§5.1 非簡并定態(tài)微擾理論.doc

5.1 非簡并定態(tài)微擾理論重點(diǎn)： 微擾的條件，微擾能量二級修正的求解（一）基本方程 假設(shè)體系的哈密頓算符H不顯含時間，所以體系有確定的能量，而且可分為兩部分：一部分是 ，表示體系未受微擾的哈密頓算符；另一部分是 ，是加于 上的微擾 (5.1-1) 以 和 表示 的本征函數(shù)與相應(yīng)的本征值，對未受擾的體系，薛定諤方程 （5.1-2） 的解是已知的，對于被微擾的體系有 （5.1-3a） 即 （5.1-3b） （5.1-4） 并在最后運(yùn)算結(jié)果令 ，利用（5.1-4），則（5.1-3b）可寫成 （5.1-5） 由于 、En都和微擾有關(guān)，可把它們看作是表征微擾程度參數(shù) 的函數(shù)，將它們展為 的冪級數(shù)。 （5.1-6） （5.1-7） 式中 、 依次是體系未受微擾時的能量和波函數(shù)，稱為零級近似能量和零級近似波函數(shù)， 和 是能量和波函數(shù)的一級修正，等等。 將（5.1-6），（5.1-7）式代入（5.1-5）式中，得 （5.1-8） 空虛等式兩邊 同次冪的系數(shù)應(yīng)相等，由此得到下面一系列方程： （5.1-9） （5.1-10） （5.1-11） 將 省去，為此在（5.1-4）式中令 ，得出 ，故可把 ，把 ， 理解為能量和波函數(shù)的一級修正。 （二）一級微擾 （1）能量的一級修正 為了求 ，以 左乘（5.1-10）式兩邊，并對整個空間積分 （5.1-12） 注意 是厄密算符， 是實(shí)數(shù)，則上式左邊 （5.1-13） 于是由（5.1-12）式，注意到 的正交歸一性，得到 （5.1-14） 即能量的一級修正值 等于 在 態(tài)中的平均值。 （2）波函數(shù)的一級修正 已知 ，由（5.1-10）式可求得 。為此我們將 按 的本征函數(shù)系展開 （5.1-15） 在上式中，若決定 ，便可求得 。為此，將上式代入（5.1-10）式，并注意 ，得 以 左乘上式兩邊后，對整個空間積分，并注意到 的正交歸一性： 得到 （5.1-16） 令 （5.1-17）稱為微擾矩陣元，于是由（5.1-16）式可得 （5.1-18） 代入（5.1-15）式，得 （5.1-19） 上式求和號上角加撇表示求和時除去m=n的項(xiàng)。 （三）二級微擾 為了求得量的二級修正，類似求一級微擾的方法，將（5.1-15）代入（5.1-11）式，并用 左乘（5.1-11）式兩邊后，對整個空間積分得 這里應(yīng)用了 的正交歸一性。和（5.1-13）式一樣，上式左邊為零，右邊第二項(xiàng)由于 也為零，于是有 利用（5.1-18）式得 （5.1-20） 上式求和號上角加一撇表示求和時要除去l=n的項(xiàng)，最后一步是因?yàn)?是厄密算符，由（5.1-17）式有 。例 題 1 轉(zhuǎn)動慣量為I，電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場 中，如果電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級修正。 【解】：轉(zhuǎn)子在電場中的勢能 取 的方向?yàn)閆軸的方向，則 體系的哈密頓算符 其中 其本征函數(shù)和本征能量為 基態(tài)波函數(shù) 能量的零級近似 能量的一級修正項(xiàng) =0 因?yàn)椋?即 二級修正： 2 設(shè)一體系未受微擾作用時只有兩個能級：E01及E02，現(xiàn)在受到微擾 的作用，微擾矩陣元為 都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正項(xiàng)。 【解】：已知 能量的一級修正值： 能量一級近似 能量的二級修正： 能量的二以級近似 3 一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場 作用，