2019版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解析幾何課時(shí)分層作業(yè)五十七8.8拋物線理.docx

課時(shí)分層作業(yè) 五十七拋物線一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知拋物線y2=x,則它的準(zhǔn)線方程為()A.y=-2B.y=2C.x=-D.y=【解析】選C.因?yàn)閽佄锞€y2=x,所以p=,=,它的準(zhǔn)線方程為x=-.2.(2018洛陽(yáng)模擬)已知點(diǎn)M是拋物線C:y2=2px(p0)上一點(diǎn),F為C的焦點(diǎn),MF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2),則p的值為()A.1B.2C.3D.4【解析】選D.F,那么M在拋物線上,即16=2p,即p2-8p+16=0,解得p=4.3.若拋物線y2=2px(p0)上的點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離是P到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于()A.B.1C.D.2【解析】選D.根據(jù)焦半徑公式|PF|=x0+,所以x0+=3x0,解得x0=,代入拋物線方程=2p,解得p=2.【變式備選】拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,P是C上一點(diǎn),若P到F的距離是P到y(tǒng)軸距離的兩倍,且三角形OPF的面積為1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則p的值為()A.1B.2C.3D.4【解析】選B.設(shè)點(diǎn)P(x,y),根據(jù)已知可得x+=2x,解得:x=,|y|=p,所以SOPF=p=1,解得p=2.4.(2018正定模擬)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】選C.如圖所示,作出拋物線的準(zhǔn)線l1及點(diǎn)A,B到準(zhǔn)線的垂線段AA1,BB1,并設(shè)直線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)M.設(shè)|BF|=m,由拋物線的定義可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.由BB1AA1可知=,即=,所以|MB|=2m,則|MA|=6m.故AMA1=30,得AFx=MAA1=60,結(jié)合選項(xiàng)知選C項(xiàng).【一題多解】本題還可以采用以下方法:選C.由|AF|=3|BF|可知=3,易知F(1,0),設(shè)B(x0,y0),則從而可解得A的坐標(biāo)為(4-3x0,-3y0).因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在拋物線上,所以解得x0=,y0=,所以kl=.【變式備選】已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)是F,過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)Q在第一象限,若3=,則直線PQ的斜率是()A.1B.C.D.【解析】選D.設(shè)P,Q,由拋物線的方程可知,拋物線的焦點(diǎn)F,因?yàn)?=,則3=,所以y2=-3y1,又設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線的斜率為k,所以方程為y=k,聯(lián)立得方程組得y2-y-4=0,所以y1+y2=,y1y2=-4,代入可得k=.5.(2018石家莊模擬)已知雙曲線C1:-=1(a0,b0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為()A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y【解析】選D.因?yàn)?=1的離心率為2,所以=2,即=4,所以=.x2=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,-=1的漸近線方程為y=x,即y=x.由題意得=2,所以p=8.故C2的方程為x2=16y.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知直線l1:3x-4y+7=0和直線l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是_【解析】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程是x=-1,根據(jù)拋物線定義,拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和可以看成拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)和直線l1的距離之和,其最小值為焦點(diǎn)F到直線l1:3x-4y+7=0的距離, d=2.答案:27.已知P在拋物線y2=2px(p0)上,且P到焦點(diǎn)F的距離為10,則焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為_.【解析】設(shè)點(diǎn)P(8,a)在拋物線y2=2px (p0)的準(zhǔn)線上的射影為M,則M,依題意,|PM|=|PF|=10,即8-=10,所以p=4.即點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4.答案:4【題目溯源】本考題源于教材人教A版選修2-1 P67 練習(xí)T3“拋物線y2=12x上與焦點(diǎn)距離等于9的點(diǎn)的坐標(biāo)是_”【變式備選】已知拋物線x2=y上一點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為,則A到頂點(diǎn)的距離等于_.【解析】p=,設(shè)A(x,y),則y+=,所以y=1.代入拋物線方程得x=1,所以A(1,1),|AO|=.答案:8.(2018重慶模擬)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F作直線l與拋物線分別交于兩點(diǎn)A,B,若點(diǎn)M滿足=,過(guò)M作y軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)P,若|PF|=2,則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_.【解析】拋物線y2=4x 的焦點(diǎn)F,由題意知,直線AB的斜率存在.設(shè)A,B,M,P,直線AB 方程為y=k,所以,所以ky2-4y-4k=0, 所以y1+y2=,所以y0=,因?yàn)?= 4x,所以x=,因?yàn)閨PF|=2,所以x=1,k2=1,所以x0=+1=3.