人教B版選修45 1．4　絕對值的三角不等式 學案.doc

14絕對值的三角不等式讀教材填要點絕對值的三角不等式(1)定理1：若a，b為實數(shù)，則|ab|a|b|.當且僅當ab0時，等號成立(2)定理2：設a，b，c為實數(shù)，則|ac|ab|bc|，等號成立(ab)(bc)0，即b落在a，c之間推論1：|a|b|ab|推論2：|a|b|ab|小問題大思維1|ab|與|a|b|，|ab|與|a|b|及|a|b|分別具有什么關系？提示：|a|b|ab|，|a|b|ab|a|b|.2不等式|a|b|ab|a|b|中“”成立的條件分別是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右側(cè)“”成立的條件是ab0，左側(cè)“”成立的條件是ab0，且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右側(cè)“”成立的條件是ab0，左側(cè)“”成立的條件是ab0且|a|b|.3絕對值不等式|ac|ab|bc|的幾何解釋是什么？提示：在數(shù)軸上，a，b，c所對應的點分別為a，b，c，當點b在點a，c之間時，|ac|ab|bc|；當點b不在點a，c之間時，|ac|ab|bc|.絕對值的三角不等式的應用例1(1)以下四個命題：若a，br，則|ab|2|a|ab|；若|ab|1，則|a|b|1；若|x|2，|y|3，則|；若ab0，則lg( lg|a|lg|b|)其中正確的命題有()a4個b3個c2個 d1個(2)不等式1成立的充要條件是_思路點撥本題考查絕對值的三角不等式定理的應用及充要條件等問題解答問題(1)可利用絕對值的三角不等式定理，結(jié)合不等式的性質(zhì)、基本定理等一一驗證；解答問題(2)應分|a|b|與|a|b|時，有|a|b|0，|ab|a|b|a|b|.必有1.即|a|b|是1成立的充分條件當1時，由|ab|0，必有|a|b|0.即|a|b|，故|a|b|是1成立的必要條件故所求為：|a|b|.答案(1)a(2)|a|b|(1)絕對值的三角不等式：|a|b|ab|a|b|的幾何意義是：三角形任意兩邊之差小于第三邊，三角形任意兩邊之和大于第三邊(2)對|a|b|ab|a|b|的詮釋：定理的構(gòu)成部分特征大小關系等號成立的條件左端|a|b|可能是負的中間部分中間部分為|ab|時，ab0，且|a|b|時，左邊的等號成立；中間部分為|ab|時，ab0，且|a|b|時，左邊等號成立中間部分|ab|肯定是非負的左端右端用“”連接時，ab0，右端取等號，ab0，且|a|b|時，左端取等號；用“”連接時，ab0，且|a|b|時，左端取等號，ab0，右端取等號右端|a|b|是非負的中間部分中間部分為|ab|時，ab0，等號成立；中間部分為|ab|時，ab0，等號成立.1(1)若x5，nn，則下列不等式：|xlg|5|lg|；|x|lg5lg；xlg5|lg|；|x|lg5|lg|.其中，能夠成立的有_(2)已知|a|b|，m，n，則m，n之間的大小關系是()amn bmncmn dmn解析：(1)01.lg0.由x5，并不能確定|x|與5的關系，可以否定，而|x|lg0，成立(2)|a|b|ab|a|b|，m1，n1.m1n.答案：(1)(2)d利用絕對值的三角不等式證明不等式例2已知a，br且a0，求證：.思路點撥本題的特點是絕對值符號較多，直接去掉絕對值符號較困難從所證的不等式可以看出，不等式的左邊為非負值，而不等式右邊的符號不定如果不等式右邊非正，這時不等式顯然成立；當不等式右邊為正值時，有|a|b|.所以本題應從討論|a|與|b|的大小入手，結(jié)合作差比較法，可以使問題得以解決精解詳析若|a|b|，左邊.，.左邊右邊若|a|0，右邊0，|xa|，|yb|，求證：|(xy)(ab)|2.(2)設f(x)x2x13，實數(shù)a滿足|xa|1，求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)證明：(1)|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|.|xa|，|yb|，|xa|yb|2.由得：|(xy)(ab)|2.(2)f(x)x2x13，|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|.又|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，|f(x)f(a)|2(|a|1).利用絕對值的三角不等式求最值例3已知a，br，且|ab1|1，|a2b4|4.求|a|b|的最大值思路點撥本題考查絕對值三角不等式的應用解答本題可先求出|ab|，|ab|的最值，再通過|a|b|與它們相等時進行討論求出最大值精解詳析|ab|(ab1)1|ab1|1|2，|ab|3(ab1)2(a2b4)5|3|ab1|2|a2b4|5324516.若ab0，則|a|b|ab|2；若ab0，則|a|b|ab|16.而當即a8，b8時，|a|b|取得最大值，且|a|b|ab|16.