蘇教版選修21 3.2.3　空間的角的計(jì)算 學(xué)案1.doc

3.2.3空間的角的計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)、難點(diǎn)1能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題2能運(yùn)用向量法求各種距離3體會(huì)空間向量解決立體幾何問題的三步曲.重點(diǎn)：1向量法求空間角的大??；2向量法求點(diǎn)到面的距離難點(diǎn)：1空間角與向量的應(yīng)用；2轉(zhuǎn)化思想在各種距離求法中的應(yīng)用.1兩條異面直線所成的角(1)范圍：兩異面直線所成的角的取值范圍是_(2)向量求法：設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則有cos |cosa，b|_.預(yù)習(xí)交流1(1)兩條異面直線所成的角就是它們的方向向量的夾角嗎？(2)已知直線l1的一個(gè)方向向量為a(1，2,1)，直線l2的一個(gè)方向向量為b(2，2,0)，則兩直線所夾角的余弦值為_2直線與平面所成的角(1)范圍：直線和平面所成角的取值范圍是_(2)向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為，a與u的夾角為，則有sin _.預(yù)習(xí)交流2直線與平面所成的角和直線方向向量與平面法向量的夾角有什么關(guān)系？3二面角(1)二面角的取值范圍是_(2)二面角的向量求法：若ab，cd分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的平面角的大小就是_(如圖甲)設(shè)n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量n1與n2的_的大小就是二面角的平面角的大小(如圖乙丙)預(yù)習(xí)交流3二面角l的平面角為，平面，的法向量分別為n1，n2，如何去掉|cos |中的絕對值號？4利用空間向量求空間距離(1)利用可以求空間中有向線段的長度(2)點(diǎn)面距離的求法已知ab為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則b到平面的距離為|=|cos，n|=_.預(yù)習(xí)交流4已知平面的一個(gè)法向量n(2，2,1)，點(diǎn)a(1，3,0)在內(nèi)，則p(2,1,4)到的距離為_在預(yù)習(xí)中，還有哪些問題需要你在聽課時(shí)加以關(guān)注？請?jiān)谙铝斜砀裰凶鰝€(gè)備忘吧！我的學(xué)困點(diǎn)我的學(xué)疑點(diǎn)一、求異面直線所成的角如圖所示，已知abca1b1c1是直三棱柱，acb=90，點(diǎn)d1，f1分別是a1b1，a1c1的中點(diǎn)，bc=ca=cc1，求bd1與af1所成的角的余弦值思路分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求與的夾角已知a(0,1,1)，b(2，1,0)，c(3,5,7)，d(1,2,4)，則直線ab和直線cd所成角的余弦值為_利用空間向量求兩條異面直線所成的角，可以避免復(fù)雜的幾何作圖和論證過程，只需通過相應(yīng)的向量運(yùn)算即可，但應(yīng)注意：用向量法求兩條異面直線所成的角是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解的，而兩條異面直線所成角的取值范圍是，兩向量的夾角的取值范圍是0，所以要注意二者的聯(lián)系與區(qū)別，應(yīng)有cos |cos |.二、求直線與平面所成的角棱長為2的正方體abcda1b1c1d1中，e是棱a1b1的中點(diǎn)，求aa1與平面ad1e所成角的正弦值思路分析：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用平面ad1e的法向量求線面角在棱長為a的正方體abcdabcd中，e，f分別是bc，ad的中點(diǎn)(1)求證四邊形bedf為菱形；(2)求直線ad與平面bedf所成的角的正弦值利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟為：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)設(shè)線面角為，則sin .三、求二面角的平面角如圖所示，在正方體abefdcef中，m，n分別為ac，bf的中點(diǎn)，求平面mna與平面mnb所成銳二面角的余弦值思路分析：解答本題可建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的兩個(gè)面內(nèi)分別作棱的垂線，利用兩線的方向向量所成的角求解已知pa平面abc，acbc，paac1，bc，求二面角apbc的余弦值(1)利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到一個(gè)與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通過平面的法向量來求：設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于n1，n2(或n1，n2)(2)利用空間向量求二面角時(shí)，注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角四、求點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知abcd是邊長為4的正方形，e，f分別是ad，ab的中點(diǎn)，gc垂直于abcd所在的平面且gc=2，求點(diǎn)b到面efg的距離思路分析：求點(diǎn)到平面的距離，一般方法是先由該點(diǎn)向平面引垂線確定垂足，把點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為解三角形求解，需要作輔助線，然后通過邏輯推理論證及計(jì)算，這樣比較麻煩，而用向量法則較為簡便已知空間四點(diǎn)a(2,3,1)，b(4,1,2)，c(6,3,7)，d(5，4，8)，則點(diǎn)d到平面abc的距離是_(1)求點(diǎn)到平面的距離時(shí)，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，然后通過公式代入求解(2)求點(diǎn)到