高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系精品課件 新人教A版.ppt

8 3空間點(diǎn) 直線 平面之間的位置關(guān)系要點(diǎn)梳理1 平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi) 那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi) 公理2 過(guò)的三點(diǎn) 有且只有一個(gè)平面 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn) 那么它們有且只有過(guò)該點(diǎn)的公共直線 兩點(diǎn) 不共線 一條 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 2 直線與直線的位置關(guān)系 1 位置關(guān)系的分類 2 異面直線所成的角 定義 設(shè)a b是兩條異面直線 經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)o作直線a a b b 把a(bǔ) 與b 所成的叫做異面直線a b所成的角 或夾角 范圍 平行 相交 任何 銳角或直角 3 直線與平面的位置關(guān)系有 三種情況 4 平面與平面的位置關(guān)系有 兩種情況 5 平行公理平行于的兩條直線互相平行 6 定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行 那么這兩個(gè)角 平行 相交 在平面內(nèi) 平行 相交 同一條直線 相等或互補(bǔ) 基礎(chǔ)自測(cè)1 若三個(gè)平面兩兩相交 且三條交線互相平行 則這三個(gè)平面把空間分成 a 5部分b 6部分c 7部分d 8部分解析如圖所示 三個(gè)平面 兩兩相交 交線分別是a b c且a b c 則 把空間分成7部分 c 2 直線a b c兩兩平行 但不共面 經(jīng)過(guò)其中兩條直線的平面的個(gè)數(shù)為 a 1b 3c 6d 0解析以三棱柱為例 三條側(cè)棱兩兩平行 但不共面 顯然經(jīng)過(guò)其中的兩條直線的平面有3個(gè) b 3 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是 a 異面b 平行c 相交d 以上都有可能解析如圖所示 a b c與d相交 a與d異面 d 4 如果兩條異面直線稱為 一對(duì) 那么在正方體的十二條棱中共有異面直線 a 12對(duì)b 24對(duì)c 36對(duì)d 48對(duì)解析如圖所示 與ab異面的直線有b1c1 cc1 a1d1 dd1四條 因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们艺襟w共有12條棱 排除兩棱的重復(fù)計(jì)算 共有異面直線 b 5 下列命題中不正確的是 沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線 分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面 一條直線和兩條異面直線中的一條平行 則它和另一條直線不可能平行 一條直線和兩條異面直線都相交 則它們可以確定兩個(gè)平面 解析沒(méi)有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面 故 錯(cuò) 命題 錯(cuò) 此時(shí)兩直線有可能相交 命題 正確 因?yàn)槿糁本€a和b異面 c a 則c與b不可能平行 用反證法證明如下 若c b 又c a 則a b 這與a b異面矛盾 故cb 命題 也正確 若c與兩異面直線a b都相交 由公理3可知 a c可能確定一個(gè)平面 b c也可確定一個(gè)平面 這樣 a b c共確定兩個(gè)平面 答案 題型一平面的基本性質(zhì)如圖所示 空間四邊形abcd中 e f g分別在ab bc cd上 且滿足ae eb cf fb 2 1 cg gd 3 1 過(guò)e f g的平面交ad于h 連接eh 1 求ah hd 2 求證 eh fg bd三線共點(diǎn) 證明線共點(diǎn)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問(wèn)題 其基本理論是把直線看作兩平面的交線 點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn) 由公理3得證 題型分類深度剖析 1 解 ef ac ef 平面acd 而ef 平面efgh 且平面efgh 平面acd gh ef gh 而ef ac ac gh 即ah hd 3 1 2 證明 ef gh 且 ef gh 四邊形efgh為梯形 令eh fg p 則p eh 而eh 平面abd p fg fg 平面bcd 平面abd 平面bcd bd p bd eh fg bd三線共點(diǎn) 所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn) 1 證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3 2 證明三線共點(diǎn)的思路是 先證兩條直線交于一點(diǎn) 再證明第三條直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn) 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題 實(shí)際上 點(diǎn)共線 線共點(diǎn)的問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的問(wèn)題來(lái)處理 知能遷移1如圖所示 四邊形abef和abcd都是直角梯形 bad fab 90 bcad befa g h分別為fa fd的中點(diǎn) 1 證明 四邊形bchg是平行四邊形 2 c d f e四點(diǎn)是否共面 為什么 1 證明由已知fg