(1)求含絕對值的代數(shù)式的最值問題綜合性較強，本題直接求|a|b|的最大值比較困難，可采用|ab|，|ab|的最值，及ab0時，|a|b|ab|，ab0時，|a|b|ab|的定理，達到目的，其巧妙之處令人贊嘆不已(2)求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有：借助絕對值的定義，即零點分段；利用絕對值幾何意義；利用絕對值不等式性質(zhì)定理3對于實數(shù)x，y，若|x1|1，|y2|1，則|x2y1|的最大值為()a5 b4c8 d7解析：由題易得，|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值為5.答案：a對應學生用書p15 一、選擇題1已知實數(shù)a，b滿足ab|ab| b|ab|ab|c|ab|a|b| d|ab|a|b|解析：ab0，|ab|a|b|，又|ab|a|b|，|ab|a|b|ab|.答案：b2“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mr)的()a充分非必要條件b必要非充分條件c充要條件d非充分非必要條件解析：|xa|m，|ya|m，|xa|ya|2m.又|(xa)(ya)|xa|ya|，|xy|2m.但反過來不一定成立，如取x3，y1，a2，m2.5，|31|22.5，但|3(2)|2.5，|1(2)|2.5，|xy|2m不一定有|xa|m且|ya|m，故“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m”(x，y，a，mr)的充分非必要條件答案：a3設|a|1，|b|2 b|ab|ab|2c|ab|ab|2 d不能比較大小解析：當(ab)(ab)0時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|2，當(ab)(ab)0時，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|0時，p，q同號，則px與同號，|px|2，故2.答案：6(重慶高考)若不等式|2x1|x2|a2a2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：|2x1|x2|0，當且僅當x時取等號，因此函數(shù)y|2x1|x2|的最小值是.所以a2a2，即2a2a10，解得1a，即實數(shù)a的取值范圍是.答案：7不等式log3(|x4|x5|)a對于一切xr恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由絕對值的幾何意義知：|x4|x5|9，則log3(|x4|x5|)2，所以要使不等式log3(|x4|x5|)a對于一切xr恒成立，則需a2.答案：(，2)8設函數(shù)f(x)的定義域為r，若存在常數(shù)m0，使|f(x)|m|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f(x)為f函數(shù)給出下列函數(shù)：f(x)0；f(x)x2；f(x)(sin xcos x)；f(x)；f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，且滿足對一切實數(shù)x1，x2均有|f(x1)f(x2)|2|x1x2|.其中是f函數(shù)的序號是_解析：由|f(x)|m|x|，當x0時，知m，對于，有0，x0，故取m0即可；對于，由|x2|x|2，|x|，無最大值；對于，由f(x)2sin，而無最大值；對于，由，x0，只要取m即可；對于，令x20，x1x ，由f(0)0，知|f(x)|2|x|.答案：三、解答題9已知實數(shù)x，y滿足：|xy|，|2xy|，求證：|y|.證明：因為3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由題設知|xy|，|2xy|，從而3|y|，所以|y|.10設a，br，求證：.證明：法一：若ab0或ab0，不等式顯然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，(*)又，.又由(*)式可知.綜上可知.法二：若ab0或ab0，不等式顯然成立若ab0且ab0，|ab|a|b|，011.即0.取倒數(shù)得，又由法一知，原不等式成立法三：|a|b|ab|，|a|b|(|a|b|)|ab|ab|(|a|b|)|ab|，即(|a|b|)(1|ab|)|ab|(1|a|b|)兩邊同除以(1|ab|)(1|a|b|)得.又由法一知，原不等式成立法四：構(gòu)造函數(shù)f(x)，任取x1，x20，)且x1x2，有f(x1)f(x2)0.f(x)在0，)上為增函數(shù)又|a|b|ab|，f(|a|b|)f(|ab|)，即.又由法一知，所證不等式成立11已知|x12|1，|x22|1.(1)求證：2x1x26，|x1x2|2.(2)若f(x)x2x1，x1x2，求證：|x1x2|f(x1)f(x2)|5|x1x2|.證明：(1)|x12|1，|x2