平面距離時(shí)也可將上述方法改變?yōu)椋呵蟪銎矫娴膯挝环ㄏ蛄縩0；任取一條過法向量與平面交點(diǎn)的該平面的一條斜線段，求出其向量坐標(biāo)n1；求出n0與n1的數(shù)量積的絕對值，即得點(diǎn)到平面的距離d|n0n1|，其中單位法向量由法向量除以它的模得到，斜線段可以任取，但必須經(jīng)過法向量與平面的交點(diǎn)(3)求點(diǎn)到平面的距離還可以利用等體積法進(jìn)行求解1平面的一個(gè)法向量n1(1,0,1)，平面的一個(gè)法向量n2(3,1,3)，則與所成的角是_2如圖，在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，m和n分別是a1b1和bb1的中點(diǎn)，那么直線am與cn所成角的余弦值為_3若一個(gè)二面角的兩個(gè)面的法向量分別為m(0,0,3)，n(8,9,2)，則這個(gè)銳二面角的余弦值為_4直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為120，則直線l與平面所成的角等于_5正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，則點(diǎn)a到平面b1d1db的距離為_用精練的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來，并進(jìn)行識(shí)記知識(shí)精華技能要領(lǐng)答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)1(1)(2)預(yù)習(xí)交流1：(1)提示：不是，兩條異面直線所成的角只能是銳角或直角而它們的方向向量的夾角可能是銳角或直角，也可能是鈍角當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角(2)提示：|cosa，b|.2(1)(2)|cos |或cos sin 預(yù)習(xí)交流2：提示：直線方向向量與平面法向量所夾的銳角和直線與平面所成的角互為余角，即.因此sin cos .3(1)0，(2)向量與的夾角夾角(或其補(bǔ)角)預(yù)習(xí)交流3：提示：當(dāng)n1，n2所在的角與相等時(shí)，|cos |cosn1，n2；當(dāng)n1，n2所成角與互補(bǔ)時(shí)，|cos |cosn1，n24(2)預(yù)習(xí)交流4：提示：(1,2，4)，所以點(diǎn)p到的距離為d.課堂合作探究活動(dòng)與探究1：解：如圖所示，以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，ca，cb，cc1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)cb=ca=cc1=1，則a(1,0,0)，b(0,1,0)，d1，f1，.，.bd1與af1所成的角的余弦值為.遷移與應(yīng)用：解析：=(2，2，1)，=(2，3，3)，而，故直線ab和cd所成角的余弦值為.活動(dòng)與探究2：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則d(0,0,0)，a(2,0,0)，a1(2,0,2)，d1(0,0,2)，e(2,1,2)，(0,0,2)，(2,0,2)，(0,1,2)設(shè)平面ad1e的法向量n(x，y，z)，則n0，n0，令x1，則y2，z1.故n(1，2,1)，設(shè)n與向量的夾角為，則cos .直線aa1與平面ad1e所成角的正弦值為.遷移與應(yīng)用：(1)證明：如圖所示，以a為原點(diǎn)，ab，ad，aa所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則d(0，a,0)，e，b(a,0，a)，f，.，四邊形bedf為平行四邊形，|a.又|a.|，平行四邊形bedf為菱形(2)解：設(shè)平面bedf的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y2，z1，n(1,2,1)cosn，.ad與平面bedf所成的角的正弦值為sin |cosn，|.活動(dòng)與探究3：解：設(shè)正方體棱長為1.以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，ba，be，bc所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系bxyz，則m，n，a(1,0,0)，b(0,0,0)(方法一)取mn的中點(diǎn)g，連結(jié)bg，ag，則g.amn，bmn為等腰三角形，agmn，bgmn.agb為二面角的平面角或其補(bǔ)角由于，cos，故所求銳二面角的余弦值為.(方法二)設(shè)平面amn的法向量為n1(x，y，z)由于，.即令x1，則得y1，z1，n1(1,1,1)同理可求得平面bmn的一個(gè)法向量n2(1，1，1)cosn1，n2.故所求銳二面角的余弦值為.遷移與應(yīng)用：解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0,0,0)，b(,1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,1)，=(0,0,1)，=(,1,0)，=(,0,0)，=(0，1,1)設(shè)平面pab的法向量m=(x，y，z)，則即即令x=1，則m=(1，,0)設(shè)平面pbc的法向量為n=(x，y，z)，則即即令y=1，則n=(0，1，1)cosm，n=.二面角apbc的余弦值為.活動(dòng)與探究4：解：如圖所示，以c為原點(diǎn)，以，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則g(0,0,2)，b(0,4,0)，a(4,4,0)，d(4,0,0)，e(4,2,0)，f(2,4,0)，=(4,2，2)，=(2,4，2)設(shè)n0=(x，y，z)是平面efg的單位法向量，則有取z0，得x=y=，n0=(1,1,3)又=(0,4，2)，d=|n0|=|10+1432|=.遷移與應(yīng)用：解析：由題意知，=(2，2,1)，=(4,0,6)設(shè)平面abc的一個(gè)法向量n=(x，y，z)，則有令x=3，則z=2，y=2，故n=(3,2，2)，=(7,7，7)，故.當(dāng)堂檢測190解析：由于n1n2(1,0,1)(3,1,3)0，所以n1n2，故，與所成的