廣東省高考數(shù)學(xué) 7.4直線、平面平行的判定及其性質(zhì)配套課件 理 新人教A版.ppt

第四節(jié)直線 平面平行的判定及其性質(zhì) 三年8考高考指數(shù) 1 以立體幾何的定義 公理和定理為出發(fā)點(diǎn) 認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)和判定定理 2 能運(yùn)用公理 定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題 1 對(duì)線線平行 線面平行和面面平行的考查是高考的熱點(diǎn) 2 平行關(guān)系的判斷多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn) 考查對(duì)與平行有關(guān)的概念 公理 定理 性質(zhì) 結(jié)論的理解和運(yùn)用 題目難度較小 3 平行關(guān)系的證明及運(yùn)用 多以解答題的形式出現(xiàn) 主要考查有關(guān)定理 性質(zhì)的運(yùn)用及各種平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化 題目有一定的綜合性 常與垂直的證明 空間角的求法及空間向量結(jié)合在一起考查 屬低中檔題 1 直線與平面平行 1 判定定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 平面外一條直線與 的一條直線平行 則該直線與此平面平行 l a 此平面內(nèi) l a a l l 線線平行 線面平行 2 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 性質(zhì)定理 一條直線與一個(gè)平面平行 則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的與該直線平行 l b l l b b l 簡(jiǎn)記為 線面平行 線線平行 交線 即時(shí)應(yīng)用 1 已知直線a b和平面 判斷下列命題的正確性 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫 或 若a b a 則b 若a b a 則b 若a b 則a b 2 如圖 在空間四邊形abcd中 m ab n ad 且 則直線mn與平面bdc的位置關(guān)系是 解析 1 中直線b在 內(nèi)時(shí)不成立 b可能在 內(nèi) a b可以平行 相交或異面 2 由得mn bd 又mn平面bdc bd平面bdc 所以mn 平面bdc 答案 1 2 平行 2 平面與平面平行 1 判定定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 判定定理 一個(gè)平面內(nèi)的兩條 與另一個(gè)平面平行 則這兩個(gè)平面平行 相交直線 簡(jiǎn)記為 線面平行 面面平行 a b a b p a b a p b 2 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面 那么它們的 平行 相交 交線 a b a b a b 即時(shí)應(yīng)用 1 思考 能否由線線平行推證面面平行 如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面 則這兩個(gè)平面一定平行嗎 提示 可以 只需一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線 則兩平面平行 不一定平行 如果這無(wú)數(shù)條直線互相平行 則這兩個(gè)平面就可能相交 2 已知兩平面 與 平行 a 判斷下列命題的正確性 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫 或 a與 內(nèi)的任何一條直線都不垂直 a與 無(wú)公共點(diǎn) 解析 中 a可以與 內(nèi)的直線垂直 故不正確 由 a 可得a 故 正確 答案 3 設(shè) 是兩個(gè)不重合的平面 a b是兩條不同的直線 給出下列條件 都平行于直線a b a b是 內(nèi)兩條直線 且a b 若a b相交 且都在 外 a a b b 其中可判定 的條件的序號(hào)為 解析 中的平面可能平行 相交 故不正確 因?yàn)閍 b相交 可設(shè)其確定的平面為 根據(jù)a b 可得 同理可得 因此 故 正確 答案 線面平行的判定及性質(zhì) 方法點(diǎn)睛 1 判定線面平行的方法 1 利用定義 判定直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn) 一般結(jié)合反證法進(jìn)行 2 利用線面平行的判定定理 3 利用面面平行的性質(zhì) 即兩平面平行 則其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面 2 線面平行的性質(zhì) 1 直線與平面平行 則該直線與平面無(wú)公共點(diǎn) 2 由線面平行可得線線平行 提醒 利用線面平行的性質(zhì)和判定定理時(shí) 適當(dāng)添加輔助線 或面 是解題的常用方法 例1 1 2012 廣州模擬 如圖所示 已知四棱柱abcd a b c d 過(guò)棱a b 的平面 與底面ac交于ef 則直線ab與直線ef的位置關(guān)系是 a 相交 b 平行 c 異面 d 不確定 2 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 點(diǎn)n在bd上 點(diǎn)m在b1c上 并且cm dn 求證 mn 平面aa1b1b 解題指南 1 利用線面平行的判定和性質(zhì)定理來(lái)判斷 2 線線平行 線面平行 面面平行 是可以互相轉(zhuǎn)化的 本題可以采用任何一種轉(zhuǎn)化方式 