解析幾何中極點(diǎn)與極線知識(shí)的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究.doc

解析幾何中極點(diǎn)與極線知識(shí)的現(xiàn)狀與應(yīng)用研究王文彬極點(diǎn)與極線是圓錐曲線內(nèi)在的幾何特征，在解析幾何中必然有所反映，有所體現(xiàn).現(xiàn)將具體研究結(jié)果報(bào)告如下：PEFGHMANB圖11.極點(diǎn)與極線的定義1.1 幾何定義如圖，是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，連接交于，連接交于，則直線為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線.若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極線.由圖1可知，同理為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線.稱為自極三點(diǎn)形.若連接交圓錐曲線于點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線.事實(shí)上，圖1也給出了兩切線交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線的一種作法.1.2 代數(shù)定義已知圓錐曲線，則稱點(diǎn)和直線是圓錐曲線的一對(duì)極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換(另一變量也是如此)即可得到點(diǎn)極線方程.特別地：(1)對(duì)于橢圓，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；(2)對(duì)于雙曲線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為；(3)對(duì)于拋物線，與點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程為.2.極點(diǎn)與極線的基本結(jié)論定理1 (1)當(dāng)在圓錐曲線上時(shí)，則極線是曲線在點(diǎn)處的切線；(2)當(dāng)在外時(shí)，則極線是曲線從點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線(即切點(diǎn)弦所在直線)；(3) 當(dāng)在內(nèi)時(shí)，則極線是曲線過點(diǎn)的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.證明：假設(shè)同以上代數(shù)定義，對(duì)的方程，兩邊求導(dǎo)得，解得，于是曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線的方程為，化簡得，又點(diǎn)在曲線上，故有，從中解出，然后代和可得曲線在點(diǎn)處的切線為.PMN圖2(2)設(shè)過點(diǎn)所作的兩條切線的切點(diǎn)分別為，則由(1)知，在點(diǎn)處的切線方程分別為和，又點(diǎn)在切線上，所以有和，觀察這兩個(gè)式子，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)都在直線上，又兩點(diǎn)確定一條直線，故切點(diǎn)弦所在的直線方程為.Q(m,n)TS圖3P(x0,y0).(3)設(shè)曲線過的弦的兩端點(diǎn)分別為，則由(1)知，曲線在這兩點(diǎn)處的切線方程分別為和，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為，則有，觀察兩式可發(fā)現(xiàn)在直線上，又兩點(diǎn)確定一條直線，所以直線的方程為，又直線過點(diǎn)，所以，因而點(diǎn)在直線上.所以兩切線的交點(diǎn)的軌跡方程是.定理2 若圓錐曲線中有一些極線共點(diǎn)于點(diǎn)，則這些極線相應(yīng)的極點(diǎn)共線于點(diǎn)相應(yīng)的極線，反之亦然.PABP點(diǎn)P的極線點(diǎn)P的極線圖4(1)圖4(2)即極點(diǎn)與極線具有對(duì)偶性.如圖4(1)(2)所示.3.極點(diǎn)與極線在教材中的體現(xiàn)極點(diǎn)與極線反映的是圓錐曲線的基本幾何性質(zhì)，所以在解析幾何教材中必然有所體現(xiàn).3.1 圓錐曲線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線是一對(duì)特殊的極點(diǎn)與極線如果圓錐曲線是橢圓，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線變?yōu)?，恰是橢圓的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是雙曲線，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線變?yōu)?，恰是雙曲線的準(zhǔn)線；如果圓錐曲線是拋物線，當(dāng)為其焦點(diǎn)時(shí)，極線變?yōu)?，恰是拋物線的準(zhǔn)線. 3.2 許多習(xí)題都有極點(diǎn)與極線的背景，均可借助極點(diǎn)與極線方法求解ABCOxy圖5F【例1】過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求證：.證明：由于,，故三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程分別是，和，由于三點(diǎn)共線，根據(jù)定理2可知，對(duì)應(yīng)的三條極線共點(diǎn)，將代入后面兩式得，兩式相除得.作為課本一習(xí)題，2001年全國高考試卷19題以此為背景命制.利用本例結(jié)論可迅速證明這一高考題. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且平行于軸，證明直線必過原點(diǎn).簡證：如圖5，設(shè)，則，從而，故，所以，即直線過原點(diǎn).3.3 教材中涉及到直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定問題，均可化為極點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系問題來解決【例2】(1)已知拋物線的方程為，直線過定點(diǎn)，斜率為，問為何值時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，沒有公共點(diǎn)？(2)已知雙曲線，過點(diǎn)能否作直線，與雙曲線交于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)？解：(1)直線的方程為，即.設(shè)直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，則相應(yīng)的極線應(yīng)為，即，故，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)在拋物線外，解得且；同理可求得當(dāng)或或時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)直線與拋物線沒有公共點(diǎn).