ga fh hd 可得ghad 又bcad ghbc 四邊形bchg為平行四邊形 2 解方法一由beaf g為fa中點(diǎn)知 befg 四邊形befg為平行四邊形 ef bg 由 1 知bgch ef ch ef與ch共面 又d fh c d f e四點(diǎn)共面 方法二如圖所示 延長(zhǎng)fe dc分別與ab交于點(diǎn)m m beaf b為ma中點(diǎn) bcad b為m a中點(diǎn) m與m 重合 即fe與dc交于點(diǎn)m m c d f e四點(diǎn)共面 題型二異面直線的判定 12分 如圖所示 正方體abcd a1b1c1d1中 m n分別是a1b1 b1c1的中點(diǎn) 問(wèn) 1 am和cn是否是異面直線 說(shuō)明理由 2 d1b和cc1是否是異面直線 說(shuō)明理由 1 易證mn ac am與cn不異面 2 由圖易判斷d1b和cc1是異面直線 證明時(shí)常用反證法 解 1 不是異面直線 理由 連接mn a1c1 ac m n分別是a1b1 b1c1的中點(diǎn) mn a1c1 又 a1ac1c a1acc1為平行四邊形 a1c1 ac mn ac a m n c在同一平面內(nèi) 故am和cn不是異面直線 2 是異面直線 證明如下 abcd a1b1c1d1是正方體 b c c1 d1不共面 3分 6分 假設(shè)d1b與cc1不是異面直線 則存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 與abcd a1b1c1d1是正方體矛盾 假設(shè)不成立 即d1b與cc1是異面直線 解決這類開(kāi)放型問(wèn)題常用的方法有直接法 即由條件入手 經(jīng)過(guò)推理 演算 變形等 如第 1 問(wèn) 還有假設(shè)法 特例法 有時(shí)證明兩直線異面用直接法較難說(shuō)明問(wèn)題 這時(shí)可用反證法 即假設(shè)兩直線共面 由這個(gè)假設(shè)出發(fā) 來(lái)推證錯(cuò)誤 從而否定假設(shè) 則兩直線是異面的 10分 12分 知能遷移2 1 如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖 其中四邊形abcd為正方形 e f分別為pa pd的中點(diǎn) 在此幾何體中 給出下面四個(gè)結(jié)論 直線be與直線cf是異面直線 直線be與直線af是異面直線 直線ef 平面pbc 平面bce 平面pad 其中正確結(jié)論的序號(hào)是 a b c d 解析由ef ad bc 知be cf共面 錯(cuò) 正確 正確 錯(cuò) 故選b b 2 如圖 正方體abcd a1b1c1d1中 m n分別為棱c1d1 c1c的中點(diǎn) 有以下四個(gè)結(jié)論 直線am與cc1是相交直線 直線am與bn是平行直線 直線bn與mb1是異面直線 直線am與dd1是異面直線 其中正確的結(jié)論為 注 把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上 解析直線am與cc1是異面直線 直線am與bn也是異面直線 故 錯(cuò)誤 題型三求異面直線所成的角正方體abcd a1b1c1d1中 1 求ac與a1d所成角的大小 2 若e f分別為ab ad的中點(diǎn) 求a1c1與ef所成角的大小 1 平移a1d到b1c 找出ac與a1d所成的角 再計(jì)算 2 可證a1c1與ef垂直 解 1 如圖所示 連接b1c 由abcd a1b1c1d1是正方體 易知a1d b1c 從而b1c與ac所成的銳角或直角就是ac與a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d與ac所成角為60 2 如圖所示 連接ac bd 在正方體abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f為ab ad的中點(diǎn) ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1與ef所成的角為90 求異面直線所成的角常采用 平移線段法 平移的方法一般有三種類型 利用圖中已有的平行線平移 利用特殊點(diǎn) 線段的端點(diǎn)或中點(diǎn) 作平行線平移 補(bǔ)形平移 計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行 知能遷移3 2009 全國(guó) 理 7 已知三棱柱abc a1b1c1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等 a1在底面abc上的射影d為bc的中點(diǎn) 則異面直線ab與cc1所成的角的余弦值為 a b c d 解析方法一如圖 1 a1d 平面abc 且d為bc的中點(diǎn) 設(shè)三棱柱的各棱長(zhǎng)為1 則ad 由a1d 平面abc知a1d rt a1bd中 易求a1b 圖 1 cc1 aa1 ab與aa1所成的角即為ab與cc1所成的角 在 a1ba中 由余弦定理可知cos a1ab ab與cc1所成的角的余弦值為方法二如圖 2 建立空間直角坐標(biāo)系 因?yàn)閍1d 平面abc ad bc 由aa1 1知 圖 2 答案d 方法與技巧1 主要題型的解題方法 1 要證明 線共面 或 點(diǎn)共面 可先由部分直線或點(diǎn)確定一個(gè)平面 再證其余直線或點(diǎn)也在這個(gè)平面內(nèi) 即 納入法 2 要證明 點(diǎn)共線 可將線看作兩個(gè)平面的交線 只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn) 根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上 因此共線 2 判定空間兩條直線是異面直線的方法 1 判定定理 平面外一點(diǎn)a與平面內(nèi)一點(diǎn)b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)b的直線是異面直線 思想方法感悟提高 