規(guī)范解答 1 選b a b ab a b 平面ac又a b 平面 平面ac ef a b ef ab ef 2 方法一 如圖所示 作me bc交bb1于e 作nf ad 交ab于f 連接ef 則 在正方體abcd a1b1c1d1中 cm dn bd b1c b1m nb 又bd b1c 又bc ad me nf 又me bc ad nf 四邊形mefn為平行四邊形 mn ef 又ef平面aa1b1b mn平面aa1b1b mn 平面aa1b1b 方法二 m作mq bb1交bc于q 連接nq mq平面aa1b1b bb1平面aa1b1b mq 平面aa1b1b 由mq bb1得又cm dn cb1 db nq dc nq ab nq平面abb1a1 ab平面abb1a1 nq 平面abb1a1 又mq nq q 平面mqn 平面abb1a1 又mn平面mqn mn 平面aa1b1b 互動(dòng)探究 若將本例 2 中的條件 cm dn 改為 則如何證明 解析 將轉(zhuǎn)化為cm dn 以下同例題 反思 感悟 1 證明線面平行時(shí) 先直觀判斷平面內(nèi)是否存在一條直線和已知直線平行 若找不到這樣的直線 可以考慮通過(guò)面面平行來(lái)推導(dǎo)線面平行 2 應(yīng)用線面平行性質(zhì)的關(guān)鍵是如何確定交線的位置 有時(shí)需要經(jīng)過(guò)已知直線作輔助平面來(lái)確定交線 變式備選 四邊形abcd是平行四邊形 點(diǎn)p是平面abcd外一點(diǎn) m是pc的中點(diǎn) 在dm上取一點(diǎn)g 過(guò)g和ap作平面交平面bdm于gh 求證 ap gh 證明 如圖 連接ac交bd于o 連接mo 四邊形abcd是平行四邊形 o是ac的中點(diǎn) 又m是pc的中點(diǎn) ap om 根據(jù)直線和平面平行的判定定理 有ap 平面bmd 平面pahg 平面bmd gh 根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理 得ap gh 面面平行的判定和性質(zhì) 方法點(diǎn)睛 1 判定面面平行的方法 1 利用定義 即證兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn) 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一條直線的兩平面平行 4 利用平面平行的傳遞性 即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面 則這兩個(gè)平面平行 2 面面平行的性質(zhì) 1 兩平面平行 則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一平面 2 若一平面與兩平行平面相交 則交線平行 3 三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系 性質(zhì)定理 線線平行 線面平行 面面平行 判定定理 線線平行 線面平行 面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想 解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律 又要看清題目的具體條件 選擇正確的轉(zhuǎn)化方向 例2 如圖 已知 異面直線ab cd和平面 分別交于a b c d四點(diǎn) e f g h分別是ab bc cd da的中點(diǎn) 求證 1 e f g h共面 2 平面efgh 平面 解題指南 1 證明四邊形efgh為平行四邊形即可 2 利用面面平行的判定定理 轉(zhuǎn)化為線面平行來(lái)證明 規(guī)范解答 1 e h分別是ab da的中點(diǎn) ehbd 同理 fgbd fgeh 四邊形efgh是平行四邊形 e f g h共面 2 平面abd和平面 有一個(gè)公共點(diǎn)a 設(shè)兩平面交于過(guò)點(diǎn)a的直線ad ad bd 又 bd eh eh bd ad eh 平面 同理 ef 平面 又eh ef e eh 平面efgh ef 平面efgh 平面efgh 平面 反思 感悟 1 線面 面面平行的判定和性質(zhì)常常結(jié)合在一起進(jìn)行考查 解題中要注意性質(zhì)和判定交替應(yīng)用 2 利用判定或性質(zhì)解題時(shí) 應(yīng)注意解題過(guò)程的規(guī)范性 即要準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言及符號(hào)來(lái)表示出定理的有關(guān)內(nèi)容 變式訓(xùn)練 在正方體abcd a1b1c1d1中 m n p分別是c1c b1c1 c1d1的中點(diǎn) 求證 平面mnp 平面a1bd 證明 如圖 連接b1d1 b1c p n分別是d1c1 b1c1的中點(diǎn) pn b1d1 又b1d1 bd pn bd 又pn平面a1bd pn 平面a1bd 同理mn 平面a1bd 又pn mn n 平面mnp 平面a1bd 平行關(guān)系中的計(jì)算問(wèn)題 方法點(diǎn)睛 求解平行關(guān)系中范圍問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想解答立體幾何中的有關(guān)最值或范圍問(wèn)題 常用函數(shù)思想解決 通過(guò)設(shè)出適當(dāng)?shù)淖兞?