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018威海模擬)如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn).(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo).(2)求PAB的面積.【解析】 (1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0).由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,故解得因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.(2)由(1)知|AP|=t,直線PA的方程為tx-y-t2=0.點(diǎn)B到直線PA的距離是d=.設(shè)PAB的面積為S(t),則S(t)=|AP|d=.10.(2018衡水模擬)已知拋物線C:y2=ax(a0)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2t. (1)求拋物線C的方程.(2)拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合),設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值.【解析】(1)由拋物線的定義可知|PF|=t+=2t,則a=4t,由點(diǎn)P在拋物線上,則at=.所以a=,則a2=1,由a0,則a=1,故拋物線的方程為y2=x.(2)因?yàn)锳點(diǎn)在拋物線上,且yA=1.所以xA=1,所以A(1,1),設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線l的方程x-3=m(y+1).即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=-,為定值.【變式備選】已知點(diǎn)A(2,1)在拋物線E:x2=ay上,直線l1:y=kx+1(kR,且k0)與拋物線E相交于B,C兩點(diǎn),直線AB,AC分別交直線l2:y=-1于點(diǎn)S,T.(1)求a的值.(2)若|ST|=2,求直線l1的方程.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在拋物線E:x2=ay上,所以a=4.(2)由(1)得拋物線E的方程為x2=4y.設(shè)點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),依題意得=4y1,=4y2,由消去y,得x2-4kx-4=0,解得x1,2=2k2.所以x1+x2=4k,x1x2=-4.直線AB的斜率kAB=,故直線AB的方程為y-1=(x-2).令y=-1,得x=2-(由題意知x1+20),所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為.同理可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為.所以|ST|=,因?yàn)閨ST|=2,所以|x1-x2|=2|k|.由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得20k2=16k2+16,解得k=2或k=-2,所以直線l1的方程為y=2x+1或y=-2x+1.1.(5分)(2018玉溪模擬)若拋物線y2=2px(p0)上一點(diǎn)P(2,y0)到其準(zhǔn)線的距離為4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】選C.因?yàn)閽佄锞€y2=2px,所以準(zhǔn)線為x=-.因?yàn)辄c(diǎn)P(2,y0)到其準(zhǔn)線的距離為4,所以2+=4,所以p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.2.(5分)(2018永州模擬)已知點(diǎn)M,N是拋物線y=4x2上不同的兩點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),且滿足MFN=135,弦MN的中點(diǎn)P到直線l:y=-的距離為d,若|MN|2=d2,則的最小值為()A.B.1-C.1+D.2+【解析】選D.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線為y=-,設(shè)|MF|=a,|NF|=b,由MFN=135,可得|MN|2=|MF|2+|NF|2-2|MF|NF|cos MFN=a2+b2+ab,由拋物線的定義可得M到準(zhǔn)線的距離為|MF|,N到準(zhǔn)線的距離為|NF|,由梯形的中位線定理可得d=(|MF|+|NF|)=(a+b),由|MN|2=d2,可得=1-1-=1-=,可得2+,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取得最小值2+.【變式備選】(2018衡水模擬)焦點(diǎn)為F的拋物線C: y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M在拋物線C上,則當(dāng)取得最大值時(shí),直線MA的方程為()A.y=x+2或y=-x-2B.y=x+2C.y=2x+2或y=-2x+2D.y=-2x+2【解析】選A.過(guò)M作MP與準(zhǔn)線垂直,垂足為P,則=,則當(dāng)取得最大值時(shí), MAF必須取得最大值,此時(shí)直線AM與拋物線相切,可設(shè)切線方程為y=k,與y2=8x聯(lián)立,消去x得ky2-8y+16k=0,所以=64-64k2=0,得k=1.則直線方程為y=x+2或y=-x-2.3.(5分)(2016浙江高考)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是_.【解析】由拋物線定義得xM+1=10xM=9.答案:94.(12分)(2017北京高考)已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn). (1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=,所以C:y2=x,所以焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線:x=-.(2)設(shè)l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),OP:y=x,ON:y=x,由題知A(x1,x1),B,由消去y得k2x2+(k-1)x+=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以y1+=kx1+=2kx1+,由x1+x2=,x1x2=,上式=2kx1+=2kx1+(1-k)2x1=2x1,所以A為線段BM的中點(diǎn).5.(13分)(2017浙江高考)如圖,已知拋物線x2=y.點(diǎn)A,B,拋物線上的點(diǎn)P(x,y),過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1)求