2 反證法 證明兩線不可能平行 相交或證明兩線不可能共面 從而可得兩線異面 3 求兩條異面直線所成角的大小 一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線 把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決 根據(jù)空間等角定理及推論可知 異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān) 往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上 特別地 可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn) 總之 頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān) 以便于計(jì)算 具體步驟如下 1 利用定義構(gòu)造角 可固定一條 平移另一條 或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置 頂點(diǎn)選在特殊的位置上 2 證明作出的角即為所求角 3 利用三角形來(lái)求解 失誤與防范1 異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 而不是分別在兩個(gè)平面內(nèi) 一定要理解定義 2 求異面直線所成的角要特別注意異面直線所成角的范圍是 0 90 一 選擇題1 已知平面外一點(diǎn)p和平面內(nèi)不共線三點(diǎn)a b c a b c 分別在pa pb pc上 若延長(zhǎng)a b b c a c 與平面分別交于d e f三點(diǎn) 則d e f三點(diǎn) a 成鈍角三角形b 成銳角三角形c 成直角三角形d 在一條直線上解析d e f為已知平面與平面a b c 的公共點(diǎn) 由公理2知 d e f共線 d 定時(shí)檢測(cè) 2 關(guān)于直線和平面的四個(gè)命題中不正確的是 a 平行于同一平面的兩個(gè)平面一定平行b 平行于同一直線的兩條直線一定平行c 垂直于同一直線的兩條直線一定平行d 垂直于同一平面的兩條直線一定平行解析垂直于同一直線的兩條直線不一定平行 還可能相交或異面 c 3 已知 是兩個(gè)不同的平面 直線 直線 命題p a與b沒(méi)有公共點(diǎn) 命題q 則p是q的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件解析當(dāng)a b都平行于 與 的交線時(shí) a與b無(wú)公共點(diǎn) 但 與 相交 當(dāng) 時(shí) a與b一定無(wú)公共點(diǎn) q p 但pq b 4 若p是兩條異面直線l m外的任意一點(diǎn) 則 a 過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l m都平行b 過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l m都垂直c 過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l m都相交d 過(guò)點(diǎn)p有且僅有一條直線與l m都異面解析對(duì)于選項(xiàng)a 若過(guò)點(diǎn)p有直線n與l m都平行 則l m 這與l m異面矛盾 對(duì)于選項(xiàng)b 過(guò)點(diǎn)p與l m都垂直的直線 即過(guò)p且與l m的公垂線段平行的那一條直線 對(duì)于選項(xiàng)c 過(guò)點(diǎn)p與l m都相交的直線有一條或零條 對(duì)于選項(xiàng)d 過(guò)點(diǎn)p與l m都異面的直線可能有無(wú)數(shù)條 b 5 正四面體pabc中 m為棱ab的中點(diǎn) 則pa與cm所成角的余弦值為 a b c d 解析如圖所示 取pb中點(diǎn)n 連接cn mn cmn為pa與cm所成的角 或所成角的補(bǔ)角 設(shè)pa 2 則cm mn 1 cn cos cmn c 6 正四棱錐s abcd的側(cè)棱長(zhǎng)為 底面邊長(zhǎng)為 e為sa的中點(diǎn) 則異面直線be和sc所成的角為 a 30 b 45 c 60 d 90 解析設(shè)ac中點(diǎn)為o 則oe sc 連結(jié)bo 則 beo 或其補(bǔ)角 即為異面直線be和sc所成的角 答案c 二 填空題7 如圖所示 在正三棱柱abc a1b1c1中 d是ac的中點(diǎn) aa1 ab 1 則異面直線ab1與bd所成的角為 解析在平面abc內(nèi) 過(guò)a作db的平行線ae 過(guò)b作bh ae于h 連接b1h 則在rt ahb1中 b1ah為ab1與bd所成角 設(shè)ab 1 則a1a b1a ah bd cos b1ah b1ah 60 60 8 在圖中 g h m n分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn) 則表示直線gh mn是異面直線的圖形有 填上所有正確答案的序號(hào) 解析圖 1 中 直線gh mn 圖 2 中 g h n三點(diǎn)共面 但m 面ghn 因此直線gh與mn異面 圖 3 中 連接mg gm hn 因此gh與mn共面 圖 4 中 g m n共面 但h 面gmn gh與mn異面 所以圖 2 4 中g(shù)h與mn異面 答案 2 4 9 已知a b為不垂直的異面直線 是一個(gè)平面 則a b在 上的射影可能是 兩條平行直線 兩條互相垂直的直線 同一條直線 一條直線及其外一點(diǎn) 則在上面的結(jié)論中 正確結(jié)論的編號(hào)是 寫出所有正確結(jié)論的編號(hào) 解析 對(duì)應(yīng)的情況如下 用反證法證明 不可能 三 解答題10 在正方體abcd a1b1c1d1中 e為ab的中點(diǎn) f為a1a的中點(diǎn) 求證 1 e c d1 f四點(diǎn)共面 2 ce d1f da三線共點(diǎn) 證