歐拉平衡微分方程.ppt

2 2歐拉平衡微分方程 討論在平衡狀態(tài)下 作用于液體上的表面力和質(zhì)量力之間應(yīng)滿足的關(guān)系 建立表示液體平衡的微分方程 2 2 1歐拉平衡微分方程 2 2 2重力下流體的壓強分布規(guī)律 2 2 1歐拉平衡微分方程 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 二 歐拉平衡微分方程的綜合形式 三 質(zhì)量力的勢函數(shù) 有勢力 等壓面 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 如圖2 5 在平衡液體中 取一微小六面體 為研究的方便 使其各邊分別平行于坐標(biāo)軸 邊長分別為 dx dy dz 其形心點為M x y z 點M的壓強為p x y z 圖2 5 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 由于六面體各面的形心到點M的距離很小 壓強在M點附近的變化可用泰勒級數(shù)表示 且可忽略二階以上的微量 于是 圖2 5 分析作用于六面體表面的力 為簡化 只討論X方向 Y Z方向同理可得 1 表面力 只有靜水壓力 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) a b d c 面上的中心點M1 x dx 2 y z 其壓強為 abdc面上的中心點M2 x dx 2 y z 其壓強為 圖2 5 M1 M2 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 作用于abdc面上的靜水總壓力為 作用于a b d c 面上的靜水總壓力為 圖2 5 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量為 X Y Z 六面體的質(zhì)量為 2 質(zhì)量力F 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 根據(jù)平衡條件 Fx 0 則有 除以dxdydz 得 同理可得 2 2 2 3 一 歐拉平衡微分方程的推導(dǎo) 歐拉平衡微分方程 表明 在靜止液體中 靜水壓強沿某方向的變化率與該方向單位體積上的質(zhì)量力相等 2 3 二 歐拉平衡微分方程的綜合形式 將歐拉平衡微分方程分別乘以dx dy dz 后相加得 2 4 綜合形式 壓強差公式 三 質(zhì)量力的勢函數(shù) 有勢力 等壓面 2 4 式左邊是p x y z 的全微分 右邊括號內(nèi)各項之和也應(yīng)是某一函數(shù)的全微分 這個函數(shù)是U x y z 稱為質(zhì)量力的勢函數(shù) 簡稱力勢函數(shù) 有力勢函數(shù)存在的力場 叫勢場 2 4 三 質(zhì)量力的勢函數(shù) 有勢力 等壓面 當(dāng)力勢函數(shù)存在時 有 所以 2 5 只有當(dāng)質(zhì)量力是有勢力時 液體才處于平衡狀態(tài) 三 質(zhì)量力的勢函數(shù) 有勢力 等壓面 2 5 2 5 表明壓強在空間的變化是由質(zhì)量力引起的 等壓面 在同一種連續(xù)液體中 由壓強相等的各點所組成的面 在等壓面上 壓強p 常數(shù) const 于是 U 常數(shù) const 所以等壓面也是等勢面 三 質(zhì)量力的勢函數(shù) 有勢力 等壓面 等壓面的微分方程 即 2 6 等壓面的微分方程 dx dy dz是單位質(zhì)量力的微小位移在各坐標(biāo)軸方向的投影 2 6 表明 單位質(zhì)量力所做的微功等于零 由于質(zhì)量力和位移都不為零 所以在靜止液體中質(zhì)量力與等壓面正交 三 質(zhì)量力的勢函數(shù) 有勢力 等壓面 因此 在質(zhì)量力只有重力時 等壓面為一水平面 常見的等壓面 1 液體的自由表面2 不相混合的兩種液體的交界面 圖2 6 2 2 2重力下流體的壓強分布規(guī)律 一 重力下流體的壓強分布規(guī)律推導(dǎo) 二 靜水壓強基本方程的意義 一 重力下流體的壓強分布規(guī)律推導(dǎo) 靜止的液體 所受的質(zhì)量力只有重力 則X 0 Y 0 Z g 代入壓強差公式 取圖2 7所示坐標(biāo)系 一 重力下流體的壓強分布規(guī)律推導(dǎo) 對均質(zhì)流體 const 則 即 2 8 上式表明 在重力作用下 不可壓縮的靜止液體中各點的相等 即對液體中的任兩點 2 9 靜力學(xué)的基本方程 2 7 一 重力下流體的壓強分布規(guī)律推導(dǎo) 在自由表面上 即 若取h的方向與z相反 則 2 11 靜水壓強的基本方程 2 10 h 自由液面以下的淹沒深度p0 液面壓強 則 z z0 0 p p0 一 重力下流體的壓強分布規(guī)律推導(dǎo) 2 液重壓強 h 即從該點到液體自由表面的單位面積上的液柱重量 式 2 11 靜水壓強的基本方程表明 靜止液體中的任一點的壓強由兩部分組成 1 表面壓強p0 液面壓強 等值傳遞到液體內(nèi)各點 巴斯卡原理 一 重力下流體的壓強分布規(guī)律推導(dǎo) 例2 1一封閉水箱 如圖2 8液面上壓強p0 120kN m2 求h 0 4m處A點的壓強 圖2 8 二 靜水壓強基本方程的意義 水頭和單位勢能 式中 z 位置高度 位置水頭 是研究點相對于某一水平面 基準(zhǔn)面 的高度 從能量的角度看 z是單位重量液體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位置勢能 單位位能 下面從能量和幾何的角度分析各項的意義 下面從能量和幾何的角度分析各項的意義 液柱高度 壓強水頭 研究點在自由液面以下的高度 從能量的角度看 是單位重量液體所具有的壓能 單位壓能 測壓管水頭 測管水頭 從能量的角度看 是單位重量液體所具有的勢能 單位勢能 式中各符號的規(guī)定 表明 靜止液體內(nèi)各點單位重量液體