建立函數(shù)關(guān)系 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值 或值域 的問(wèn)題 解題時(shí)要弄清哪些是定值 哪些是變量 如何根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系 如何求函數(shù)的最值等 例3 1 如圖 已知平面 平面 平面 且 位于 與 之間 點(diǎn)a d c f ac b df e 設(shè)af交 于m ac與df不平行 與 間距離為h 與 間距離為h 則當(dāng) bem的面積最大時(shí) 2 2012 合肥模擬 如圖所示 四邊形efgh所在平面為三棱錐a bcd的一個(gè)截面 四邊形efgh為平行四邊形 求證 ab 平面efgh cd 平面efgh 若ab 4 cd 6 求四邊形efgh周長(zhǎng)的取值范圍 解題指南 1 由面面平行得到線線平行 進(jìn)而得到各線段間的關(guān)系 結(jié)合三角形的面積公式求解即可 2 證明ab cd各平行于平面efgh內(nèi)的一條直線即可 設(shè)ef x 用含x的式子表示四邊形efgh的周長(zhǎng) 轉(zhuǎn)化為求關(guān)于x的函數(shù)的值域 規(guī)范解答 1 由題意知bm cf 同理 據(jù)題意知 ad與cf是異面直線 只是 在 與 間變化位置 故cf ad是常量 sin bme是ad與cf所成角的正弦值 也是常量 令h h x 只要考查函數(shù)y x 1 x 的最值即可 顯然當(dāng)x 即時(shí) y x2 x有最大值 當(dāng) 即 在 兩平面的中間時(shí) s bem最大 答案 2 四邊形efgh為平行四邊形 ef gh hg 平面abd ef 平面abd ef 平面abd ef 平面abc 平面abd 平面abc ab ef ab ef 平面efgh ab 平面efgh ab 平面efgh 同理可得cd 平面efgh 設(shè)ef x 0 x 4 四邊形efgh的周長(zhǎng)為l 由 知ef ab 則又由 同理可得cd fg 則 從而 四邊形efgh的周長(zhǎng) 又0 x 4 8 l 12 即四邊形efgh周長(zhǎng)的取值范圍為 8 12 互動(dòng)探究 本例第 2 題的條件不變 結(jié)論改為 若ab 4 cd 6 當(dāng)四邊形efgh的面積最大時(shí) 求截面的位置 如何求解 解析 設(shè)ef x efg 為異面直線ab cd所成的角或其補(bǔ)角 由本例的解題過(guò)程可得fg 6 故所以當(dāng)x 2時(shí) 四邊形efgh的面積最大 此時(shí)fg 3 即e f g h分別為ac bc bd ad的中點(diǎn) 反思 感悟 解決立體幾何中范圍 或最值 問(wèn)題的關(guān)鍵是如何確定變量及如何建立關(guān)系式 求最值的常用方法是運(yùn)用函數(shù)或利用基本不等式 解題中需注意函數(shù)的定義域及基本不等式成立的條件 變式備選 如圖所示 在棱長(zhǎng)為1的正方體abcd a1b1c1d1中 點(diǎn)m在ad1上移動(dòng) 點(diǎn)n在bd上移動(dòng) d1m dn a 0 a 連接mn 1 證明對(duì)任意a 0 總有mn 平面dcc1d1 2 當(dāng)a為何值時(shí) mn的長(zhǎng)最小 解析 1 作mp ad 交dd1于p 作nq bc 交dc于q 連接pq 由題意得mp nq 且mp nq 則四邊形mnqp為平行四邊形 mn pq 又pq平面dcc1d1 mn平面dcc1d1 mn 平面dcc1d1 2 由 1 知四邊形mnqp為平行四邊形 mn pq 由已知得d1m dn a dd1 ad dc 1 ad1 bd d1p 1 a dq 1 a 即d1p dq mn pq 故當(dāng)a 時(shí) mn的長(zhǎng)有最小值 即當(dāng)m n分別移動(dòng)到ad1 bd的中點(diǎn)時(shí) mn的長(zhǎng)最短 此時(shí)mn的長(zhǎng)為 滿分指導(dǎo) 平行關(guān)系證明題的規(guī)范解答 典例 12分 2012 南通模擬 已知正方體abcd a1b1c1d1 aa1 2 e為棱cc1的中點(diǎn) 1 求證 ac 平面b1de 2 求三棱錐a bde的體積 解題指南 1 利用面面平行證明線面平行 2 確定三棱錐的底面及高 根據(jù)公式求解 規(guī)范解答 1 取bb1的中點(diǎn)f 連接af cf ef 1分 e f分別是cc1 bb1的中點(diǎn) ceb1f 四邊形b1fce是平行四邊形 cf b1e 3分 e f是cc1 bb1的中點(diǎn) efbc 又bcad efad 四邊形adef是平行四邊形 5分 af ed af cf f b1e ed e 平面acf 平面b1de 7分又ac平面acf ac 平面b1de 8分 2 由條件得 11分即三棱錐a bde的體積為 12分 閱卷人點(diǎn)撥 通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié) 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2012 珠海模擬 對(duì)于平面 和直線a b m n 下列命題中是真命題的是 a 若a m a n m n 則a b 若a b b 則a c 若a b a b 則 d 若 a b 則a b 解析 選d 對(duì)于a 只有當(dāng)m n相交時(shí) a 對(duì)于b 還可能a 對(duì)于c 只有當(dāng)a b相交時(shí) 故選d 2 2012 深圳模擬 能保證直線a與平面 平行的條件是 a a b a b b b a b c b c a b a c d b a a b a c b d b 且ad bc 解析 選a b a b a 或a 又 a a 3 2011 福建高考 如圖 正方體abcd a1b1c1d1中 ab 2 點(diǎn)e為ad的中點(diǎn) 點(diǎn)f在cd上 若ef 平面ab1c 則線段ef的長(zhǎng)度等于 解析 ef 平面ab1c ef平面adc 平面adc 平面ab1c ac ef ac 又 e為ad的中點(diǎn) f為cd的中點(diǎn) ef為