(2)設(shè)，則由是線段的中點(diǎn)得，而在雙曲線上，故，兩式相減得，即，而是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，但點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，故極線與雙曲線相離，這和已知“直線與雙曲線相交”矛盾，故這樣的直線不存在.4.極點(diǎn)與極線在各種考試中的深層體現(xiàn) 4.1 高考試題中的極點(diǎn)與極線極點(diǎn)與極線作為具體的知識(shí)點(diǎn)盡管不是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)然也不屬于高考考查的范圍，但是極點(diǎn)與極線作為圓錐曲線的一種基本特征，在高考試題中必然會(huì)有所反映.事實(shí)上，極點(diǎn)與極線的知識(shí)常常是解析幾何高考試題的命題背景.ABPOxy圖6F【例3】(2006年全國試卷II21)已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，并設(shè)其交點(diǎn)為.(1)證明為定值；(2)設(shè)的面積為，寫出的表達(dá)式，并求的最小值.解：(1)設(shè)點(diǎn)，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程分別為，由于三點(diǎn)共線，故相應(yīng)的三極線共點(diǎn)于，代入極線方程得，兩式相減得.又，故.(2)設(shè)的方程為，與拋物線的極線方程對(duì)比可知直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，把代入并由弦長公式得，所以.顯然，當(dāng)時(shí)，取最小值.【例4】(2005江西卷22)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過作拋物線的兩條切線，ABPOxy圖7Fl且與拋物線分別相切于兩點(diǎn).(1)求的重心的軌跡方程；(2)證明.解：(1)設(shè)點(diǎn)，與對(duì)比知直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線必恒過點(diǎn).設(shè)，可化為，故直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，將直線的方程代入拋物線方程得，由此得，的重心的軌跡方程為，消去即得.(2)由(1)可設(shè)點(diǎn)，且，所以，.同理.所以有.評(píng)析：上述解法不僅簡潔易懂，而且適用范圍很廣，很多解析幾何試題，尤其是共點(diǎn)共線問題，往往都能起到事半功倍的效果.這里不再一一列舉.4.2 競(jìng)賽試題中的極點(diǎn)與極線作為更高要求的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有關(guān)極點(diǎn)與極線的試題更是頻頻出現(xiàn)，而且越來越受到重視.【例5】(2002澳大利亞國家數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知為銳角三角形，以為直徑的分別交于，分別過和作的兩條切線交于點(diǎn)，分別過和作的兩條切線交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在線段上.KABCPQR(-a,y2)KABCPQRSS(a,y1)圖8xy下面將圓加強(qiáng)為橢圓，并給出證明.證明：以為軸，線段為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線，代入橢圓方程解得點(diǎn)，直線，同理我們可以得到直線，將直線的方程與的方程聯(lián)立解得，可驗(yàn)證其坐標(biāo)滿足直線的方程，所以三點(diǎn)共線.評(píng)析：原題用純平面幾何方法證明，難度較大【1】，而用極點(diǎn)與極線方法證明不僅顯得簡潔，而且此結(jié)論顯然還可推廣到其他圓錐曲線上.【例6】(中等數(shù)學(xué)2006年第8期P42)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，作直線與橢圓交于點(diǎn)，過分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，過分別作橢圓的切線交于點(diǎn)，求連線所在的直線方程評(píng)析：該題實(shí)質(zhì)上就是求橢圓內(nèi)一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線方程，由定理1立即可得答案為.【例7】(中學(xué)數(shù)學(xué)2006年第7期新題征展77)設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的軌跡是一條定直線.評(píng)析：顯然該定直線為點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線：.從例6、例7可以看到，以極點(diǎn)與極線為背景的試題深受命題者的青睞.4.3 一些結(jié)論中的極點(diǎn)與極線圓錐曲線中有關(guān)極點(diǎn)與極線的性質(zhì)，一直是人們探討的熱點(diǎn)，文【2】與文【3】所述的圓錐曲線性質(zhì)都源于圓錐曲線中極點(diǎn)與相應(yīng)的極線的性質(zhì).譬如【定理】【2】 線段是過橢圓長軸上定點(diǎn)的弦，是長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與直線交于兩點(diǎn)，并且直線的斜率存在且不為零，則有.這個(gè)定理在雙曲線與拋物線中也成立.利用該定理還可證明文【5】至【13】中所述的結(jié)論.評(píng)析：由定理1知，該定理中定點(diǎn)，直線即為一對(duì)極點(diǎn)與極線，從另一方面來說，該定理是【例1】的推廣形式，作者把它稱為一個(gè)基礎(chǔ)性定理，是因?yàn)樵摱ɡ砜梢宰C明很多圓錐曲線的性質(zhì).事實(shí)上，文【2】所述的圓錐曲線性質(zhì)也都可以用極點(diǎn)與極線的性質(zhì)證明，文【3】則完全是定理1的一種特例.定理1和定理2反映極點(diǎn)與相應(yīng)的極線的基本性質(zhì)，應(yīng)用非常廣泛.一點(diǎn)一線，闡述著數(shù)學(xué)的樸素之美，也是極致之美.參考文獻(xiàn)【1】 史鈔.幾道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的簡解.中等數(shù)學(xué)，2005.4【2】 邱繼勇.橢圓的一個(gè)基礎(chǔ)性定理.數(shù)學(xué)通報(bào)，2005.6【3】 高紹央.圓錐曲線準(zhǔn)線的一個(gè)有趣性質(zhì).中學(xué)教研.2005.3【4】 李鳳華.圓錐曲線的極點(diǎn)與極線及其應(yīng)用.數(shù)學(xué)通訊，2012.4【5】 金美琴.二次曲線的定點(diǎn)弦.數(shù)學(xué)通報(bào)，2003.7【6】 熊光漢，謝東根.一道幾何題的引申.數(shù)學(xué)通報(bào)，2003.5【7】 陳天雄.一道高考解析幾何試題的引申及推廣.數(shù)學(xué)通報(bào)，2002.6【8】 李原池.一道高考題引出的圓錐曲線的兩個(gè)性質(zhì)及推論