，z0，即n(1,1,0)，則平面ABC的一個法向量為(1,1,0) 【答案】(1,1,0)(答案不惟一)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：小組合作型直線的方向向量及其應(yīng)用(1)已知直線l1的一個方向向量為(7,3,4)，直線l2的一個方向向量為(x，y,8)，且l1l2，則x_，y_.(2)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直線AB上一點，且滿足APPB32，則直線AB的一個方向向量為_，點P的坐標(biāo)為_【精彩點撥】(1)利用兩直線的方向向量共線求解；(2)即是直線AB的一個方向向量，利用求點P的坐標(biāo)【解析】(1)由l1l2可知，向量(7,3,4)和(x，y,8)共線，所以，解得x14，y6.(2)(0,6,2)是直線AB的一個方向向量由APPB32，得.設(shè)P(x，y，z)，則(x2，y，z1)(0,6,2)，即x20，y，z12，解得x2，y，z，所以直線AB的一個方向向量是(0,6,2)，點P的坐標(biāo)為.【答案】(1)146(2)(0,6,2)1應(yīng)注意直線AB的方向向量有無數(shù)個，哪個易求求哪個2利用直線上的一個已知點和直線的方向向量可以確定直線的位置，進而利用向量的運算確定直線上任一點的位置求平面的法向量如圖321，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SBA與平面SCD的法向量圖321【精彩點撥】因為與平面垂直的向量為平面的法向量，所以先觀察圖中有無垂直于平面的直線，若有，利用直接法求出；若沒有，設(shè)出法向量n，再利用待定系數(shù)法求解【自主解答】AD，AB，AS是三條兩兩垂直的線段，以A為原點，以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，是平面SBA的法向量，設(shè)平面SCD的法向量n(1，u)，有n，n，則n(1，u)0，.n(1，u)u0，u，n.1利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟2求平面法向量的三個注意點(1)選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量(2)取特值：在求n的坐標(biāo)時，可令x，y，z中一個取特殊值，得另兩個值，就是平面的一個法向量(3)注意0：提前假定法向量n(x，y，z)的某個坐標(biāo)為某特定值時，一定要注意這個坐標(biāo)不為0.再練一題1已知正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為BB1，C1D1的中點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的一個法向量【解】以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則A(1,0,0)，M，N.，.設(shè)平面AMN的一個法向量為n(x，y，z)，令y2，x3，z4，n(3,2，4).證明平面的法向量在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點圖322求證：是平面ADE的法向量【精彩點撥】要證明是平面ADE的法向量，只需證明D1F平面ADE即可【自主解答】如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E，F(xiàn)，所以(1,0,0)，所以(1,0,0)0，0，所以，又ADAEA，所以平面ADE，從而是平面ADE的法向量用向量法證明線面垂直的實質(zhì)仍然是用向量的數(shù)量積證明線線垂直，因此，其思想方法與證明線線垂直相同，區(qū)別在于必須證明兩個線線垂直.再練一題2如圖323所示，已知PA矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點圖323(1)指出直線MN的一個以A為起點的方向向量；(2)若PDA45，求證：為平面PCD的一個法向量【解】(1)取PD的中點E，連結(jié)NE，AE，因為N是PC的中點，所以NEDC，NEDC.又DCAB，DCAB，AMAB，所以AMCD，AMCD.所以NEAM，NEAM.所以四邊形AMNE是平行四邊形，所以MNAE.所以為直線MN的一個以A為起點的方向向量(2)證明：在RtPAD中，PDA45，所以APAD，所以AEPD，又因為MNAE，所以MNPD.因為PA平面ABCD，所以PACD，又因為CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，因為AE平面PAD，所以CDAE.又因為MNAE，所以CDMN，又因為CDPDD，所以MN平面PCD.所以為平面PCD的一個法向量探究共研型方向向量與法向量的特征探究1如何正確地判斷直線的方向向量？【提示】(1)在空間中，一個向量成為直線的方向向量，必須具備以下兩個方面的限制：不能為零向量；與該直線平行或重合(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個(3)給定空間中任意一點A和非零向量a，就可以確定惟一一條過點A且平行于向量a的直線(4)表示同一條直線的方向向量，由于它們的模不一定相等，因此，它們不一定相等；雖然這些方向向量都與直線平行，但它們的方向不一定相同，還可能相反探究2過空間任意一定點P，能否作出平面的法向量？能作幾條？【提示】由于過空間任意一點P，有且僅有一條直線PO垂直于平面，因此，過空間任意一點都能作出平面的法向量由于直線PO的方向向量有無數(shù)個，因此，過點P的平面的法向量也有無數(shù)個探究3求平面法向量的坐標(biāo)時，為什么只構(gòu)建兩個方程求解？【提示】根據(jù)線面垂直的判定定理可知，只要直線垂直于該平面內(nèi)的任意兩條相交直線，它就垂直于該平面，也就垂直于該平面內(nèi)的任意直線，因此，求法向量的坐標(biāo)只要滿足兩個方程就可以了探究4依據(jù)待定系數(shù)法求出的平面法向量惟一嗎？【提示】不惟一利用待定系數(shù)法求平面法向量時，由于方程組有無數(shù)組解，因此法向量有無數(shù)個求解時，利用賦值法，只要給x，y，z中的一個賦特殊值(常賦值1,0,1)即可確定一個法向量，賦值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作為法向量探究5利用直線的方向向量和平面的法向量能夠解決哪些位置關(guān)系？【提示】(1)兩直線的方向向量共線(垂直)時，兩直線平行(垂直)(2)直線的方向向量與平面的法向量共線時，直線和平面垂直；直線的方向向量與平面的法向量垂直時，直線在平面內(nèi)或線面平行(3)兩個平面的法向量共線(垂直)時，兩平面平行(垂直)根據(jù)下列條件，分別判定相應(yīng)直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)平面，的法向量分別是u(1,1，2)，；(2)直線l的方向向量a(6,8,4)，平面的法向量u.