微積分-全微分.ppt

第八章 二 全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 應(yīng)用 第三節(jié) 一元函數(shù)y f x 的微分 近似計(jì)算 估計(jì)誤差 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 本節(jié)內(nèi)容 一 全微分的定義 全微分 一 全微分的定義 定義 如果函數(shù)z f x y 在定義域D的內(nèi)點(diǎn) x y 可表示成 其中A B不依賴于 x y 僅與x y有關(guān) 稱為函數(shù) 在點(diǎn) x y 的全微分 記作 若函數(shù)在域D內(nèi)各點(diǎn)都可微 則稱函數(shù) f x y 在點(diǎn) x y 可微 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 處全增量 則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微 2 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 1 函數(shù)可微 函數(shù)z f x y 在點(diǎn) x y 可微 由微分定義 得 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即 定理1 必要條件 若函數(shù)z f x y 在點(diǎn) x y 可微 則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù) 同樣可證 證 由全增量公式 必存在 且有 得到對x的偏增量 因此有 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 反例 函數(shù) 易知 但 因此 函數(shù)在點(diǎn) 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微 即 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 定理2 充分條件 證 若函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù) 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 所以函數(shù) 在點(diǎn) 可微 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 注意到 故有 推廣 類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題 例如 三元函數(shù) 習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示 記作 故有下述疊加原理 稱為偏微分 的全微分為 于是 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 計(jì)算函數(shù) 在點(diǎn) 2 1 處的全微分 解 例2 計(jì)算函數(shù) 的全微分 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 可知當(dāng) 二 全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用 1 近似計(jì)算 由全微分定義 較小時(shí) 及 有近似等式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 可用于近似計(jì)算 誤差分析 可用于近似計(jì)算 半徑由20cm增大 解 已知 即受壓后圓柱體體積減少了 例3 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變 到20 05cm 則 高度由100cm減少到99cm 體積的近似改變量 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 求此圓柱體 例4 計(jì)算 的近似值 解 設(shè) 則 取 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 分別表示x y z的絕對誤差界 2 誤差估計(jì) 利用 令 z的絕對誤差界約為 z的相對誤差界約為 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 則 特別注意 類似可以推廣到三元及三元以上的情形 乘除后的結(jié)果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例5 利用公式 求計(jì)算面積時(shí)的絕對誤差與相對誤差 解 故絕對誤差約為 又 所以S的相對誤差約為 計(jì)算三角形面積 現(xiàn)測得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 在直流電路中 測得電壓U 24伏 解 由歐姆定律可知 歐 所以R的相對誤差約為 0 3 0 5 R的絕對誤差約為 0 8 0 3 定律計(jì)算電阻R時(shí)產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差 相對誤差為 測得電流I 6安 相對誤差為0 5 0 032 歐 0 8 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 求用歐姆 內(nèi)容小結(jié) 1 微分定義 2 重要關(guān)系 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 微分應(yīng)用 近似計(jì)算 估計(jì)誤差 絕對誤差 相對誤差 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 P72題1 總習(xí)題八 函數(shù) 在 可微的充分條件是 的某鄰域內(nèi)存在 時(shí)是無窮小量 時(shí)是無窮小量 2 選擇題 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 答案 也可寫作 當(dāng)x 2 y 1 x 0 01 y 0 03時(shí) z 0 02 dz 0 03 3 P73題7 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 4 設(shè) 解 利用輪換對稱性 可得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 L P245例2 注意 x y z具有輪換對稱性 答案 作業(yè)P241 3 4 3 5 8 10 5 已知 第四節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束 在點(diǎn) 0 0 可微 備用題 在點(diǎn) 0 0 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 續(xù) 證 1 因 故函數(shù)在點(diǎn) 0 0 連續(xù) 但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 0 0 不連 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 證明函數(shù) 所以 同理 極限不存在 在點(diǎn) 0