平方差公式的認(rèn)識(shí).docx

2.1平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)廣西全州縣永和初中 何鳳飛一、教材的地位和作用乘法公式實(shí)際是兩個(gè)特殊的多項(xiàng)式相乘及其所得的結(jié)果，由于在數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常用到，就把它們作為公式。平方差公式是在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法之后，自然過(guò)渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的多項(xiàng)式乘法的簡(jiǎn)便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡(jiǎn)、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了方法.因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第一個(gè)公式，也是最基本、用途最廣泛的公式之一。二、教學(xué)目標(biāo)分析（一）知識(shí)目標(biāo)經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過(guò)程，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；（二）能力目標(biāo)能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力、歸納能力；（三）情感目標(biāo)讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊一般特殊”（即:特例歸納猜想驗(yàn)證用數(shù)學(xué)符號(hào)表示解決問題）這一數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和數(shù)形結(jié)合的思想方法。培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問題過(guò)程中與他人合作交流的意識(shí)。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：經(jīng)歷探索并歸納平方差公式的過(guò)程，并能熟練運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，從實(shí)際中抽象出字母符號(hào)式子的符號(hào)化的過(guò)程，發(fā)展觀察、歸納、概括等能力。四、教法、學(xué)法分析（一）教法分析1、讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問題.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對(duì)發(fā)生的錯(cuò)誤做具體分析，加深學(xué)生對(duì)公式的理解。2、通過(guò)自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過(guò)程，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.同時(shí)，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)成功的喜悅。（二）學(xué)法分析學(xué)生已熟練掌握了冪的運(yùn)算和整式乘法，但在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)常常會(huì)確定錯(cuò)某些項(xiàng)符號(hào)及漏項(xiàng)等問題學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生的理解因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題問題1：美麗壯觀的城市廣場(chǎng)，是人們休閑旅游的地方，已經(jīng)成為現(xiàn)代化城市的一道風(fēng)景線。某城市廣場(chǎng)呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為803米，寬797米。你能用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算出它的面積嗎？教學(xué)時(shí)，可先讓學(xué)生按算式803797，發(fā)現(xiàn)這種算法十分繁瑣。然后告訴學(xué)生學(xué)過(guò)本章相關(guān)內(nèi)容后，將有簡(jiǎn)單的筆算方法，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章的興趣。（二）探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)問題2：時(shí)代中學(xué)計(jì)劃將一個(gè)邊長(zhǎng)為m米的正方形花壇改造成長(zhǎng)（m+1）米，寬為（m-1）米的長(zhǎng)方形花壇。你會(huì)計(jì)算改造后的花壇的面積嗎?計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（m+1）（m-1）=；（2）（5+x）（5-x）=；（3）=；（4）（2x+1）（2x-1）=問題3：依照以上四道題的計(jì)算回答下列問題：式子的左邊具有什么共同特征？它們的結(jié)果有什么特征？能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？通過(guò)對(duì)特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算，既復(fù)習(xí)了舊知，又為下面學(xué)習(xí)平方差公式作了鋪墊，讓學(xué)生感受從一般到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律，引出乘法公式-平方差公式。根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，在學(xué)生已掌握的多項(xiàng)乘法法則的基礎(chǔ)上,探索具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法平方差公式，這樣更加自然、合理。先讓學(xué)生觀察后獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組內(nèi)交流討論，由學(xué)生代表發(fā)言，全班統(tǒng)一認(rèn)識(shí)。（三）總結(jié)歸納，發(fā)現(xiàn)新知問題4：你能用文字語(yǔ)言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：式子左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，即：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差并猜想出：提供充分的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述到公式表示的過(guò)過(guò)渡，教師巡回引導(dǎo)，并集思廣益。從而提高學(xué)生觀察歸納、語(yǔ)言表達(dá)、合作交流等能力。（四）數(shù)形結(jié)合，幾何說(shuō)理問題5：在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，然后把剩余的兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖）.你能用這兩個(gè)圖形的面積說(shuō)明平方差公式嗎？提示：a2-b2與(a+b)(a-b)都可表示該圖形的面積。通過(guò)學(xué)生小組合作，完成剪拼游戲活動(dòng),利用這些圖形面積的相等關(guān)系,進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證了平方差公式的正確性,滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度、多方面來(lái)思考問題對(duì)于任意的a、b，由學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算，驗(yàn)證其公式的正確性即：（五）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)在平方差公式中，其結(jié)構(gòu)特征為：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中“a與a”是相同項(xiàng)，“b與-b”是相反項(xiàng)；右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差，即；讓學(xué)生說(shuō)明以上四個(gè)算式中，哪些式子相當(dāng)于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式通過(guò)觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡(jiǎn)潔性并通過(guò)分析公式的本質(zhì)特征掌握公式在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。（六）鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知問題6：判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）（2x+3a）(2x3b)；（2）；（3）（m+n）（mn）；（4）；問題7：利用平方差公式計(jì)算：（1）（3x+2y）（3x2y）；（2）（-7+2m2）（-7-2m2）.解：（1）（3x+2y）（3x2y）=（3x）2（2y）2= 9x24y2（2）（-7+2m2）（-7-2m2）=（-7）2(2m2)2=494m4學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方差公式必須具備的條件鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對(duì)字母含義廣泛性的理解。觀察體會(huì)與公式的對(duì)應(yīng)關(guān)系：（3x+2y）（3x2y）=（3x）2（2y）2解決書寫操作層面問題可提議用不同方法計(jì)算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性。（七）拓展應(yīng)用，強(qiáng)化思維問題8：利用平方差公式計(jì)算情景導(dǎo)航中提出的問題：即：803797=（800+3）（800-3）=8002-32=640000-9=639991問題9：小明家有一塊“L”形的自留地，現(xiàn)在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請(qǐng)你來(lái)幫小明設(shè)計(jì)，并算出這塊自留地的面積把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性；運(yùn)用平方差公式解決實(shí)際問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，服務(wù)于生活，學(xué)生感受到學(xué)習(xí)了有用的數(shù)學(xué)，設(shè)計(jì)此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學(xué)生對(duì)平方差公式的理解。（八）小試牛刀，挑戰(zhàn)自我1計(jì)算：2在下列括號(hào)中填上合適的多項(xiàng)式：3看誰(shuí)算得快：設(shè)計(jì)此組題旨在從正反兩方面靈活運(yùn)用平方差公式，由結(jié)果追溯算式中的相同項(xiàng)和相反項(xiàng)，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時(shí)訓(xùn)練了學(xué)生逆向思維能力，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做了鋪墊第2個(gè)填空題有兩種填法，屬開放設(shè)計(jì)目的是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時(shí)也鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。（九）總結(jié)概括，自我評(píng)價(jià)問題12：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？提示：從知識(shí)和情感態(tài)度兩個(gè)方面加以小結(jié)。使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識(shí)分組討論后交流。（十）課后作業(yè)必做題：課本P36習(xí)題2.1A組1、2選做題：1課本P36習(xí)題2.1B組1、22計(jì)算：（1+1/2）（1+1/4）（1+1/16）（1+1/256）作業(yè)分層處理有較大的彈性，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。六、教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)習(xí)了平方差公式：，即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。它是特殊的整式的乘法，運(yùn)用這一公式可迅速而簡(jiǎn)捷地計(jì)算出符合平方差公式特征的多項(xiàng)式乘法的結(jié)果。運(yùn)用公式的關(guān)鍵要看是否符合公式的特征，在課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生注意觀察平方差公式的