對質點系角動量的討論.doc

對質點系角動量的討論摘要：在理論力學教材中角動量定理有各種不同表達式，對質點系對慣性系和質心系的角動量定理進行了探討，對質點系的角動量定理進行了歸納與比較，分清其各個適用條件。關鍵詞:參考系；質心；瞬心；角動量. Exploration of angular momeneum theorem of a system of particlesAbstract Textbooks in theoretical mechanics theorem of angular momentum, different expressions, in which the angular momentum of the theorem of particles were discussed and compared to distinguish the various application conditions Key words Reference system; mass; instantaneous center; angular momentum.引言角動量不但與參考系有關,而且還與參考點有關, 在理論力學教材中給出了角動量定理在不同參考系中對不同參考點的各種表達式。對此進行了分析、比較與歸納。明確在質點系下不同參考系和不同參考點下的各種表達式的區(qū)別、聯(lián)系及各自的適用條件，總結了質點系下的不同表達式。對其做了一定程度的討論。1.質點系對參考點的角動量定理定義質點系內各質點對于參考點O的角動量的矢量和稱為質點系對O點的角動量1： 式中是相對于慣性系的。質點對于參考點的角動量定理：取第i個質點：對上式中所有質點求和得：對O點的力矩為: 如圖（1） 圖（1） 上式就是質點系對某參考點的角動量定理.質點對固定點的角動量對時間的微商，等于作用于該質點上的力對該點的力矩。對于質點系，由于其內各質點間相互作用的內力服從牛頓第三定律，因而質點系的內力對任一點的主矩為零。利用內力的這一特性，即可導出質點系的角動量定理：質點系對任一固定點O的角動量對時間的微商等于作用于該質點系的諸外力對O點的力矩的矢量和。2.關于力矩的表達式對于力矩,無論是在慣性系中對定點O或是在非慣性系中對定點P (相對O 點位矢為rP) 計算力矩總有 上式中為質點系受到的合外力矢量和，和別為在慣性系中對O點和在非慣性系中對P點的力矩2。3. 角動量定理的各種數學表達式3表1 數學表達式參考系參考點角動量定理數學表達式角動量表達式 慣 性系定點O動點P質心C瞬心a (1) （2） （3） （4） 質心系 質心C定點P （5） （6） 3.1 對慣性系中L的討論表中給出的角動量L的各種表達式間有一定聯(lián)系。在慣性系中對動點P(或C、a) 的角。動量(或 、) 可表示為 （7）式中, （8）式(7)表明:質點系相對慣性系中變動參考點P (或C、a) 的角動量(或、) ,等于其相對定點O的角動量與其總動量平移到點P或C、a后相對同一定點O的角動量之差.當動點P 就是質心C 時, 則由式(7)得到一般教材中給出的結果 若把式(8) 代入式(7) , 可得到一個非常有用的公式,即 = (9)式(9) 表明:質點系相對慣性系中動點P 的角動量, 等于其對質心C 的角動量與質點系動量對P點的角動量之矢量和4。3.1.1 慣性系中對動點和瞬心的角動量定理討論在慣性系表中對于動點P的角動量定理數學表達式和瞬心a的角動量定理數學表達式實質上是一致的.這表明:在慣性系中對質心之外的動點P(也可以是瞬心a) ,質點系所受合外力矩并不等于角動量的時間變化率,出現(xiàn)了附加項.若參考點P固定(=0) ,則附加項為零,式(2) 變?yōu)槭?1);若動點P (或瞬心a)的速度(或)與質心速度平行,則附加項也為零, 式(2) 與(1) 等價; 若動點P的速度=恒矢量, 雖有=0 , 但只要不平行,則附加項也不為零. 由此可見,一般情況下,附加項與動點P的速度有關,與動點P的加速度a、P無關5。3.2 對非慣性系（或質點系）中L的討論在非慣性系(或質心系) 中對定點P(設與上述慣性系中P 點是同一點)的角動量LP 可表示為 式(10)中(10)表明:在非慣性系中對定點P的角動量,等于其對質心C 的角動量與質心C對點P 的位矢與叉積之矢量和。不同雖然式(10)與式(9)形式相似,但其本質。式(9)為在慣性系中對動點P 計算角動量，而式(10)為在非慣性系中對同一點P(為定點)計算角動量?？梢?在不同參考系中即便是對同一點(如P點) 計算角動量,一般也不相等。但對質心C這個特殊點則恒有這是因為 顯然上式等號右邊第一項為第二項即有。這說明:在慣性系中對質心C計算角動量 與在質心系中對質心C計算角動量總是相等的, 這正是質心的一個重要特征。考慮到,則由式(9)與(10)可得 (11)從式(11) 可以看出,在兩個相互平動的參考系中對同一點P 計算角動量所得值一般是不等的,除非是對質心C或與 平行時才有 . 這一點應當特別注意6。3.2.1對質心的角動量定理的討論7本文表中式(3) 、(5) 在形式上與式(1)相同，說明角動量定理在慣性系中對質心C 或在平動質心系中對質心C 仍能成立(與在慣性系中對定點O有相同形式) . 但應注意：式(3)與式(5) 含義不同,式(3) 是在慣性系中對質心計算角動量LC 式(8) , 計算力矩不需考慮慣性力矩；式(5)是在非慣性系中對質心計算角動量 () ,但計算力矩需考慮到慣性力矩。式(5)中并未出現(xiàn)慣性力矩是因為平動慣性力過質心,對質心力矩為零的緣故。因此可得結論:式(5) 僅對平動質心系中的質心C才能成立,對質心之外的其他點一般不成立。4.其他在不同版本的理論力學教科書中討論剛體平面平行運動時, 給出的角動量定理對瞬心a成立的條件各不相同, 歸納起來為: ; 常矢量; Ia (對過瞬心a 的軸的轉動慣量)不變.由上述討論可以知道,它們實質上是一致的,具體應用時可選其中某一個條件判定定理是否成立即可8.結論本文通過質點系中各個不同參考系和參考點下的角動量的表達式，對其進行了一定程度的討論，在慣性系和質心系下不同的參考點的表達式不同，分析了其中的原因與聯(lián)系，總結了其中的區(qū)別和各個適用條件。參考文獻：1 漆安慎，杜嬋英力學M北京：高等教育出版社，1998：2502 王禮志，介萬奇質心系下力矩的分析M吉林：吉林大學出版社，1991：3843 劉華 孫風明對質點系角動量定理的討論J物理學報，1996，32(7)：6034 張揚名，王寧福慣性系中角動量的討論J物理周刊，2001，19(4)：2435 李瑞豐，非慣性系中角動量的分析J物理科學與工程，2001，19（4）：1