高中數(shù)學(xué) 221《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》同步課件 新人教A版選修11.ppt

2 2雙曲線 1 知識(shí)與技能記住雙曲線的定義 會(huì)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 過(guò)程與方法會(huì)用待定系數(shù)法確定雙曲線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較 加以區(qū)分 本節(jié)重點(diǎn) 雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 本節(jié)難點(diǎn) 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 1 對(duì)于雙曲線定義的理解 要抓住雙曲線上的點(diǎn)所要滿足的條件 即雙曲線上點(diǎn)的幾何性質(zhì) 可以類(lèi)比橢圓的定義來(lái)理解 2 在理解雙曲線的定義時(shí) 要注意到對(duì) 定值 的限定 即定值大于零且小于 f1f2 這樣就能避免忽略?xún)煞N特殊情況 即 當(dāng)定值等于 f1f2 時(shí) 軌跡是兩條射線 當(dāng)定值大于 f1f2 時(shí) 點(diǎn)不存在 3 類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法 建立適當(dāng)坐標(biāo)系 推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 但要注意在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中 是令b2 a2 c2 而在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中 是令b2 c2 a2 1 當(dāng)用雙曲線的定義來(lái)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) 可直接求出a b 寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方程 而無(wú)須由距離公式寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程 2 利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí) 應(yīng)先判斷焦點(diǎn)所在位置 不能確定時(shí)應(yīng)分類(lèi)討論 3 已知雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問(wèn)題 往往利用正弦定理 余弦定理以及雙曲線的定義列出關(guān)系式 4 當(dāng)利用雙曲線的定義求解軌跡方程問(wèn)題時(shí) 要注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法 5 利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟 1 確定焦點(diǎn)位置 根據(jù)條件判定雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上 還是兩坐標(biāo)軸都有可能 3 確立參數(shù)的關(guān)系式 根據(jù)已知條件列出關(guān)于a b c的方程組 4 解方程組 定形式 解上述方程組 得到參數(shù)a b c的值 代入所設(shè)方程即為所求 1 在平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1 f2距離之差的絕對(duì)值等于定值2a 大于0且小于 f1f2 的點(diǎn)的軌跡叫做 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的 兩焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線的 2 在雙曲線的定義中 條件0 f1f2 則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 3 雙曲線定義中應(yīng)注意關(guān)鍵詞 若去掉定義中 三個(gè)字 動(dòng)點(diǎn)軌跡只能是 雙曲線 焦點(diǎn) 焦距 兩條射線 不存在 絕對(duì)值 絕對(duì)值 雙曲線一支 點(diǎn)評(píng) 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般應(yīng)先判定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸 其次再確定a b的值 若已知雙曲線經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn) 求雙曲線方程 設(shè)所求雙曲線方程為ax2 by2 1 ab 0 列出關(guān)于a b的二元一次方程組 求出a b既避免了討論又降低了未知數(shù)的次數(shù) 大大減少所需的運(yùn)算 體現(xiàn)了由繁至簡(jiǎn)的化歸思想 例2 已知圓c1 x 3 2 y2 1和圓c2 x 3 2 y2 9 動(dòng)圓m同時(shí)與圓c1與圓c2相外切 求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程 解析 如圖所示 設(shè)動(dòng)圓m與圓c1及圓c2分別外切于點(diǎn)a和b 根據(jù)兩圓外切的充要條件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb ma mb mc1 ac1 mc2 bc2 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 這表明動(dòng)點(diǎn)m與兩定點(diǎn)c2 c1的距離的差是常數(shù)2 根據(jù)雙曲線的定義 動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為雙曲線的左支 點(diǎn)m與c2的距離大 與c1的距離小 這里a 1 c 3 則b2 8 設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為 x y 則其軌跡方程為x2 1 x 0 點(diǎn)評(píng) 1 本題是用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 當(dāng)判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支 且可求出a b時(shí) 直接根據(jù)定義寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程 而無(wú)需用距離公式寫(xiě)出方程 再通過(guò)復(fù)雜的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn) 2 由于動(dòng)點(diǎn)m到兩定點(diǎn)c2 c1的距離的差為常數(shù) 而不是差的絕對(duì)值為常數(shù) 因此 其軌跡只能是雙曲線的一支 這一點(diǎn)要特別注意 已知 abc的底邊bc長(zhǎng)為12 且底邊固定 頂點(diǎn)a是動(dòng)點(diǎn) 使sinb sinc sina 求點(diǎn)a的軌跡 解析 由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性 可設(shè)點(diǎn)p在第一象限 由雙曲線的方程 知a 3 b 4 c 5 由雙曲線的定義 得 pf1 pf2 2a 6 上式兩邊平方 得 pf1 2 pf2 2 36 2 pf1 pf2 36 64 100 由余弦定理 得 點(diǎn)評(píng) 在焦點(diǎn)三角形中 正弦定理 余弦定理 雙曲線的定義等是經(jīng)常使用的知識(shí)點(diǎn) 另外 還經(jīng)常結(jié)合 pf1 pf2 2a 運(yùn)用平方的方法 建立它與 pf1 pf2 的聯(lián)系 請(qǐng)同學(xué)們多加注意 解析 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為f1 右焦點(diǎn)為f2 如圖所示 由雙曲線的定義知 pf1 pf2 2a 在 f1pf2中 由余弦定理 得 例4 設(shè)聲速是am s 在相距10am的a b兩個(gè)哨所 聽(tīng)到一炮彈爆炸聲的時(shí)間相差6s 且b處的聲強(qiáng)是a處聲強(qiáng)的4倍 試確定炮彈爆炸點(diǎn)p的位置 即確定p點(diǎn)到ab中點(diǎn)m的距離及 pmb的大小 注 聲強(qiáng)與距離的平方成反比 點(diǎn)評(píng) 本題是實(shí)際問(wèn)題 必須抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題 建立數(shù)學(xué)模型后 利用所學(xué)知識(shí)解決 本題符合雙曲線的定義 故可利用雙曲線方程求解 例5 已知雙曲線8kx2 ky2 8的一個(gè)焦點(diǎn)為 0 3 求k的值 一 選擇題1 已知兩定點(diǎn)f1 5 0 f2 5 0 動(dòng)點(diǎn)p滿足 pf1 pf2 2a 則當(dāng)a 3和5時(shí) p點(diǎn)的軌跡為 a 雙曲線和一直線b 雙曲線和一條射線c 雙曲線的一支和一條射線d 雙曲線的一支和一條直線 答案 c 解析 當(dāng)a 3時(shí) pf1 pf2 2a 6 f1f2 10 由雙曲線定義知 p點(diǎn)軌跡是雙曲線的右支 當(dāng)a 5時(shí) pf1 pf2 2a 10 f1f2 p點(diǎn)軌跡是以f2為始點(diǎn)的一條射線 2 在方程mx2 my2 n中 若mn 0 則方程的曲線是 a 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓b 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線c 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓d 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 答案 d 答案 a 解析 a2 20 b2 5 c2 25 c 5 焦距2c