【精彩點撥】利用方向向量與法向量的平行或垂直來判斷線、面位置關(guān)系【自主解答】(1)u(1,1，2)，u(1,1，2)3210，u，故.(2)u(2,2，1)，a(6,8,4)，ua(2,2，1)(6,8,4)121640，ua，故l或l.再練一題3根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的線、面位置關(guān)系(1)直線l1，l2的方向向量分別是a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分別是u(1,3,0)，(3，9，0)【解】(1)a(1，3，1)，b(8,2,2)，ab8620，ab，即l1l2.(2)u(1,3,0)，(3，9,0)，3u，u，即.構(gòu)建體系1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若向量是直線l的一個方向向量，則向量也是l的一個方向向量()(2)若向量a是直線l的一個方向向量，則向量ka也是直線l的一個方向向量()(3)若兩條直線平行，則它們的方向向量方向相同或相反()(4)一個平面的法向量有無數(shù)多個，它們是共線向量()(5)一個平面的法向量就是這個平面的垂線的方向向量()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2若點A(0,1,2)，B(1,0,2)在直線l上，則直線l的一個方向向量為_. 【導(dǎo)學(xué)號：09390080】【解析】(1，1,0)，即為l的一個方向向量【答案】(1，1,0)3若向量a(x,2,1)，b(1，y,3)都是直線l的方向向量，則xy_.【解析】據(jù)題意可知，ab，故存在實數(shù)，使ab，即(x,2,1)(1，y,3)，即x，2y,13，解得，y6，x，xy6.【答案】4若直線l，且l的方向向量為(m,2,4)，平面的法向量為，則m為_【解析】(m,2,4)，m1.【答案】15如圖324，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCBB11，求平面ABC1的一個法向量圖324【解】法一：設(shè)平面ABC1的一個法向量為n(x，y,1)B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，(0,1,0)，(1,0,1)，則解得x1，y0，n(1,0,1)法二：設(shè)平面ABC1的一個法向量為n(x，y，z)B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，(0,1,0)，(1,0,1)，則令z1，則x1，y0，n(1,0,1)我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標(biāo)一、填空題1已知a(1,4,3)，b(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1l2，則x_，y_.【解析】由l1l2，得，解得x12，y9.【答案】1292設(shè)直線l1的方向向量為a(2，1,2)，直線l2的方向向量為b(1,1，m)，若l1l2，則m_.【解析】l1l2，212m0，m.【答案】3若平面，的法向量分別為(1,2,4)，(x，1，2)，并且，則x的值為_【解析】因為，那么它們的法向量也互相垂直，則有x280，所以x10.【答案】104設(shè)A是空間任意一點，n為空間任一非零向量，則適合條件n0的點M的軌跡是_【解析】n0稱為一個平面的向量表示式，這里考查的是基本概念【答案】過點A且與向量n垂直的平面5已知直線l1的方向向量為a(2,4，x)，直線l2的方向向量為b(2，y,2)，若|a|6，且ab，則xy的值是_【解析】因為|a|6，所以416x236，即x4，當(dāng)x4時，a(2,4,4)，由ab0，得44y80，解得y3，此時xy431；當(dāng)x4時，a(2,4，4)，由ab0，得44y80，解得y1，此時xy413.綜上，得xy3或xy1.【答案】3或16已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面ABC的單位法向量坐標(biāo)為_. 【導(dǎo)學(xué)號：09390081】【解析】設(shè)單位法向量n0(x，y，z)，(1,1,0)，(1,0,1)由n00，且n00得解得或【答案】或7已知平面經(jīng)過三點A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，則平面的一個法向量是_【解析】A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)設(shè)平面的法向量為n(x，y，z)，依題意，應(yīng)有n0，n0，即解得令y1，則x2.平面的一個法向量為n(2,1,0)【答案】(2,1,0)8已知點A，B，C的坐標(biāo)分別是(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，點P的坐標(biāo)為(x,0，z)，若，則點P的坐標(biāo)為_【解析】A(0,1,0)，B(1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，(1，1,1)，(2,0,1)，(x,1，z)，(x,1，z)(1，1,1)0，(x,1，z)(2,0,1)0，點P的坐標(biāo)為.【答案】二、解答題9在正方體ABCDA1B1C1D1中，證明：是平面A1BC1的法向量【證明】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是(1,1,1)，(0，1,1)，(1,0,1)，由于110，110.，BA1BC1B，DB1平面A1BC1，即是平面A1BC1的法向量10已知ABCDA1B1C1D1是長方體，建立空間直角坐標(biāo)系如圖325.AB3，BC4，AA1 2，圖325(1)求平面B1CD1的一個法向量；(2)設(shè)M(x，y，z)是平面B1CD1內(nèi)的任意一點，求x，y，z滿足的關(guān)系式【解】(1)在題圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中各點坐標(biāo)為B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得(0,4，2)，(3,0,2)，設(shè)平面B1CD1的一個法向量為a(x，y，z)，則a，a，從而a0，a0，所以0x4y2z0，3x0y2z0，解方程組得不妨取z6，則y3，x4.所以a(4,3,6)就是平面B1CD1的一個法向量(2)由題意可得，(x3，y，z2)，因為a(4,3,6)是平面B1CD1的一個法向量，所以a，從而a0，即4(x3)3y6(z2)0,4x3y6z24，所以滿足題意的關(guān)系式是4x3y6z24.能力提升1若不重合的兩個平面的法向量分別是a(3，3，